Hoc sinh gioi 1 - Luyện thi 10 Chuyên

Bài 4: 1,5 điểm Cho tam giác với các trung tuyến, phân giác, đường cao dựng từ một đỉnh chia góc ở đỉnh đó thành 4 phần bằng nhau.. Chứng minh rằng một đoạn thẳng EF có hai đầu mút nằm t

Đề thi số 1

Bài 1: (2 điểm)

a Giải hệ phương trình: 









 1 y x

xy 5 y 6 x 6

b Rút gọn: 3 3

27

847 6

27

847

Bài 2: (1,5 điểm)

Cho Parabol (P): y= –x2 và đường thẳng (D): y=2x +m Với m là tham số

a Vẽ đồ thị Parabol (P) : y= –x2

b Tìm m để (P) và (D) tiếp xúc Tính toạ độ tiếp điểm của (P) và (D) trong trường hợp này

Bài 3: (1,5 điểm)

Cho phương trình x 2 2 ax a 3 0







 Tìm tất cả các giá trị nguyên của a sao cho phương trình có nghiệm nguyên

Bài 4: (1,5 điểm)

Cho tam giác với các trung tuyến, phân giác, đường cao dựng từ một đỉnh chia góc ở đỉnh đó thành 4 phần bằng nhau Tính các góc của tam giác?

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho ba đường tròn (O;R) ; (O1;R1) ; (O2; R2) cùng tiếp xúc với đường thẳng d và tiếp xúc với nhau từng đôi một Nếu R là bán kính của đường tròn nhỏ nhất thì

2

1 R

1 R

1



Bài 6: (2 điểm)

1 Cho hàm số  

2 x 1

x x

f



 Tính f(f(x)) ; f(f(f(x))) Từ đó suy ra f(f(f(…f(x)))…) với 2004 chữ f

2 Cho a, b  R, a > 0 Chứng minh rằng tồn tại hàm số y = f(x), x  R sao cho f(f(x)) = ax +b

Đề thi số 2:

Bài 1: (2 điểm)

Giải hệ phương trình:

a ( với x, y, z 0)

2 x

z

xz

5 12 z

yyz

3 y

x

xy

























































24 z

y x

x z

30 z

y x

z

x

Bài 2: (1,5 điểm)

Giải phương trình: 4 x 2 1 x x 2 y 2 y 3 x 4 16 y 5























Bài 3: (1,5 điểm)

a Hãy xác định hàm số y = f(x) với x  R, Biết rằng f(x–1)=x2 – 3x + 3

b Chứng minh rằng đồ thị hàm số y = mx + m – 1 luôn luôn đi qua một điểm cố định với bất kỳ

giá trị nào của m  R.

Bài 4: (2 điểm)

Cho phương trình: x2 m  1x  m2 m  2  1

a Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm số trái dấu với mọi giá trị của m  R.

b Tìm m để 2

2

2

x  đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, gọi O là tâm của một đường tròn tiếp xúc với AB; AC, O nằm trên cạnh

BC Chứng minh rằng một đoạn thẳng EF có hai đầu mút nằm trên cạnh AB; AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) khi và chỉ khi

4

BC CF

Bài 6: (1,5 điểm)

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến AB; AC với đường tròn Vẽ cát tuyến AEF; từ E kẻ đường vuông góc với OB cắt BC và BF tại M và N Chứng minh EM = MN

Đề thi số 3

Bài 1: (2 điểm)

Rút gọn biểu thức sau:















Bài 2: (1,5 điểm)

a Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 3x + 1 = 0 Hãy lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm của phương trình đó là xx 1;xx 1

1

2 2

1



b Cho phương trình: x 24m2x8 m90 Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:  1 2

2

2

1 x

1 x

1







Bài 3: (1,5 điểm)

a Cho 3 số a, b, c thỏa điều kiện a2 b2 c2  1

Chứng minh rằng a  b  c  ab  bc  ca  1  3

b Cho biểu thức: A  x  2 xy  y  2 x  1 Tìm giá trị nhỏ nhất mà A có thể đạt được

Bài 4: (2 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và một điểm C nằm giữa A, B Người ta kẻ trên nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax,

By vuông góc với AB và trên tia Ax lấy một điểm I Tia vuông góc với CI tại C cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P

a Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp được

b Chứng minh AI.BK = AC.CB

c Chứng minh tam giác APB vuông

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho hình thang vuông ABKI có diện tích lớn nhất

