Một số kiến thức toán học áp dụng giải bài tập vật lí THPT

PHẦN I MỞ ĐẦU 1 Lí do chọn đề tài: Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh tiếp thu khá tốt kiến thức lí thuyết Vật lí của bài giảng. Tuy nhiên, khi giải bài tập thì nhiều học sinh còn gặp khó khăn, nhất là khâu áp dụng các kiến thức toán học cơ bản cho bài tập Vật lí, các em chưa hình dung các kiến thức toán (đường hyperbol, elip, tròn; đồ thị hàm số, đạo hàm, tích phân; số phức …) được áp dụng như thế nào cho Vật lí. Điều này không chỉ các em học sinh yếu mà cả học sinh giỏi khi dạy đội tuyển ở trường. Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề “Một số kiến thức toán học áp dụng giải bài tập vật lí THPT” nhằm giúp các em học sinh áp dụng kiến thức toán học giải bài tập vật lí được tốt hơn. Với những kiến thức và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã cố gắng trình bày chuyên đề một cách ngắn gọn và đầy đủ nhất để các em học sinh dễ hiểu. Rất mong sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp để chuyên đề thật sự là tài liệu tham khảo bổ ích. 2 Phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu. Để hoàn thành đề tài này tôi chọn các phương pháp nghiên cứu sau đây: Phương pháp nghiên cứu tài liệu: + Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên phổ thông, các sách Đại học và tư liệu từ các bạn đồng nghiệp trên mạng Internet. + Đọc các sách lí luận để làm cơ sở cho việc trình bày hệ thống lý thuyết của chuyên đề. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu các dạng bài tập thuộc chương trình Vật lí THPT.

Trang 1

PHẦN I

MỞ ĐẦU 1/ Lí do chọn đề tài:

Xuất phát từ tình hình thực tế tôi đang giảng dạy hiện nay, đa số học sinh tiếp thu khá tốt kiến thức lí thuyết Vật lí của bài giảng Tuy nhiên, khi giải bài tập thì nhiều học sinh còn gặp khó khăn, nhất là khâu áp dụng các kiến thức toán học cơ bản cho bài tập Vật lí, các em chưa hình dung các kiến thức toán (đường hyperbol, elip, tròn; đồ thị hàm số, đạo hàm, tích phân; số phức …) được áp dụng như thế nào cho Vật lí Điều này không chỉ các em học sinh yếu mà cả học sinh giỏi khi dạy đội tuyển ở trường

Với lí do đó, tôi chọn nghiên cứu chuyên đề “Một số kiến thức toán học

áp dụng giải bài tập vật lí THPT” nhằm giúp các em học sinh áp dụng kiến thức

toán học giải bài tập vật lí được tốt hơn

Với những kiến thức và kinh nghiệm của bản thân, tôi đã cố gắng trình bày chuyên đề một cách ngắn gọn và đầy đủ nhất để các em học sinh dễ hiểu Rất mong

sự đóng góp ý kiến của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp để chuyên đề thật sự

là tài liệu tham khảo bổ ích

2/ Phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

* Để hoàn thành đề tài này tôi chọn các phương pháp nghiên cứu sau đây:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

+ Đọc sách giáo khoa, sách giáo viên phổ thông, các sách Đại học và tư liệu từ các bạn đồng nghiệp trên mạng Internet

+ Đọc các sách lí luận để làm cơ sở cho việc trình bày hệ thống lý thuyết của chuyên đề

* Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài này nghiên cứu các dạng bài tập thuộc chương trình Vật lí THPT

đời sống nói chung - Vật lí học nói riêng Nếu có một đại lượng nào biến thiên theo một quy luật hàm trong một khoảng (có thể là khoảng thời gian hoặc khoảng không gian), thì các thành phần liên quan đến đại lượng đó (giá trị tích phân cần tìm) đều có thể biểu diễn dưới dạng một Tích phân!

