Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago:

Những trường hợp khó lý giải trong chứng minh định lý pitago bằng hình ảnh - Có một số cách thể hiện việc chứng minh định lý Pitago bằng hình ảnh thì khó lý giải .Trong các cách chứng mì

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh

Ngày gửi bài: 05/08/2007

Số lượt đọc: 2353

Bài 2: Một số cơ sở hình thành cách chứng minh định lý

1 Các diện tích hình vuông trên khung lưới

Đây là cách tính các diện tích của các hình vuông trên một khung lưới hình ô vuông, bao gồm cả những hình vuông “nghiêng”(như hình vuông màu vàng trên hình bên) Các chiến lược mà bạn dùng để khai triển cho việc tính toán diện tích các hình

vuông nghiêng này có thể là một cách mới để chứng minh định lý Pitago

Dựng hình và kiểm tra

1 Bạn hãy mở file Sketch Squarefinder.gps.

2 Di chuyển điểm A hoặc B để thay đổi góc nghiêng của hình

vuông này so với khung lưới

Chú ý: khi hình vuông màu vàng bị nghiêng đi 1 góc so với lưới, thì

sẽ có một hình vuông lớn hơn hình nét đứt bao quanh nó (như

hình trên) Độ dài đoạn AB có thể là 1 số nguyên hoặc không phải

là một số nguyên

3 Bây giờ bạn hãy kéo điểm A hoặc điểm B để làm cho diện tích của hình vuông là khoảng 5 đơn vị vuông Khi bạn khá chắc chắn về diện tích hình vuông của mình

vừa thay đổi, hãy kích chuột vào nút Show Area Yellow Square trên màn hình để

kiểm tra xem sự thay đổi của bạn chính xác đến đâu Nếu diện tích hình vuông của

bạn chưa chính xác, thì bạn kích chuột vào nút Hide Area Yellow Square và thử

làm lại

(Hình vuông có diện tích bằng 5 thì có độ dài của cạnh là căn bậc hai của 5 Tính toán này trong Sketch chỉ là một phép tính xấp xỉ : ≈ 2.24)

Tìm hiểu thêm

1

– Bạn viết một biểu thức tính diện tích hình vuông nghiêng theo 2

số hạng a và b

- Gọi độ dài cạnh của hình vuông đó là c, và hãy viết lại biểu thức

đó theo 3 số hạng a, b, c

- Làm tối giản biểu thức này

- So sánh xem hai biểu thức này có bằng nhau hay không?

2 Có một số hình vuông nghiêng có độ dài cạnh là 1 số nguyên Hãy tìm một số hình như thế

3 Có thể tạo được hình vuông nghiêng trên khung lưới có diện tích bằng 3 không?

4 Liệu có thể tạo ra 1 hình vuông trên khung lưới có diện tích không phải là một số nguyên không? Hãy giả thích

2 Những trường hợp khó lý giải trong chứng minh định lý pitago bằng hình ảnh

- Có một số cách thể hiện việc chứng minh định lý Pitago bằng hình ảnh thì khó lý giải Trong các cách chứng mình này- được gọi cách “cắt ra từng mảnh”, bạn sẽ bắt đầu từ một hình ảnh có các mảnh rời rạc, chúng là các mảnh được khớp lại với nhau theo 1 vế của định lý Pitago (như a²+b²) Bạn sẽ cắt các mảnh đó ra và sắp xếp lại chúng theo một vế khác của định lý (là c² )

- Việc sắp xếp các mảnh rời rạc này thì đơn giản, nhưng chưa đủ để chứng minh được định lý Tuy nhiên, các cách làm này này có thể dẫn đến các cách chứng minh định lý nếu bạn có thể lý giải được tại sao lại làm như vậy

Cách dựng hình và kiểm tra

- Mở file Pythgorean Puzzles.gsp Xem các cách biểu diễn sau:

1 Hãy viết 2 biểu thức khác nhau để tính diện tích của một hình vuông có

độ dài cạnh là a+b như hình bên dưới:

+ Một biểu thức biểu diễn theo 2 số hạng a và b:

dt = (a+b)² =a² + b² - 2ab (1)

+ Một biểu thức khác viết theo 3 số hạng a,b,c, ta thấy: diện tích hình vuông này bằng diện tích hình vuông màu trắng (có cạnh là c) + diện tích của 4 tam giác

vuông , nên suy ra:

dt = c² + 2ab (2)

