BỒI DƯỠNG học SINH GIỎI lớp 9, TS 10 CHUYÊN

Đây là 5 đề thi HSG cấp tp. HCM từ năm học 20042005 đến năm học 20072008. Cung cấp cho các bạn bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 có thêm một số bài tập để nâng cao và mở rộng thêm kiến thức. Bổ sung thêm nguồn tài liệu hay để các bạn thi tốt trong các kỳ thi HSG

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

PHẦN 1 CÁC ĐỀ TOÁN TRONG CÁC KỲ THI CHỌN HSG

Ở MỘT SỐ ĐỊA PHƯƠNG

A ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH, CẤP THÀNH PHỐ

ĐỀ 1: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2004-2005_Tg: 150 phút)

I PHẦN BẮT BUỘC

Bài 1 (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình:

2

2

1 1 1

2

2 1

4

x y z

xy z

�   

�

�  

�

Bài 2 (4 điểm) Tìm các số dương , ,x y z thỏa hệ:

1 16 9

4 16

x y z

x y z

�   

�

�

�   �

�

Bài 3 (2 điểm) Cho các số nguyên dương , ,x y z thỏa: x2y2 z2

a) Chứng minh tích x.y.z chia hết cho 3.

b) Chứng minh tích x.y.z chia hết cho 60.

Bài 4 (4 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AC vuông góc với BD (AC

và BD không đi qua tâm O) Gọi P là giao điểm của AC và BD

a) Tính tổng bình phương các cạnh của tứ giác ABCD theo R

b) Chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O đến AB bằng nửa độ dài cạnh CD

Bài 5 (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) có CD = AD + BC

(BC > AD) Chứng minh rằng hai tia phân giác của hai góc DAB và ABC cắt nhau tại một điểm thuộc cạnh CD

II PHẦN TỰ CHỌN

Học sinh chọn một trong hai câu sau đây:

Bài 6a (4 điểm)

a) Chứng minh bất đẳng thức: (m2 + n2)(p2 + q2) ≥ (mq + np)2

b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

3 1 4 5

A x   với x 1� �x 5

Bài 6b (4 điểm) Cho phương trình: x25mx6m2   m 1 0

a) Định m để phương trình trên có nghiệm.

b) Định m để phương trình có hai nghiệm x x phân biệt đều lớn hơn 2.1, 2

………

ĐỀ 2: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2005-2006_Tg: 150 phút)

Bài 1 (3 điểm) Cho phương trình: x2 + bx + c = 0 (1)

x2 + mx + n = 0 (2) trong đó các hệ số b, c, m, n đều khác 0 Biết b, c là các nghiệm của phương trình (2) và m, n là các nghiệm của phương trình (1) Chứng minh rằng b2 + c2 + m2 + n2 = 10

Bài 2 (3 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0, c ≠ 0) có nghiệm x1 > 0 và nghiệm còn lại âm

Chứng minh rằng phương trình cx2 + bx + a = 0 có nghiệm x2 > 0 và x1 + x2 + x1x2 ≥ 3

Bài 3 (3 điểm) Chứng minh rằng nếu có

1 1 1

2

a b c

a b c abc

�   

�

�

�   

� thì 2 2 2

1 1 1

2

a b c 

Bài 4 (3 điểm) Tìm các số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các

chữ số của nó

Bài 5 (4 điểm) Cho hình bình hành ABCD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt đường chéo AC

tại M (M ở trong đoạn AC) Chứng minh rằng BD là tiếp tuyến của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác AMB và AMD

Bài 6 (4 điểm) Cho tam giác đều ABC Từ một điểm M trên cạnh AB vẽ hai đường thẳng song song

với hai cạnh AC, BC, lần lượt cắt BC, AC tại D và E Tìm vị trí M trên cạnh AB để chiều dài đoạn

DE đạt giá trị nhỏ nhất

………

ĐỀ 3: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2006-2007_Tg: 150 phút)

Bài 1 (3 điểm) Thu gọn các biểu thức:

) A 6 2 5 29 12 5 ) 8 8 20 40

15 4 12

6 1 6 2 3 6

c

�    �

Bài 2 (3 điểm)

a) Chứng minh:  2  2 2 2

b) Cho

1, , ,

x y z   x� y� z�

Chứng minh: 4x 1 4y 1 4z �1 21.

Dấu “=” xảy ra khi x,y,z bằng bao nhiêu?

Bài 3 (4 điểm) Giải hệ phương trình và phương trình:

a)

12 5 18 5 36 13

xy

x y

yz

y z

zx

z x

� 

� 

�

� 

� 

�

�



� 

2

4

x

   

Bài 4 (2 điểm) Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 có các hệ số a, b, c là các số nguyên lẻ Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ

Bài 5 (4 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB bằng 2R Gọi M là một điểm chuyển

động trên nửa đường tròn (O) (M khác A và B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H Từ A và

B vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tâm M lần lượt tại C và D

a) Chứng minh ba điểm M, C, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M

b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi Tính tích số AC.BD theo CD

c) Giả sử CD cắt AB tại K Chứng minh OA2 = OB2 = OH.OK

Bài 6 (4 điểm) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có �ACB45 0 Đường tròn đường kính

AB cắt AC và BC lần lượt tại M và N Chứng minh MN vuông góc với OC và MN = 2

AB

………

ĐỀ 4: (KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9, TP HCM, NH: 2007-2008_Tg: 150 phút)

Bài 1 (4 điểm) Cho phương trình: 2x26m3x3m 1 0 (x là ẩn số).

a) Định m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt đều âm

b) Gọi x x là hai nghiệm của phương trình trên Định m để 1, 2 2 2

A x  đạt giá trị nhỏ nhất.x

Bài 2 (4 điểm)

a) Cho a, b, c là các số dương Chứng minh: 1 2

a b c b c d c d a d a b

        b) Cho a�1,b� Chứng minh: 1. a b 1 b a � 1 ab

Bài 3 (4 điểm) Giải các phương trình:

 2  2 2 

) 3x 6 3x 7 0; ) 8 3 5 3 5;

c x x x x x

          

    

Bài 4 (2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9

Bài 5 (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có trực tâm H

a) Xác định vị trí của điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A sao cho tứ giác BHCM là một hình bình hành

d) Lấy M là điểm bất kỳ trên cung BC không chứa điểm A Gọi N và E lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB và AC Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng

Bài 6 (2 điểm) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và diện tích tam giác AOB

bằng 4, diện tích tam giác COD bằng 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD

B.