Quy tich khong gian cohen macaulay

quỹ tích không gian cohenmacaulay, quỹ tích không gian cohenmacaulay, đại số giáo hoán, đề tài quan trọng của đại số giao hoán, quỹ tích không gian cohen macaulay của các modun huu han sinh. quỹ tích không gian cohenmacaulay, quỹ tích không gian cohenmacaulay, đại số giáo hoán, đề tài quan trọng của đại số giao hoán, quỹ tích không gian cohen macaulay của các modun huu han sinh.

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mục lục

1.1 Bao đầy đủ 3

1.2 Phân tích nguyên sơ 4

1.3 Chiều của môđun 5

1.4 Phức đối ngẫu 7

1.5 Bội và hệ tham số 8

1.6 Đối đồng điều địa phương 9

1.7 Môđun Cohen-Macaulay Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 10

1.7.1 Dãy chính quy 10

1.7.2 Môđun Cohen-Macaulay 11

1.7.3 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng 12

1.8 Môđun Artin 13

1.9 Biểu diễn thứ cấp 13

2 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành địa phương có phức đối ngẫu 16 2.1 Một kiểu bất biến của môđun 16

2.2 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành địa phương có phức đối ngẫu 20

3 Tập giả giá và quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh 28 3.1 Tập giả giá và một số tính chất 28

3.2 Tập giả giá và quỹ tích không Cohen-Macaulay 303.3 Mối liên hệ giữa tính catenary phổ dụng và tính không trộn lẫn 34

Danh mục tài liệu tham khảo 41

(i) R 0 = R;

(ii) R n+1 ⊂ R n với mọi n >0;

(iii) RnRm ⊂ Rn+m với mọi n, m>0.

Ví dụ 1.1.2 (i) Giả sử R là một vành bất kỳ Lấy R0 = R và Rn = 0 với mọi

n >1. Khi đó {Rn}n>0 là một lọc của R và gọi là một lọc tầm thường

(ii) Cho I là một iđêan của R và đặt Rn = In, với mỗi n > 0. Khi đó {Rn}n>0

là một lọc của R, nó được gọi là lọc I−adic

(iii) Nếu {R n } n >0 là một lọc của R và S là một vành con của R thì {R nTS} n >0

là một lọc của S, nó được gọi là lọc cảm sinh trên S.

Định nghĩa 1.1.3 Cho Rlà một vành lọc MộtR −môđun M lọc là mộtR-môđun

M cùng với một họ {Mn}n>0 các R-môđun con của M thỏa mãn các điều kiện:(i) M0= M ;

(ii) Mn+1 ⊂ Mn với mọi n>0;

(iii) RmMn ⊂ Mn+m với mọi n, m>0.

Ví dụ 1.1.4 (i) Cho M là một R-môđun và R có lọc tầm thường Khi đó M cũng

có một lọc tầm thường được định nghĩa bởi M0= M và Mn = 0 với mọi n >1.

(ii) Cho I là một iđêan của R và xét lọc I-adic của R Định nghĩa lọc I-adiccủa M bằng cách lấy M n = InM. Khi đó M là một R−môđun lọc.

Cho M là một R−môđun lọc Lọc {Mn}n>0 trên M xác định một tôpô trên M

tương thích với cấu trúc nhóm con aben của M mà {Mn} là một cơ sở lân cận của

0 Tôpô này được gọi là tôpô cảm sinh bởi lọc {Mn} Cho M là một R-môđun vớilọc {Mn}n>0 Với tôpô được định nghĩa bởi lọc, M có bao đầy đủ Mb Nó là tập cáclớp tương đương của những dãy Cauchy của những phần tử của môđun M ứng vớiquan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

(x n ) ∼ (y n ) nếu với mỗi m, tồn tại một n 0 sao cho x n − y n ∈ M m, với mọi n> n 0