+ Trong mỗi khoảng x i1 ,x ichọn ra một số tùy ý  isao cho x i1 i x i

+ Nhân các giá trị f( ) i của hàm số f(x) tại các điểm đã chọn với các hiệu số x i1x ix i1

tương ứng

+ Cộng tất cả n tích f( ) i x i1 vừa nhận được lại

+ Tính giới hạn của tổng nhận được: 1

1

( )

n

i i i

Dạng 2: Từ phương trình các cơ bản của Vật lí  chuyển về các phương trình dạng vi

phân (biến của vi phân nào thì nằm cùng vế của vi phân đó)  lấy tích phân hai vế theo

các cận xác định  suy ra đại lượng cần tìm!

BÀI TẬP

Bài 1: Một con lắc lò xo gồm một vật nhỏ có khối lượng m gắn vào đầu của một lò

xo có độ cứng k và khối lượng không đáng kể như hình vẽ Vật m có thể trượt không

ma sát Từ vị trí cân bằng O kéo lò xo dãn một đoạn nhỏ

rồi buông nhẹ, ta thấy vật dao động quanh vị trí cân bằng

O Xác định công của lực đàn hồi khi vật đi từ vị trí x1 đến

vị trí x2

Hướng dẫn:

+ Vì lực đàn hồi thay đổi theo độ biến dạng x, nên ta chia nhỏ độ biến dạng toàn phần thành n đoạn biến dạng vô cùng nhỏxsao cho tương ứng với độ biến dạng này lực đàn hồi F được coi là không đổi

+ Khi xdẫn đến khụng (do đú n  ) Ta cú:

2 1

0 1

( ) lim

x i

a Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t

b Tớnh quóng đường vật đi được cho tới lỳc dừng

Hướng dẫn:

a Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t

+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động

  chạy qua một đoạn mạch có

điện trở thuần R Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T

trong m¹ch cã dßng ®iÖn xoay chiÒu i = I0sin 2 t

Cho X R, một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi giá trị

của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y Kí hiệu y = f(x) Với:

+ x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc.

+ X được gọi là miền xác định của hàm số.

+ Tập Y = được gọi là miền giá trị của hàm số.

Kể từ trái sang phải hàm số

đồng biến có hướng đi lên

Kể từ trái sang phải hàm số

nghịch biến có hướng đi

2 Đạo hàm

2.1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0  (a; b), đạo hàm của hàm số tại điểm x0 là:

( ) ( ) '( ) lim lim x=x-x ; ( ) ( )

(với   t t t0 là khoảng thời gian chất điểm đi được quãng đường s(t) – s(t 0 ))

+ Gia tốc là đạo hàm theo thời gian của vận tốc, hoặc đạo hàm bậc hai của quãng đường

( ) '( ) ''( )

a t v t s t

4 '( ) os( )

+ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (hình vẽ)

Bài 2: Một vật nặng được gắn vào một lò xo có độ cứng

40N/m thực hiện dao động cưỡng bức Sự phụ thuộc của

biên độ dao động này vào tần số của lực cưỡng bức được

biểu diễn như trên hình vẽ Hãy xác định năng lượng toàn

phần của hệ khi công hưởng

Bài 3: Một sóng hình sin đang truyền trên

một sợi dây theo chiều dương của trục Ox

Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại

thời điểm t1 (đường nét đứt) và t2 = t1 + 0,3

(s) (đường liền nét) Tại thời điểm t2 Tính

  N đang đi lên

+ Vậy tại thời điểm t2 vận tốc của N là: vN = 39,3 cm/s

Bài 4: Cho mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm có độ tự cảm L

và tụ điện có điện dung C thay đổi được Hiệu điện thế đặt vào hai đầu mạch là

Trang 11

Bài 5: Đặt điện áp xoay chiều ổn

định vào hai đầu đoạn mạch AB mắc

nối tiếp như hình a

Biết tụ điện có dung kháng Z C, cuộn

cảm thuần có cảm kháng Z L với

3Z L  2Z C Đồ thị biểu diễn sự phụ

thuộc vào thời gian của điện áp giữa

hai đầu đoạn mạch AN và điện áp

giữa hai đầu đoạn mạch MB như

hình b Viết biểu thức điện áp tức thời

giữa hai điểm M và N

Bài 6: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa dao

động theo phương thẳng đứng mà lực đàn hồi và chiều

dài của lò xo có mối liên hệ được cho bởi đồ thị như hình

14

2 6

dh

m dh

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và

chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2

là 4 (cm/s) Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có

cùng li độ lần thứ 5 là

Câu 2: Hai mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang

có dao động điện từ tự do với các cường độ dòng

điện tức thời trong hai mạch là i và 1 i được biểu 2

diễn như hình vẽ Tổng điện tích của hai tụ điện

trong hai mạch ở cùng một thời điểm có giá trị lớn



 C.