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, M là trung điểm BC AD là đường cao Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B và C xuống đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Bài 6: (1,5 điểm)

a Tìm số có hai chữ số mà số ấy là bội của tính hai chữ số của chính nó

b Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1 và độ dài các đường cao là các số nguyên thì tam giác ABC là tam giác đều

Đề thi số 4:

Bài 1: (1,5 điểm)

Giải phương trình: x 5  3 x 14x 5 3

  Bài 2: (1,5 điểm)

Tìm mọi số thực x, y, z thoả phương trình: x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z 5        

Bài 3: (2 điểm)

Cho Parabol  P : y x2

4

 và đường thẳng  D : y ax b  qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên

b Viết phương trình của (D)

c Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng với hoành độ x  2,4 ) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Bài 4: (1,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD có tâm O; vẽ đường thẳng (d) quay quanh O, cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại E và F (E và F không trùng với các đỉnh hình vuông) Từ E và F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với DB và AC; chúng cắt nhau tại I

a Tìm tập hợp điểm I

b Từ I vẽ đường vuông góc với EF tại H chứng tỏ H thuộc về một đường cố định và đường thẳng IH đi qua một điểm cố định

Bài 5: (1,5 điểm)

Tìm kích thước của tam giác có diện tích lớn nhất nội tiếp trong đường tròn (O; R) cho trước

Bài 6: (2 điểm)

a Tìm một số có hai chữ số biết tổng các chữ số bằng tích các chữ số

b Tìm một số có ba chữ số biết tổng các chữ số bằng tích các chữ số

Đề thi số 5:

Bài 1: (2,5 điểm)

Cho Parabol  P : y x2

4

 và điểm M (1; – 2 )

a Viết phương trình đường thẳng (D) qua M và có hệ số góc m

b Chứng minh rằng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi

c Gọi xA, xB lần lượt là hoành độ của A, B Xác định m để x x2A Bx xA B2 đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị đó

d Gọi A’; B’ lần lượt là hình chiếu của A, B lên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA’B’B Tính S theo m

Xác định m để S 4 8 m m   2 2m 2 

Bài 2: (2 điểm)

BC là một dây cung của đường tròn tâm O bán kính R (BC 2R ) Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng qui tại H

a Chứng minh rằng AEFđồng dạng với ABC

b Gọi A’ là trung điểm của BC Chứng minh: AH = 2 A’O

c Gọi A1 là trung điểm của EF Chứng minh : R.AA1AA'.OA'

d Chứng minh R EF FD DE    2SABC Suy ra vị trí của A để tổng EF FD DE  đạt giá trị lớn nhất

Bài 3: (1 điểm)

Tính độ dài đường chéo của ngũ giác đều cạnh a

Bài 4: (1,5 điểm)

Giả sử phương trình ax2bx c 0  có hai nghiệm phân biệt làx1 và x2 Đặt:

a Chứng minh aSn 2 bSn 1 cSn 0

b Aùp dụng tính:

A

Bài 5: (1,5 điểm)

a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2  x 1 x2 x 1

b Cho x, y, z là các số không âm và x + y + z = 1 tìm giá trị lớn nhất của M = xy + yz + zx Bài 6: (1,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương sao cho tổng của mỗi số với 1 thì chia hết cho số kia

Đề thi số 6:

Bài 1: (1,5 điểm)

Chứng minh tồn tại duy nhất một cặp số (x, y) thỏa phương trình: x2 4x y 6 y 13 0   

Bài 2: (2 điểm)

a Giải phương trình: x 1 2 x 2    7 x 6 x 2 2   

b Gọi a, b là nghiệm của phương trình x2px 1 0  và b, c là nghiệm của phương trình

2

x qx 2 0  Chứng minh hệ thức: b a b c     pq 6

Bài 3: (1,5 điểm)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2

2



b Định m để đường thẳng  D : y mx m 1

2

   tiếp xúc với (P)

c Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi

Bài 4: (1,5 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(– 2; 1) và B(2; 3) Tìm trên trục hoành toạ độ điểm M sao cho MA + MB bé nhất