Định lý 1.1.5 Cho M là một R−môđun lọc với lọc {M n } và bao đầy đủ Mb Khi

đó M = limb ←−M/Mn

Định nghĩa 1.1.6 Tôpô được định nghĩa trên M bởi lọc I−adic được gọi là tôpô

I−adic và bao đầy đủ Mb được gọi là bao đầy đủ I−adic

Cho M là một R−môđun và I là một iđêan của R Cho Mb và Rb là những đầy

đủ I−adic tương ứng củaM và R Định nghĩa một phép nhân vô hướng của Rblênb

M xác định bởi

(an)(xn) = (anxn),

trong đó {a n } là một dãy Cauchy trong R và (x n ) là một dãy Cauchy trong M.Phép toán này được xác định và với phép toán này, Mb là Rb-môđun

1.2 Phân tích nguyên sơ

Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về sự phân tích nguyên

sơ của các môđun con của môđun Noether trong vành giao hoán theo [16], [17].Định nghĩa 1.2.1 Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là một R-môđun.Một iđêan nguyên tố p được gọi là một iđêan nguyên tố liên kết với M nếu tồn tại

0 6= x ∈ M sao cho p=Ann(x)

Tập các iđêan nguyên tố liên kết với M được ký hiệu là AssR(M ) hay Ass(M ).Hơn nữa, Ass(M ) = ∅ nếu M = 0 Đặt biệt nếu M là hữu hạn sinh và R là vànhgiao hoán Noether thì Ass(M ) hữu hạn

Mệnh đề 1.2.2 Giả sử 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 là một dãy khớp ngắn các

R−môđun Khi đó

Ass(M’)⊆Ass(M)⊆Ass(M’)∪Ass(M”).

Định nghĩa 1.2.3 (i) Một R-môđunM được gọi là đối nguyên sơ nếu nó có duynhất một iđêan nguyên tố liên kết

(ii) Môđun con N của M được gọi là môđun con nguyên sơ nếu M/N là đốinguyên sơ Nếu Ass(M/N ) = {p} thì N được gọi là p-nguyên sơ

(iii) Cho N là một môđun con của M Một sự phân tích nguyên sơ của N làmột phân tích

N = Q1∩ ∩ Qs

thành giao hữu hạn các môđun con pi-nguyên sơ Qi của M Sự phân tích nguyên

sơ này được gọi là tối tiểu nếu không thể bỏ đi bất kỳ một Qi nào và các iđêannguyên tố liên kết của M/Qi(16i6s) đôi một khác nhau

Rõ ràng mọi sự phân tích nguyên sơ của môđun con N của M đều có thể đưa

về dạng phân tích tối thiểu

Dưới đây là một đặc trưng cơ bản của phân tích nguyên sơ

(i) Nếu N = Q1∩ ∩ Qs là một phân tích nguyên sơ tối tiểu của N và Qi là

1.3 Chiều của môđun

Cho M là một môđun trên vành giao hoán R Đặt AnnRM = {a ∈ R | aM = 0}.Khi đó AnnRM là iđêan của R

Định nghĩa 1.3.1 Một dãy p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn các iđêan nguyên tố của R thỏamãn điều kiện pi 6= pi+1 với mọi i được gọi là một dãy iđêan nguyên tố độ dài ncủa R Chiều (Krull) của vành R, kí hiệu là dimR, là cận trên của các độ dài củacác dãy iđêan nguyên tố của R Chiều (Krull) của M, kí hiệu là dimM, là chiềucủa vành thương R/AnnRM.

Giá của M, kí hiệu là SuppM, được cho bởi công thức

dim M =max{dim(R/p) |p∈AssRM }.

Chứng minh VìM hữu hạn sinh nên SuppM = Var(AnnRM ).Do đó min SuppM =

min Var(AnnRM ). Theo [17], Định lí 6.5(iii) ta có min AssM =min SuppM. Do đómin AssM = min Var(AnnRM ).

