Vậy SAMN lớn nhất khi H là trung điểm của cung nhỏ EF... Câu 6 1,0 điểmChia hìh vung đã cho thành 16 hình vung đơn vịcác cạnh song song với các cạnh hình vuông đã cho và có độ dài bằng
Trang 1Sở Giáo dục và Đào tạo
Nghệ An
Kì thi tuyển sinh vào lớp 10 trờng THPT chuyên phan bội châu
Năm học 2008-2009 h
ớng dẫn chấm và biểu điểm môn toán
Đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm này gồm có 03 trang)
Điều kiện: 1 ≤ x, y ≤ 9, x, y nguyên 0.25
Ta có: xxyy xx= 2+ yy (1)2
x.100.11+y.11= x2.112+y2.112
100x+y=11(x2+y2)
0.5
=> x y+ M11
=> x+y=11( vì 1 ≤ x, y ≤ 9; x, y ∈Ζ) 0.5
=> (x,y) chỉ có thể là các cặp (2, 9); (3, 8); (4, 7); (5, 6); (6, 5); (7, 4); (8; 3) (9, 2) 0.5
Thay lân lợt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ ó x=8 và y=3 thỏa mãn
Bài 2 (2,0 điểm).
Ta có: 10 x3 + =1 3(x2 +2)
⇔10 x+1 x2− + =x 1 3(x2 +2)
0,25
Đặt
2
1 1
u x
v x x , (điều kiện u ≥ 0, v > 0) khi đó phng trình (2) trở thành
10u.v = 3(u2+v2)
0,5
⇔(3u v u− )( −3 ) 0v =
3
3
=
⇔ =u u v v
0,25
Trờng hợp 1: u = 3v ta có:
x+ =1 3 x2 − +x 1
9x2-10x+8 = 0 vô nghiệm
0,25
Trờng hợp 2: 3u = v ta có:
3 x+ =1 x2 − +x 1
9x + 9= x2 – x+1
0,25
Trang 25 33
5 33
= −
⇔
= +
x
x (thỏa mãn điều kiện x ≥ -1)
Vậy phơng trình đã cho có các nghiệm là:
x= −5 33 và x= +5 33
Bài 3 (1,0 điểm)
Vì phơng trình f(x) = x vô nghiệm nên
f(x) > x, ∀x ∈ R hoặc f(x) < x, ∀x ∈ R
0,5
Nếu f(x)> x, ∀x ∈ R thì
a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) > f(x) > x, ∀x ∈ R
suy ra phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm
0,25
Nếu f(x)< x, ∀x ∈ R thì
a[f(x)]2 + b.f(x) + c = f(f(x)) < f(x) < x, ∀x ∈ R
suy ra phơng trình a[f(x)]2 + b.f(x) + c = x vô nghiệm
Vậy ta có điều phải chứng minh
0,25
Bài 4 (1,0điểm)
Ta có xy+yz+zx= xyz 1 1 1
1
+ + =
x y z
x y z ta đợc a, b, c >0 và a+b+c=1 (1)
Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành:
a b c
a b c
0,25
Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1)
Thật vậy, do điều kiện a+b+c=1 nên ta có: (2)
− + + − + + − + ≥ + +
− + +
c a b c
0,25
a b b c c a
a b b c c a
( −1)(a b− ) +( −1)(b c− ) +( −1)(c a− ) ≥0
0,25
Bất đẳng thức đúng vì: a, b, c > 0
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =1/3 hay x = y = z = 3
0,25
Bài 5 (3,0 điểm)
a, 1,75 (điểm)
A
N M
O
F H
E
Trang 3Theo tính chất tiếp tuyến ta có OM, ON lần lợt là phân giác của các góc
EOH, FOH
0,25
Tứ giác AEOF nội tiếp nên BAC + EOF = 180o 0,25
Từ đó MON= 180
2
o BAC
ABC ACB
Suy ra MOB = ONC Vậy ΔMOB ΔONC
b, 1,25 (điểm)
Từ ΔMOB ΔONC => MB = OB
OC NC BM.CN=OB.OC=
2 4
BC
= const Vì SAMN = SABC – SBMNC nên SAMN lớn nhất khi và chỉ khi SBMNC nhỏ nhất(do SABC
không đổi)
Ta có SBMNC = SBOM +SMON + SNOC = 1 ( )
2R BM +MN CN+
=
2R BM +CN +ME+NF doMN =ME +NF
= 1
2R BM +CN +BM −BE+CN −CF
= R(BM+CN-BE) do BE=CF
≥ R(2 BM CN −BE)
= R(BC-BE) không đổi
Dấu = xảy ra BM = CN MN //BC
H là trung điểm của cung nhỏ EF
Vậy SAMN lớn nhất khi H là trung điểm của cung nhỏ EF
Trang 4Câu 6 ( 1,0 điểm)
Chia hìh vung đã cho thành 16 hình vung đơn vị(các cạnh song song với các cạnh hình vuông đã cho và có độ dài bằng 1)
Do 33>16.2 nên theo nguyên lý Dirichlê, tồn tại ít nhất 3 điểm cùng nằm trong hoặc trên cạnh của một hình vuông đơn vị Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh của hình vuông đơn vị MNPQ
Ta có MP = 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP ≥ AE, tức AE≤
2 Từ đó hình tròn (A; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ Tơng tự các hình tròn (B; 2 ), (C; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ
Suy ra ba hình tròn (A; 2 ), (B; 2 ), (C; 2 ) chữa hình vuông MNPQ và ba điểm
A, B, C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên Vậy câu trả lời bài toán là có,