Từ (1) và (2) ta có dt = c² + 2ab = a² + b² - 2ab

Thu gọn đẳng thức trên ta được c² = a² + b²

Theo hình vẽ ta thấy rằng c là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là hai cạnh của tam giác vuông đó Vậy đây cũng là một cách để chứng minh định lý Pitago

2 Một biểu thức tính được diện tích hình vuông có cạnh là c :

dt = c² (3)

- Viết một biểu thức khác tính diện tích hình vuông này theo hai số hạng

a, b: Theo hình vẽ ta thấy

dt = diện tích hình vuông màu

vàng + diện tích của 4 tam

giácvuông :

↔ dt = (b-a)² + 2ab= a² + b² (4)

Từ (3) và (4) ta có đẳng thức

sau :

dt = c² = a² +b²

Mà theo hình vẽ trên ta có c, là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là độ dài hai cạnh bên của tam giác vuông đó Do đó dây cũng là 1 cách để chứng minh định lý Pitago

3 Cách tạo công cụ Translator

- Một cách thông thường để chứng minh định lý Pitago là cắt các miếng của các hình vuông trên các cạnh bên ra và sắp xếp lại cho khớp với hình vuông trên cạnh huyền

- Trong phần này, bạn sẽ tạo ra được một công cụ theo ý mình (Custom tool), công

cụ này cho phép bạn làm được những việc giống như menu Transform, nhưng

thuận tiện hơn: sử dụng công cụ này để tạo các bản sao của 1 hình, và bản sao này

có thể di chuyển trượt theo hình ban đầu Công cụ có tên là Translator

Cách dựng.

1 Vẽ một tứ giác ABCD tùy ý và miền trong của nó

2 Vẽ điểm E tại một khoảng trống bất kỳ trên trang Điểm

này là điểm bạn đặt vị trí copy tứ giác

3 Chọn (đánh dấu) điểm B và điểm E và chọn menu

Transform| Mark Vector

4 Kích chuột vào tứ giác để đánh dấu miền trongcủa tứ

giác, sau đó chọn menu Transform| Translate để tạo

được bản sao của tứ giác ABCD theo phương của vectơ

được đánh dấu (vectơ BE)

5 Kéo điểm E để bản sao tứ giác vừa tạo di chuyển đến vị

trí mong muốn

6 Kéo 1 đỉnh bất kỳ trong tứ giác ABCD để hình dạng của tứ giác thay đổi thì ta thấy hình dạng của tứ giác bản sao cũng thay đổi theo

Các bước xây dựng công cụ Translator

1 Chọn miền trong của tứ giác ban đầu, chọn điểm B, điểm E và miền trong của tứ giác bản sao có E là đỉnh

Nhấn và giữ biểu tượng công cụ Custom

và chọn Creat New Tool từ menu Custom

Xuất hiện 1 hộp thoại, bạn hãy gõ tên công cụ mới là Translator, và nhấn ok Như vậy là bạn đã tạo ra được công cụ Translator để vẽ các bản sao từ một hình ban

đầu, và bản sao này có thể di chuyển tự do trên trang Sketch

2 Bây giờ hãy thử thực hành công cụ Translator vừa tạo: Kích vào 1 miền trong

của tứ giác bạn muốn di chuyển sau đó kích vào 1 đỉnh của tứ giác đó; Giữ và kéo chuột đến vị trí mong muốn và kích chuột lần thứ ba, và bây giờ bạn có thể cho hình này di chuyển tự do theo đỉnh của nó

3 Việc xây dựng công cụ này sẽ hữu ích trong chứng minh đinh lý Pitago(tạo các bản sao chuyển động được)

4 Một cách chia hình thành các mảnh rời rạc

Một cách để chứng minh định lý Pitago đó là cắt hình vuông trên các cạnh bên thành các mảnh phân biệt , sau sắp xếplại chúng thành hình vuông trên cạnh huyền

Dựng hình và kiểm tra

1 Dựng một tam giác vuông

và các hình vuông trên các

cạnh của nó

2 Vẽ tâm của hình vuông trên

cạnh bên b (là cạnh lớn hơn)