Định nghĩa 1.3.3 Vành giao hoán có đơn vị R được gọi là vành địa phương nếu

nó có duy nhất một iđêan tối đại

Từ nay về sau, luôn giả thiết (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương với

m là iđêan tối đại duy nhất và M là R-môđun hữu hạn sinh với dimM = d

Định nghĩa 1.3.4 Một iđêan I của R được gọi là iđêan nguyên sơ nếu I 6= R vàvới mọi x, y ∈ R nếu xy ∈ I thì x ∈ I hoặc tồn tại số n > 0 sao cho yn ∈ I

Giả sửI là một iđêan nguyên sơ củaR Khi đó tập√I = {x ∈ R | ∃n ∈ N để xn ∈ I}

là một iđêan nguyên tố p củaR, trong trường hợp này ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ.Định lí sau đây, gọi là Định lí đa thức Hilbert - Samuel, cho ta 2 bất biến tươngđương với chiều

Định lý 1.3.5 ([17], Định lí 13.4) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ và M là mộtR-môđun hữu hạn sinh Khi đó, `(M/qn M ) là một đa thức với hệ số hữu tỷ khi n

đủ lớn và

dimM =deg`(M/qnM ) = inf {t | ∃x1, , xt ∈m, `(M/(x1, , xt)M ) < ∞}.

Hệ quả 1.3.6 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d> 1 Khi đó

dim(M/(x1, , xr)M )>d − r, ∀x1, , xr ∈m.

Chứng minh Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp r = 1 Cho

x ∈ m. Giả sử dim(M/xM ) = k < d − 1. Đặt M1 = M/xM. Theo Định lí đa thứcHilbert - Samuel, tồn tại x1, , xk ∈ m sao cho `(M1/(x1, , xk)M1) < ∞. Do đó

`(M/(x 1 , , xk)M ) < ∞. Theo Định lí đa thức Hilbert - Samuel,d = dim M 6k + 1.

(ii) Hi(D•) là hữu hạn với mọi i;

(iii) Dn là các R-môđun nội xạ với n ∈Z;

(iv) Với mọi phức C• thỏa các điều kiện (i), (ii) ở trên ta đều có

HomR(HomR(C•, D•), D•) ≈ C•,

trong đó ≈ là tựa đẳng cấu trong phạm trù các phức

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của phức đối ngẫu

(i) Cho B là một R-đại số hữu hạn sinh Nếu R có phức đối ngẫu thìB cũng cóphức đối ngẫu Mọi vành đa thức có hệ tử trên một trường đều có phức đối ngẫu

(ii) Địa phương hóa và vành thương của một vành có phức đối ngẫu luôn cóphức đối ngẫu Vành địa phương đầy đủ luôn có phức đối ngẫu.

(iii) Nếu R có phức đối ngẫu thì R là vành Catenary, tức là mọi dãy các iđêannguyên tố nằm giữa hai iđêan nguyên tố p ⊆q bất kỳ đều có cùng độ dài

số của M nếu (x 1 , , xd) là một hệ bội của M

Dưới đây là một số tính chất cơ bản của số bội e(x; M )

(i)Với mọi hệ tham số x của M thì

X

i=0

(−1)ie(x; Mi) = 0.

(iii) Chox = (x1, , xt)là một hệ bội củaM Nếu tồn tại một số nguyên dương

k và một giá trị i sao cho xkiM = 0 thì e(x; M ) = 0

(iv) Cho x = (x1, , xt) là một hệ bội của M và n1, , nt là các số nguyêndương tùy ý Khi đó

(viii) Công thức Auslander-Buchsbaum (xem [1]): Cho x = (x1, , xt) là một

hệ bội của M Khi đó

`R(M/(x1, , xt)M −e(x; M ) =

t

X

i=1

e(xi+1, , xt; (x1, , xi−1)M : xi/(x1, , xi−1)M ).