5C



 D

10C





Câu 3: Đặt điện áp xoay chiều ổn định vào hai

đầu đoạn mạch AB mắc nối tiếp (hình vẽ) Biết

tụ điện có dung kháng Z C , cuộn cảm thuần có

cảm kháng Z L và 3Z L = 2Z C Đồ thị

biểu diễn sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp

giữa hai đầu đoạn mạch AN và điện áp giữa hai

đầu đoạn mạch MB như hình vẽ Điệp áp hiệu dụng giữa hai điểm M và N là

A 173V B 86 V C 122 V D 102 V

Câu 4 : Lần lượt đặt điện áp u = U 2 cos t (U không đổi, ω

thay đổi được) vào hai đầu của đoạn mạch X và vào hai đầu của

đoạn mạch Y; với X và Y là các đoạn mạch có R, L, C mắc nối

tiếp Trên hình vẽ, P X và P Y lần lượt biểu diễn quan hệ công

suất tiêu thụ của X với ω và của Y với ω Sau đó, đặt điện áp u

lên hai đầu đoạn mạch AB gồm X và Y mắc nối tiếp Biết cảm

kháng của hai cuộn cảm thuần mắc nối tiếp (có cảm kháng Z L1

và Z L2 ) là Z L = Z L1 + Z L2 và dung kháng của hai tụ điện mắc

nối tiếp (có dung kháng ZC1 và ZC2) là ZC = ZC1 + ZC2

Khi ω = ω 2, công suất tiêu thụ của đoạn mạch AB có giá trị gần

giá trị nào nhất sau đây?

A 14 W B 10 W C.22 W D 18 W

Câu 5: Một học sinh xác định điện dung của tụ điện bằng

cách đặt điện áp u = U 0 cosωt (U 0 không đổi, ω = 314 rad/s)

vào hai đầu một đoạn mạch gồm tụ điện có điện dung C

mắc nối tiếp với biến trở R Biết 12 22 22 2. 12

R C U U

U  o  o  ;

trong đó, điện áp U giữa hai đầu R được đo bằng đồng hồ

đo điện đa năng hiện số Dựa vào kết quả thực nghiệm được

cho trên hình vẽ, học sinh này tính được giá trị của C là

A 1,95.10−3 F B 5,20.10−6 F C 5,20.10−3 F D.1,95.10−6 F

Trang 13

2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở R, cuộn cảm thuần L

và tụ điện C người ta thu được đồ thị biểu diễn quan hệ

giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình

dưới Giá trị x, y, z lần lượt là:

A. 400, 500, 40 B 400, 400, 50

C 500, 40, 50 D 50, 400, 400

tần số trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông

góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai

chất điểm) Biết đồ thị li độ dao động của hai

chất điểm theo thời gian lần lượt là x và y

(hình vẽ) Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất

điểm khi dao động là

A. 3 2cm B 3 cm

C 2 3 cm D 2 cm

đều chứa các phần tử: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C mắc nối tiếp người ta thu được đồ thị biểu diễn quan hệ giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình dưới Giá trị x là:

Câu 9: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa

cùng phương cùng tần số có phương trình là x1, x2, x3 Gọi

x12 =x1 +x2 , x13 =x1 +x3 , x23 = x2 + x3 như hình vẽ Khi li

độ dao động x = x1+x2 +x3 đạt giá trị cực tiểu thi li độ dao

động x3 là

A – 3cm và đang đi theo chiều dương

B – 3cm và đang đi theo chiều âm

C 3 cm và đang đi theo chiều dương

D 3 cm và đang đi theo chiều âm

u 10 2 cos(100 t   ) vào 2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở

R, cuộn cảm thuần L và tụ xoay C mắc nối tiếp Trong quá

trình thay đổi R, C, người ta luôn điều chỉnh sao cho công

suất tiêu thụ của mạch không đổi và thu được đồ thị như hình

dưới Biết tại R  x thì ZC 50  Giá trị công suất đó và

cảm kháng lần lượt là:

C 50, 100 D. 100, 50

thuần L và tụ dung C mắc nối tiếp, với 1

(F) Đặt điện áp xoay chiều

u U 2 cos(120 t)  vào 2 đầu A, B Hình vẽ bên dưới

thể hiện quan hệ giữa công suất tiêu thụ trên AB với điện

trở R trong 2 trường hợp: mạch điện AB lúc đầu và mạch

điện AB sau khi mắc thêm điện trở r nối tiếp với R

chiều RLC (R là biến trở, L thuần cảm) 2 điện áp

xoay chiều: u1 U cos( t 1,32)1  1 và

u  U cos(   t 1,32) , người ta thu được đồ thị

công suất mạch điện xoay chiều toàn mạch theo

biến trở R như hình dưới Giá trị gần nhất của y là:

ĐÁP ÁN

Trang 15

Vấn đề 3 SỐ PHỨC – TAM THỨC BẬC HAI – BẤT ĐẲNG THỨC Cễ-SI

(Áp dụng cho bài toỏn tổng hợp)

KIẾN THỨC TOÁN HỌC

1 Số phức

+ Số phức là số cú dạng z = a + ib, a, b  R, i2 = -1 Tập tất cả cỏc số phức kớ hiệu là C + Rez = a gọi là phần thực, Imz = b gọi là phần ảo của số phức z

+ Dạng lượng giỏc và dạng mũ: z = r (cos + i sin) = re i  Kớ hiệu z r   nờn trong Vật lớ ta sử dụng kớ hiệu này để tớnh biờn độ và pha), với 2 2

Cho tam thức bậc hai: y = f(x) = ax2 + bx + c

+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol

+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol

+ Nếu  > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt

3 Bất đẳng thức Cụ-si

Với a, b, c là cỏc số thực khụng õm, khi đú ta cú:

a + b  2 ab ; a + b + c  33abc (Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau)

Hệ quả:

+ Khi tích 2 số không đổi, tổng nhỏ nhất khi 2 số bằng nhau

+ Khi tổng 2 số không đổi, tích 2 số lớn nhất khi 2 số bằng nhau

+ R như một số phức nhưng chỉ có phần thực a (vì nằm trên trục hoành)

+ ZL, ZC là số phức chỉ có phần ảo b (vì nằm trên trục tung); ZL nằm ở phần dương

nên được biểu diễn là bi, ZC nằm ở phần âm nên được biểu diễn là – bi, với i là số ảo

+ u hoặc i cũng được xem là số phức nhưng viết dưới dạng tọa độ cực r  φ

Khi máy tính hiển thị dạng a + bi , cho ta biết phần thực và phần ảo

Khi máy tính hiển thị dạng r  φ, cho ta biết độ dài (modul) và góc φ (argumen) của số

DẠNG 2: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TỔNG HỢP CÁC DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

+ Mỗi dao động điều hòa xAcos( t)có thể biểu diễn bằng một số phức Khi đề cho x0,

Chỉ định dạng nhập / xuất toán Bấm SHIFT MODE 1 Màn hình xuất hiện Math

Thực hiện phép tính về số phức Bấm MODE 2 Màn hình xuất hiện CMPLX Dạng toạ độ cực: r  A Bấm SHIFT MODE  3 2 Hiển thị số phức kiểu r

Tính dạng toạ độ đề các: a + ib Bấm SHIFT MODE  3 1 Hiển thị số phức kiểu a+bi

Chọn đơn vị đo góc là độ: (D) Bấm SHIFT MODE 3 Màn hình hiển thị chữ D

Chọn đơn vị đo góc là Rad: (R) Bấm SHIFT MODE 4 Màn hình hiển thị chữ R

Để nhập ký hiệu góc:  Bấm SHIFT (-) Màn hình hiển thị dấu 

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có

phương trình là x1, x2, x3 Biết x12 6 cos( t )cm

Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có

phương trình là x1, x2, x3 Biết x12 6cos( t )cm

Bài 3: Một mạch điện xoay chiều mắc nối tiếp gồm điện trở thuần R =15Ω, cuộn thuần cảm

cú cảm khỏng ZL = 25 Ω và tụ điện cú dung khỏng Zc = 10 Ω Nếu dũng điện qua mạch cú biểu thức 2 2 os(100 t+ )( )

suất mạch ngoài cực đại

Hướng dẫn:

+ Dòng điện: I = E

r R+ Công suất: P = I2R =

 Vậy khi R = r = 4 thì Pmax =

2E9(W)4r 

( = 1) Cho biết AB = 2d Hãy xác định cường độ điện trường tại M trên đường trung trực AB cách đường thẳng AB một khoảng x Tìm x để EM đạt cực đại

AB có chiều dài L đang dựng đứng cạnh một bức tường thẳng

đứng (Hình vẽ) Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt đầu

chuyển động sang phải theo sàn ngang với vận tốc không đổi v

thì con bọ bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc không đổi u

đối với thanh Trong quá trình bò trên thanh, con bọ đạt được độ

cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn Cho đầu A của thanh luôn



+ Khi B di chuyển 1 đoạn s = v.t thì con bọ đi được l = u.t

+ Độ cao mà nó đạt: h = l sin =

2 2 2u.t L v tL

L4v

tại

2 2

LX2v



+ Vậy độ cao cực đại con bọ dừa đạt được là: hMax = u yMax uL

u = Uo cost Cuộn dõy thuần cảm Xột điện ỏp hiệu

dụng UL giữa hai đầu cuộn dõy Lần lượt cho biến thiờn

cỏc đại lượng điện (R, L, C, ) Tỡm giỏ trị cỏc đại lượng

L, để UL max và biểu thức UL max ứng với cỏc đại lượng trờn

Sử dụng tính chất cực trị của tam thức bậc hai:

- Ta có:

2 2

) ( L C

L L

L

Z Z R

U Z I

2

2 2

C Z

Z Z

Z R

L

L C L

C

Z b Z R a Z x

Z

Z Z

Z R A

2

; 0

; 1

1 2

2 2 2

2 2

- Suy ra: A = ax 2 + bx + 1 Đồ thị của tam

thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh

ứng với A min (bề lõm hướng lên)

- Khi A min thì U L max :

- Khi đó:

) (

2

2 1

C C

Z Z

a

b x

R Z Z

C C



2 2

2

2 2

2 min

) (

4

4 ) (

4

C C

Z R

R Z

R

Z Z

R a

2 2 max

L  =>

R

Z R U

2 2 max

2 2 2

R

CLU

C L R

LU I

Z

U L L

=>

2 2 2

2 2 4

2 1

C L LC C

2 2

2 2 2

2 2 4

; 2

;

1

2 1

C L c LC C

R b x

C L LC C

R A







- Suy ra: A = x 2 + bx + c Đồ thị của tam thức

bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh ứng với

A min (bề lõm hướng lên)

C

a A

4 min

2



x o

a A

4 min

2 2

2 1

C R LC a

b x

( 4

2 2 2

2 min

C R LC C R a

- Từ (1) =>

2 2 max

4

2

C R LC R

LC 



2 2 max

4

2

C R LC R

LU

U L





u = Uo cost Cuộn dây thuần cảm.Xét điện áp hiệu dụng

UC giữa hai đầu tụ điện Lần lượt cho biến thiên các đại

lượng điện (R, L, C, ) Tìm giá trị các đại lượng C, để UC max và biểu thức UC max

ứng với các đại lượng trên

Hướng dẫn:

Sử dụng tính chất cực trị của tam thức bậc hai:

- Ta có:

2 2

) ( L C

C C

C

Z Z R

U Z I

Z U

2

2 2

L Z

Z Z

Z R

C

C L C

L

Z b Z R a Z x

Z

Z Z

Z R A

2

; 0

; 1

1 2

2 2 2

2 2

- Suy ra: A = ax 2 + bx + 1 Đồ thị của tam

thức bậc hai A theo x là một parabôn có đỉnh

ứng với A min (bề lõm hướng lên)

- Khi A min thì U C max :

- Khi đó:

) (

2

2 1

L L

Z Z

a

b x

L C

Z

R Z Z

L L C

4 min