3 Dựng 1 đường thẳng đi qua tâm này và song song với cạnh c và một đường thẳng khác vuông góc với cạnh c

4 Vẽ các giao của hai đường thắng

này với hình vuông trên cạnh b

Như vậy 2 đường thẳng này đã chia hình vuông trên cạnh b

thành 4 tứ giác Bạn hãy vẽ và tô các màu khác nhau cho 4

tứgiác này

5 Làm ẩn 2 đường thẳng này đi

6 Vẽ và tô màu miền trong của hình vuông trên cạnh a (là cạnh nhỏ nhất)

Như vậy ta có 4 miếng được tạo từ hình vuông trên cạnh

mảnh này có thể ghép lại thành hình vuông trên cạnh c bằng cách di chuyển và sắp xếp lại chúng

7 Để tạo ra được các mảnh hình di chuyển được của hình vuông trên cạnh a, Sử dụng công cụ Translator từ menu Custom tool

8 Tạo ra các bản sao của các

mảnh tứ giác của hình vuông

trên cạnh b bằng cách sử dụng công cụ Translator từ

menu công cụ Custom

9 Hãy sặp xếp các bản sao vủa tạo được vào hình vuông

màu trắng( hình vuông có canh là c)

10 Để xác định lại cách chia này bạn hãy thử làm lại với

một tam giác vuông khác

Viết Thị Thu Hiền, hiendhsp@yahoo.com

Viết Thị Thu Hiền

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh - Bài 3

Ngày gửi bài: 09/10/2007

Số lượt đọc: 1628

Bài 3: Cơ sở hình thành các cách chứng minh định lý Pitago

Những hình vuông vẽ sai

Các trường hợp điển hình để minh họa cho định lý Pitago là vẽ các hình vuông trên cạnh của tam gác vuông và nằm ngoài tam giác vuông đó Nhưng trường hợp các hình vuông vẽ “sai cách” là gi? Đó là trường hợp vẽ có một hoặc nhiều hơn một hình vuông nằm chồng lên tam giác Khi đó điều gì sẽ xảy ra ? Trong trương hợp nghiên cứu này, bạn sẽ thấy các cách chia hình của bạn thành các mảnh nhỏ để đưa ra một cách sắp xếp minh họa cho cách chứng minh của định lý

Dựng hình và kiểm tra

1 Vẽ một tam giác vuông

2 Vẽ một hình vuông “sai cách” trên cạnh a, như thế hình

vuông đó sẽ nằm chồng lên tam giác, và vẽ một hình vuông

trên cạnh b nằm ngoài tam giác

3 Vẽ một hình vuông :”sai cách” trên cạnh huyền (cạnh c),

tức là hình vuông này cũng nằm chồng lên tam giác vuông

ABC

4 Như vậy, hai hình vuông trên cạnh a và cạnh b được chia

thành 5 miền riêng biệt Vẽ các điểm phân cách các miền

được tạo ra từ các hình vuông, sau đó vẽ hình đa giác trên các miền này từ những điểm vừa vẽ được ở trên

5 Quan sát hình bên ta thấy rằng, một trong những mảnh của hình vuông trên cạnh

a cũng nằm bên trong hình vuông trên cạnh c, và một mảnh của hình vuông trên cạnh b cũng nằm trong hình vuông trên cạnh c

- Sử dụng công cụ Translator để tạo ra các bản sao di chuyển được của 3 mảnh

này.Sau đó làm ẩn đi các mảnh gốc, và sắp xếp các mảnh bản sao vào hình vuông trên cạnh c sao cho hình được khớp vừa khít

6 Di chuyển một đỉnh để thay đổi tam giác của bạn, và xếp lai các mảnh để chứng thực các việc làm này với các dạng tam giác khác nhau

Nhận xét

Các phương pháp chứng minh định lý Pitago bằng cách

chia hình ra thành những mảnh nhỏ là các cách chứng

minh hoàn toàn thuyết phục và đúng đắn, nhưng chúng

không có logic, vì bạn chỉ chỉ ra được cách chia nhỏ các

hình và sắp xếp chúng lại với nhau, mà chưa giải thích

được tại sao bạn lại làm như vậy Tai sao bạn lại di chuyển

được các mảnh này, và có phải sự sắp xếp vừa khít của

các mảnh này vào phạm vi của 1 hình khác là xảy ra ngẫu

nhiên hay không? Để giải thích sự phụ thuộc này 1 cách

logic thì phải chứng minh được mỗi hình bạn di chuyển thì

phải có kích thước bằng với hình mà nó chuyển tới

Ví dụ: bên có 3 miền sẽ được di chuyển vào 3 miền đồng dạng với nó , đó là các miền nào?