1.6 Đối đồng điều địa phương

Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương, M là một R-môđunhữu hạn sinh và I ⊂ R là một iđêan của R Khi đó ta có hàm tử I-xoắn ΓI(−) từphạm trù các R-môđun vào chính nó là hiệp biến, cộng tính, khớp trái Với mỗi

R-môđun M, ΓI(M ) được xác định bởi công thức

Với mỗi số nguyên i không âm, ta có hàm tử dẫn xuất phải thứ i RiΓI(−) của hàm

tử ΓI(−) Khi đó môđun đối đồng điều địa phương HIi(M ) thứ i của R-môđun M

hữu hạn sinh với giá I được xác định bởi

HIi(M ) = RiΓI(M ).

Dưới đây là một số đặc trưng cơ bản của môđun HIi(M ).

(i) Khi I = m thì Hmi(M ) là R-môđun Artin Hơn nữa Hmi(M ) = 0 với mọi

Trong mục này chúng tôi nhắc lại về dãy chính quy theo [16], [17]

Định nghĩa 1.7.1.1 Cho R là một vành giao hoán, M là một R-môđun và

a1, , ar là các phần tử của R Ta kí hiệu a = (a1, , ar) là iđêan và

Nếu tất cả các phần tửa1, , ar cùng thuộc một iđêanI củaR thì ta nói(a1, , ar)

là một M-dãy trong I Hơn nữa nếu không tồn tại b ∈ I sao cho (a1, , ar, b) là

M-dãy thì (a1, , ar) được gọi là một M-dãy cực đại trong I

Dãy chính quy có một số tính chất cơ bản sau đây:

(i) Nếu (a1, , ar) là mộtM-dãy và a1m1+ + armr = 0, mi ∈ M, i = 1, , r

(iv) Nếu (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương, M là một môđunhữu hạn sinh và (a 1 , , a r ) là một M-dãy thì

dim M/(a1, , ar)M = dim M − r.

Định nghĩa 1.7.1.2 Cho R là một vành giao hoán Noether, M là một Môđunhữu hạn sinh và I là một iđêan của R sao cho IM 6= M Độ dài của các M-dãy cựcđại trong I được gọi là I-độ sâu của M, kí hiệu là depthI(M ).

Khi (R,m) là một vành địa phương, ta kí hiệu depth(M ) hay depthR(M ) thaycho depthI(M )gọi là độ sâu của M

Mệnh đề 1.7.1.3 Nếu (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương, M làmột môđun hữu hạn sinh thì depth(M ) ≤ dim(R/p) với mọi p∈Ass(M ).

Định nghĩa 1.7.1.4 (xem [7]) Cho (R,m) là một vành giao hoán Nother địaphương, M là một R-môđun hữu hạn sinh Dãy a1, , ar các phần tử của R đượcgọi là dãy lọc chính quy hãy f-dãy đối với M nếu

là một R-môđun hữu hạn sinh M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0

hoặc dim M = depth(M ).

Vành R được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là một R-môđun Macaulay

Cohen-Định lý 1.7.2.2 Cho (R,m) là một vành giao hoán Noether địa phương và M

là một R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Khi đó các điều kiện sau là tươngđương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay.

(ii) Tồn tại một iđêan tham số p của M sao cho e(p; M ) = `R(M/pM ).

(iii) e(p; M ) = `R(M/pM ) với mọi iđêan tham số p của M

(iv) Tồn tại một hệ tham số của M là M-dãy

(v) Mọi hệ tham số của M là M-dãy

(vi) Hmi (M ) = 0 với i = 0, , d − 1.

1.7.3 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Định nghĩa 1.7.3.1 (xem [7]) Môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulaysuy rộng nếu

I(M ) = sup

x

{`R(M/(x1, , xd)M ) − e(x; M )} < +∞

trong đó x chạy trên tất cả các hệ tham số của M

Định nghĩa 1.7.3.2 Một hệ tham số x = (x 1 , , xd) củaM được gọi là hệ tham

số chuẩn tắc của M nếu nó thỏa mãn một trong hai điều kiện tương đương sau:(i) `(M/(x)M ) − e(x; M ) = `(M/(x21, , x2d)M ) − e(x21, , x2d; M ).