Bài 5: (2 điểm)

a Hãy dựng hình bình hanh khi biết trung điểm của ba cạnh của nó

b Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn (O) các đường cao AA’; BB’ cắt đường tròn (O) tại I và K chứng minh rằng nếu A’I = B’K thì tam giác ABC cân

Bài 6: (1,5 điểm)

Cho các số a, b, c không đồng thời bằng 0 thoả mãn a2b2c2  và2 ab bc ca 1   Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của a, b, c

Đề thi số 7:

Bài 1: (1,5 điểm)

a Rút gọn biểu thức: A x 2 x 1   x 2 x 1 

b Tìm x, y biết rằng: 5x25y28xy 2x 2y 2 0   

Bài 2: (2 điểm)

Cho phương trình: x2mx n 0 

a Tìm m, n biết rằng phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa x12x22 1 2







b Cho biết n = m – 2 Tìm m, n để đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: (1,5 điểm)

Cho hàm số y ax 2 có đồ thị (P) trong mặt phẳng toạ độ Oxy

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi a 1

4



b Tìm a trong trường hợp đồ thị (P) của hàm số y ax 2 tiếp xúc với đường thẳng d có hệ số góc bằng 1 tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài 4: (2 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R) lấy một điểm M tuỳ ý trên cung nhỏ AB

a Tìm vị trí của M để MA + MB lớn nhất

b Kéo dài AM về phía ngoài (O) một đoạn MN = MB Tìm tập hợp điểm N khi M chạy trên cung nhỏ AB

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho hình vuông ABCD cạnh a; (d) là đường thẳng tuỳ ý đi qua tâm O của hình vuông Chứng minh rằng tổng của bình phương các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến d là một hằng số

Bài 6: (1,5 điểm)

Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2x 1 y2

Đề thi số 8:

Bài 1: (1,5 điểm)

Cho phương trình x2px q 0  Tìm p, q biết rằng phương trình có hai nghiệm thoả mãn:







Bài 2: (2 điểm)

Cho biểu thức yx 1 x 2 x 3 x 4          

a Tìm giá trị nhỏ nhất của y

b Giải phương trình y = 3

Bài 3: (1,5 điểm)

Cho a, b, c là ba số thực thoả mãn điều kiện a b c 0ab bc ca 0  

 tính giá trị của biểu thức:

T a 1 b  c 1

Bài 4: (2 điểm)

a Chứng minh: x2y2z2 xy yz zx  với mọi số thực x, y,z

b Chứng minh: nếu có x y z 1   thì x2 y2 z2 1

3

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho điểm O nằm trong tam giác ABC Giả sử bán kính các đường tròn nội tiếp các tam giác OAB, OBC và OCA bằng nhau Chứng minh rằng khi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì tam giác ấy là tam giác đều

Bài 6: (1,5 điểm)

a Chứng minh rằng: “Nếu a và b là hai số lẻ thì a3 b 23 n khi và chỉ khi a b 2  ”n

b Chứng minh rằng: với mọi n thì 4n15n 1 9 

Đề thi số 9:

Bài 1: (2 điểm)

a Giải phương trình: x 2 3 2x 5    x 2  2x 5 2 2 

b Giải hệ phương trình:

2

xy 2y 3x 0

y x y 2x 0







 Bài 2: (1,5 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Kẻ hai bán kính OC, OD vuông góc với nhau (điểm X nằm trên cung AD) Gọi C’; D’ lần lượt là hình chiếu của C, D trên AB

a Chứng tỏ rằng giao điểm P của hai đường phân giác của hai góc OCC’ và ODD’ là một điểm cố định

b Gọi I là giao điểm của BC và DF Tìm tập hợp điểm I khi C di động

Bài 3: (2 điểm)

Cho tam giác ABC có diện tích S Trên cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy C’; A’; B’ tương ứng sao cho: AC' C'B ; A'C 2BA' 1 ; B'A 3CB' 1 Giả sử AA’ cắt BB’ ở M, BB’ cắt CC’ ở N và cắt AA’ ở P tính diện tích tam giác MNP theo S

Bài 4: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn Lấy một điểm D trên cung BC (không chứa A) của đường tròn đó Hạ DH vuông góc với BC, DI vuông góc với CA và DK vuông góc với AB Chứng minh rằng: DHBC AC ABDI DK

Bài 5: (1,5 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m, n) sao cho 2m + 1 chia hết cho n và 2n + 1 chia hết cho m