- Ta thấy 3 miền di chuyển được và 3 miền mà chúng sẽ chuyển tới đều là tam giác vuôngVì thêa phải chứng minh kích trước của miền di chyển và miền nó sẽ chuyển toái là bằng nhau, bằng cách chỉ cần chứng minh 2 tam giác vuông có 1 cặp cạnh bằng và 1 cặp góc không vuông bằnh nhau

Sự chứng minh bằng hình vuông nghiêng

Đây là trường hợp, bạn chỉ cần vẽ một hình đơn giản mà bạn có thể dùng để chứng minh được định lí Pitago Các cách đó là: dùng các hình di chuyển được hoặc dùng một phép tính số học đơn giản để tình toán cách dịch chuyển các hình Hình vẽ minh họa cho trường hợp này thì xuất hiện trong các văn bản từ rất xa xưa, và thậm chí bạn còn thấy chúng trong các kiểu lát trang trí Nhưng không ai biết rằng, đó có thể

là cách để chứng minh định lý Pitago, dường như nó đã được biết tới ở Trung Quốc

và Ấn Độ, và học thuyết Pitago đã được nghiên cứu bởi các nhà nghiên cứu Trung

Quốc và Ấn Độ ở thời đại Babilonia Dựng hình và Kiểm tra

1 Vẽ một hình vuông và tâm của hình vuông đó

2 Vẽ một điểm trên cạnh hình vuông

3 Đánh dấu vào điểm tâm của hình vuông làm tâm xoay, và xoay điểm đó trên các cạnh bởi một góc 900 Lặp lại cho đến khi tạo được 4 điểm trên 4 cạnh của hình vuông

4 Sử dụng các điểm này để vẽ được hình vuông nghiêng nằm

trong hình vuông lớn hơn

5 Tô màu miền trong của các tam giác trên các góc tạo với hình

vuông lớn hơn( như hình trên)

6 Nhãn của các cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn của tam giác

vuông là a,b,c, trong đó c gọi là cạnh huyền

7 Bây giờ bạn sẽ di chuyển các tam giác vuông ( bằng cách tạo bản sao di chuyển)

Hãy sử dụng công cụ Translator để vẽ các bản sao dịch chuyển được của 3 trong 4

miền tam giác, Làm ẩn đi 3 miền tam giác gốc

8 Sắp xếp lại các tam giác, bạn sẽ có được 2 hình chữ nhật như hình bên

9 Di chuyển điểm đáy để làm biến đổi hình và vị trí chứa các tam giác để chứng thực các việc làm này đối với các hình tam giác khác

Nhận xét

Bạn có thể chứng minh định lý bằng phương pháp đại số căn cứ vào cách chứng minh bạn đã làm Và dưới đây là 1 vài mẹo dơn giản đẻ chứng minh định lý:

1 Chứng minh hình nghiêng ở bên trong là một hùnh vuông, và tính diện tích của

nó theo tham số c

2 Chiều dài của một cạnh của hình vuông lớn hơn bằng bao nhiêu? Viết một biểu thức để tính diện tích của hình vuông này theo a, b

3 Tính diện tích của một tam giác vuông và tổng diện tích của 4 tam giác vuông

4 Viết một biểu thức khác tính diện tích của toàn bộ hình, Sử dụng các số hạng của biểu thức tính diện tích các tam giác và diện tích hình vuông nghiêng.Tức là tính diện tích hình theo 3 số hạng a,b,c

Đọc thêm Để không phải làm quá nhiều việc, bạn có thể xây dựng trên hình đã vẽ

rồi để làm hình minh họa cho cách chứng minh.Ví dụ: trong các hình ở bên phải, hình ban đầu đã được phản xạ thành hình vuông bên

phải nó Công cụ Translator được sử dụng để tạo ra

các tam giác di chuyển đến các điểm hiện hành, vì thế

chúng có thể được dặt vào vị trí để tạo ra các hình

vuông màu trắng có cạnh là a và b Hãy nhìn xem, nếu

bạn có thể vẽ những hình như thế, thì bạn có thể thao

tác bằng tay một cách linh hoạt để xếp các tam giác vào hình tam giác có kích thước bằng nó và các hình vuông vào trong các hình vuông Băng sự vận dụng hình này, bạn có thể học được nhiều trường hợp đặc biệt thú vị như: trường hợp tam giác vuông cân, và khi tam gaíc được tạo thành từ vô vàn các mảnh nhỏ thì điêug gì sẽ xảy ra?, …

Behold!