1.8 Môđun Artin

Cho m là một iđêan cực đại của R Nhắc lại rằng, môđun con m-xoắn Γm(A)

được định nghĩa bởi

Γ m (A) = [

n >0

(0 :A mn).

Khi đó ta có kết quả sau

Mệnh đề 1.8.1 (xem [24], Mệnh đề 1.4, Bổ đề 1.6) (i) Giả sử A là một R-môđunArtin khác không Khi đó chỉ có hữu hạn iđêan cực đại m của R sao cho Γm(A) 6= 0.

Nếu các iđêan cực đại phân biệt đó là m1, ,mr thì

A = Γm1(A) ⊕ ⊕ Γmr(A) và SuppA = {m1, ,mr}.

(ii) Với mỗi j ∈ {1, , r}, nếu s ∈ R\mj, thì phép nhân bởi s cho ta một tựđẳng cấu của Γmj(A). Do đó Γmj(A) có cấu trúc tự nhiên của một Rmj-môđun vàvới cấu trúc này, một tập con của Γmj(A) là một R-môđun con nếu và chỉ nếu nó

là Rmj-môđun con Đặt biệt

Amj ∼= Γ

m j (A), với mọi j = 1, , r.

Để thuận tiện, từ bây giờ trở đi ta đặt

là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là Rb-môđun con của A Do đó, A có cấutrúc tự nhiên của Rb-môđun Artin

1.9 Biểu diễn thứ cấp

Khái niệm phân tích đối nguyên sơ cho các môđun Artin được nghiên cứu bởi

D Kirby và D G Northcott Sau đó I G Macdonal [15] đã trình bày lại khái

niệm này một cách tổng quát cho môđun tùy ý và ông gọi đó là biểu diễn thứcấp để tránh nhầm lẫn với khái niệm đối nguyên sơ đã định nghĩa cho các môđunNoether Trong luận văn này, chúng tôi dùng thuật ngữ của I G Macdonal [15].Định nghĩa 1.9.1 (i) Một R-môđun M được gọi là môđun thứ cấp nếu M 6= 0

và với mọi x ∈ R, tự đồng cấu

fx: M −→ M

c 7−→ xc

hoặc là toàn cấu hoặc là lũy linh

Trong trường hợp này, tập Rad(Ann(M )) là một iđean nguyên tố, chẳng hạn là p,

và ta gọi M là p-thứ cấp

(ii) Cho một R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích

M = C1+ + Cn

thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp Ci, (i = 1, , n) Nếu M = 0 hoặc

M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được Biểu diễn thứ cấpđược gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và không cóhạng tử Ci nào thừa, với mọi i = 1, , n

Dễ thấy mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa về dạng tối thiểu Khi đótập {p1 , ,pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M Và tagọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M, ký hiệu là AttR(M ) Các hạng

tử Ci(i = 1, , n) được gọi là các thành phần thứ cấp của M Nếu pi là tối thiểutrong AttR(M ) thì Ci được goi là thành phần cô lập

Bổ đề 1.9.2 Cho A là R-môđun Artin Khi đó

(i) A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu

(ii) A 6= 0 nếu và chỉ nếu AttRA 6= 0

(iii) min AttRA =min Var(AnnRA).

Định lý 1.9.3 Mọi R-môđun Artin đều có một biểu diễn thứ cấp

Mệnh đề 1.9.4 (i) Cho M là một R-môđun biểu diễn được Khi đó M 6= 0 khi vàchỉ khi AttR(M ) 6=∅ Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của

R chứa Ann(M ) chính là tập các phần tử tối thiểu của R chứa Ann(M) chính làtập các phần tử tối thiểu của AttR(M ).