Bài 6: (1,5 điểm)

Tính kích thước của một hình chữ nhật khi số đo của chu vi bằng số đo diện tích của nó

Đề thi số 10:

Bài 1: (1,5 điểm)

Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau đây vô nghiệm ax 3ay 2a 3x ay 1 

 Bài 2: (2 điểm)

Cho: y f(x)  x 2 x 1   x 2 x 1 

a Giải phương trình f(x) = 2

b Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x)

Bài 3: (1,5 điểm)

Tìm các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m:

2

x x  2x m 0 

Bài 4: (2 điểm)

Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy một điểm C cố định nằm ngoài đoạn

AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE và CF đến đường tròn đã cho E và F là hai tiếp điểm Gọi I là giao điểm của AB và EF Qua C kẻ cát tuyến tuỳ ý cắt đường tròn tại M và N Chứng minh: AIM BIN Bài 5: (1,5 điểm)

Trên dây AB của đường tròn (O) ta lấy một điểm C Gọi D là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC Chứng minh CB = CD

Bài 6: (1,5 điểm)

Chứng minh rằng nếu bốn số dương a, b, c, d thoả mãn hai trong ba hệ thức sau đây thì cũng thoả mãn hệ thức còn lại: a cb d (1)

a b c (2)

d b c (3)

Đề thi số 11:

Bài 1: (1,5 điểm)

a Giải phương trình: 1 2x 2  x 1

b Tính: 13 160  53 4 90

Bài 2: (2 điểm)

Cho (P) là đồ thị hàm số y = ax và điểm A( – 2;– 1 ) trong cùng một hệ trục

a Tìm a sao cho A (P) ; vẽ (P) với giá trị a tìm được

b Gọi B (P) có hoành độ là 4 viết phương trình đường thẳng AB

c Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB

Bài 3: (2 điểm)

Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định không đi qua tâm A là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn

a Chứng tỏ rằng A chỉ thuộc một cung A1A2 chỉ rõ A1; A2 là điểm nào trên hình vẽ

b Tìm tập hợp trực tâm H của tam giác ABC khi A di động trên cung A1A2.

c Đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (0) cắt hai cạnh AB và AC tại E và F Chứng tỏ B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn

d Tìm vị trí của A để tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Bài 4: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn(O) Một đường tròn thứ hai đi qua A, B, O và tiếp xúc với AC tại A chứng minh tam giác ABC cân tại A

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho phương trình y2my p 0  có hai nghiệm số là y1 và y2 Tìm m và p khi

1

1

1 y và

2

1

1 y cũng là nghiệm của phương trình này

Bài 6: (1,5 điểm)

Tổng các chữ số của một số có hai chữ số cộng với bình phương của tổng hai chữ số ấy cho ta chính số ấy Tìm số đã cho

Đề thi số 12:

Bài 1: (1,5 điểm)

a So sánh hai số: a 1999 2001; b 2 2000

b Giải phương trình x x 1 1 1

Bài 2: (2 điểm)

Cho hệ phương trình: 2x mymx 3y 4 3



a Giải hệ phương trình khi m = 2

b Với giá trị nguyên nào của m thì nghiệm của hệ thỏa x < 0 và y > O

Bài 3: (2 điểm)

Cho parabol (P): y 12x2 và đường thẳng (D): 2y – 1 = 0

a Vẽ (P) và (D)

b Cho điểm M0(D) có hoành độ x0 Viết phương trình tương đương đường thẳng (d) qua M0 có hệ số góc k

c Chứng tỏ rằng qua M0 có thể kẻ được hai tiếp tuyến đến (P) và hai tiếp tuyến ấy không vuông góc nhau

Bài 4: (1,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ nhất của y x 2000 2  x 2001 2

Bài 5: (1,5 điểm)

Cho điểm M trên đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng 2R Kẻ đường phân giác OD trong tam giác OAM Qua D kẻ đường thẳng song song với OM cắt OA tại I

a Tính tỉ số IAIO và độ dài IO theo R

b Tìm tập hợp điểm D khi M di động trên (O; R)

Bài 6: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn với H là trực tâm tam giác ABC M là một điểm ở trong tam giác Chứng minh MA.BC MB.CA MC.AB HA.BC HB.CA HC.AB