Chủ đề của trường hợp này xuất phát từ đề tài của Bhaskara - nhà nghiên cứu Ấn

Độ giáo thế kỷ 20 Trong thực tế “Behold!” là phần văn bản đi kèm với hình chứng minh định lý Pitago Bhaskara đã phải hình dung ra được hình để chứng minh cho bản chất của chình hình đó Trong cách chứng minh này, bạn sẽ vẽ hình này Có thể chính hình vẽ đó đã chứng minh cho bản chất của nó, nhưng bạn có đạt tới cách hiểu sâu hơn bằng cách vẽ hình và thực hiện 1 cách chứng minh tương tự cách chứng minh đã phác thảo trong tường hợp chứng minh hình vuông nghiêng Một điều bất ngờ là, hình này cũng đã được tìm thấy trong một văn bản trung quốc cổ xưa, nó được tìm thấy bời những người tham gia tìm cách chứng minh cho định lý Pitago

Dựng hình và kiểm tra

1 Vẽ hình vuông ABCD

2 Từ điểm D,Vẽ đoạn thẳng DE cắt cạnh AB

3 Vẽ một đường thẳng song song vỡi đoạn DE, đi qua điểm B

và vẽ các đường thẳng vuông góc với đoạn DE đi qua điểm A và

điểm C

4 Như thế bạn sẽ có một hình vuông nhỏ, nghiêng nằm trong

hình vuông lớn ABCD Vẽ các đỉnh của nó là các điểm giao của các đường thẳng vưaf vẽ, sau đó làm ẩn đi các đường thẳng và đoạn DE

5 Vẽ các cạnh của hình vuông nghiêng, sau đó tô màu miền trong của các tam giác vuông bao quanh nó Như hình bên

6 Di chuyển điểm E và quan sát xem điều gì xảy ra với các tam giác

vuông và hình vuông nghiêng

7 Sử dụng hình này để chứng minh định lý bằng cách chia hình ra

thành các mảnh nhỏ thì đòi hỏi phải có sự khéo léo Đâù tiên, làm

nghiêng hình vuông bên sao cho các cạnh bên của các tam giác

vuông có phương ngang và phương thẳng đứng( như hình dưới)

Hình minh họa đã chỉ ra một hình phác thảo của các mảnh được dùng để ghép khớp lại với nhau, để chứng minh rằng c2 = a2 + b2

Chú ý: Sử công cụ Translator để tạo ra các mảnh có khả năng di chuyển, và sử

dụng các mẫu hình phác thảo như bên dưới Các mảnh có thể đè lên nhau ở chỗ các đương chậm nhau

Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh - Bài 4

Ngày gửi bài: 24/10/2007

Số lượt đọc: 1814

Viết Thị Thu Hiền, hiendhsp@yahoo.com

Bài 4: Một số cách chứng minh định lý Pitago

Cách chứng minh 1: Cách chứng minh của E A Coolidge Cách chứng minh này xuất

hiện trong cuốn sách về các vấn đề kinh điển thuộc học thuyết Pitago của tác giả Elisha Scott Loomis, được xuất bản lần đầu tiên bởi Hội đồng giáo viên quốc gia của môn toán học, vào năm

1927 Thật đáng tiếc, quyển sách này hiện nay không được xuất bản nữa, trong cuốn sách này có tới trên

300 cách chứng minh định lý Pitago, trong đó, có nhiều cách chứng minh tương tự nhau, và tất cả các cách chứng minh nổi tiếng đều có trong cuốn sách của Loomis

Cách chứng minh dưới đây thì tương tự như cách chứng minh của Bhaskara trong phần “Behold!” đã giới thiệu ở bài trước Cách chứng minh này được đăng trên tạp trí giáo dục, xuất bản hàng ngày, và tác giả của

nó là cô E A Coolidge - là một người mù.

Dựng hình và kiểm tra

1 Vẽ một tam giác vuông và các hình vuông trên các cạnh của nó (dùng

công cụ custom)

2 Kéo dài tia HA, lấy điểm A’ đối xứng với điểm H qua A bằng cách :

+ Chọn đoạn HA và điểm A

+ Chọn menu Transform > Rotate > degrees =180

3 Vẽ một đường thẳng đi qua điểm B và vuông góc với đoạn AA’, Vẽ điểm