(ii) Cho 0 −→ M0 −→ M −→ M00 −→ 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun biểu diễnđược Khi đó ta có

AttR(M00) ⊆AttR(M ) ⊆ AttR(M0) ∪AttR(M00).

Cho A là một R-môđun Artin Khi đó, A là biểu diễn được Hơn nữa, theoMệnh đề 1.8.1 và Mệnh đề 1.8.2, A có cấu trúc tự nhiên của Rmj-môđun Artin vàd

Rmj-môđun Artin, với mj ∈SuppA, j = 1, , r Từ đó ta có các kết quả sau (xem[24], Bổ đề 1.8, Hệ quả 1.12, Hệ quả 2.7)

Mệnh đề 1.9.5 Các mệnh đề sau là đúng

(i) AttRmjA = {pRmj :p∈AttR(A)}

(ii) AttRmjA = {bq∩ Rmj :bq∈Att

d

Rmj(A)}

Chương 2

Chiều của quỹ tích không

Cohen-Macaulay trên vành địa

phương có phức đối ngẫu

Trong chương này, kí hiệu R là vành giao hoán Noether địa phương có phứcđối ngẫu khi đó quỹ tích không Cohen-Macaulay của R

nCM(R) = {P ∈Spec(R) | RP không Cohen-Macaulay}

là một tập đóng trong Spec(R) theo tôpô Zanriski Cho M là R-môđun hữu hạnsinh Vấn đề được đặt ra là xác định dimnCM(M ), trong đó

nCM(M ) = {P ∈Spec(R) | MP không Cohen-Macaulay}.

Mục đích của chương này là trình bày một số kết quả trong [5]: Một kiểu bất biếncủa môđun và xác định chiều của nCM(M)

2.1 Một kiểu bất biến của môđun

Trong suốt mục này ta luôn giả thiết rằng R là vành địa phương Nother giaohoán và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d.

Cho x = (x1, , xd)là hệ tham số (kí hiệu là s.o.p.) củaM và I = (x1, , xd)R.Cho n1, , nd là các số nguyên dương, đặt n = (n1, , nd) Ta xét hiệu

Trước hết chú ý rằng IM(n; x) nói chung không là một đa thức theo n với mọis.o.p x của M Hơn nữa tồn tại những vành địa phương B mà IB(n; x) khôngbao giờ là đa thức với mọi s.o.p của B (Xem [6], Hệ quả 6 ) Bước đầu tiên lànghiên cứu câu hỏi sau: Khi nào thì IM(n; x) là đa thức theo n? Câu hỏi này là

do Sharp [23] nêu ra và đã được giải quyết trong [6] Để thuận tiện, chúng ta sửdụng trong suốt chương này các ký hiệu sau Cho x = (x1, , xd) là s.o.p của M

Một tập hợp con của hệ tham số của M (viết tắt là s.s.o.p.) x1, , xj được gọi

là dãy rút gọn nếu thoã điều kiện xi ∈ P / với mọi P ∈Ass(M/x1M + + xi−1M )với

dim R/P > d − i, i = 1, , j Chú ý rằng nếu x = (x1, , xd) là một s.o.p của M

và x1, , xd−1 có dạng dãy rút gọn, khi đó x đúng là một s.o.p rút gọn, nó đượcgiới thiệu bởi Auslander và Buchsbaum trong [1]

Định nghĩa 2.1.1 Một s.s.o.p x1, , xj của M được gọi là một P-dãy nếu

Ii(n)M : xni+1

i+1 = Ii(n)M : xi+1

với n1, , ni+1 > 0 và i = 0, 1, , j − 1. Trong đó I0(n) là iđêan không của R Dãy

x1, , xj được gọi là một P-dãy không điều kiện (viết tắt là u.P-dãy) nếu với mọihoán vị của dãy x 1 , , xj cũng là một P-dãy

Bổ đề 2.1.2 ([6], Bổ đề 2 ) Đặt x = (x1, , xj) là một s.s.o.p của M Khi đó,

x là một u.P-dãy khi và chỉ khi với mọi hoán vị α của {1, , j} thì

Bổ đề 2.1.3 ([6], Định lý 1 ) Cho x là s.o.p của M Khi đó x là một u.P-dãy khi

và chỉ khi IM(n; x) là một đa thức theo n với mọi n1, , nd > 0.

Bổ đề 2.1.4 Cho x = (x 1 , , xd) là một s.o.p của M và x 1 , , x j (0 < j ≤ d) làmột u.P-dãy Khi đó e(Ii0; I i−1 (n)M : xni

i /I i−1 (n)M ) là một đa thức theo n với mọi

n1, , nd > 0 và 0 < i ≤ j

Chứng minh Nếu j = 1 thì bổ đề là đúng với mọi R-môđun M có chiều d Do đó

bằng quy nạp trên d và i, ta giả sử bổ đề đúng cho tất cả các môđun có số chiều

nhỏ hơn d và với mọi i ≤ k − 1 < j Từ ([1], Hệ quả4 · 3) ta có

Ký hiệu F là số hạng trên bên phải, khi đó F là một hàm số theo n không phụ

thuộc vào nk−1 Vì vậy cho nk−1 = 1,

F = e(xk−1R+Ik0; Ik−2(n)M : xk/Ik−2(n)M )−e(Ik0; (Ik−2(n)M +xk−1M ) : xk/Ik−2(n)M +xk−1M )

= e(xk−1R + Ik0; Ik−2(n)M : xk/Ik−2(n)M ) − e(Ik0; Ik−2(n)M : xk/Ik−2(n)M ),

trong đó, M = M/xk−1M Vì dim M = d − 1, bằng quy nạp trên d và i ta có F là

một đa thức với mọi n1, , nk−2 > 0 Mặt khác, theo giả thiết

e(xk−1R + Ik0; Ik−2(n)M : xk/Ik−2(n)M )

cũng là một đa thức Như vậy, e(Ik0; Ik−1(n)M : xk/Ik−1(n)M ) là một đa thức với

mọi n1, , nk−1 > 0.

Kí hiệu ai(M )là linh hoá tử củaHmi(M ), trong đó Hmi(M )là môđun địa phương

đối đồng điều thứ i của M đối với iđêan cực đại m của R Đặt

a(M ) =a0(M ) ad−1(M ).

Mệnh đề 2.1.5 ([13], Định lý 9) Cho x = (x1, , xd) là một s.o.p của M (R

không cần có phức đối ngẫu) Khi đó bậc nhỏ nhất của tất cả các đa thức theo

n = (n1, , nd) chặn trên IM(n; x) thì không phụ thuộc vào x

Chứng minh Áp dụng ([13], Bổ đề 2) và bằng chứng minh quy nạp trên d ta có

`(M/Id(n)M ) ≤ n1 nd`(M/IdM ).

Do đó

IM(n; x) = `(M/Id(n)M ) − e(Id(n); M ) ≤ n1 nd(`(IdM ) − e(M/Id; M )).

Vì vậy IM(n; x) luôn bị chặn trên bởi một đa thức Cho n1 = = nd = t, ta cũngđặt IM(t; x) = IM(n; x) Bây giờ chúng ta kí hiệud(x)(d0(x)) là bậc nhỏ nhất của tất

cả các đa thức chặn trên IM(n; x)(IM(t; x)) Rõ ràng là d(x)>d0(x) Cho t1 là một

số nguyên dương sao cho t1 > max{n1, , nd} Khi đó ta dễ dàng kiểm tra đượcrằng IM(n; x) ≤ IM(t; x) Do đó d(x) ≤ d0(x) Vậy d(x) = d0(x) Theo ([13], Định

lý 9) vì d0(x) không phụ thuộc vào việc chọn x kết thúc chứng minh của Mệnh

đề 2.1.5

Định lý 2.1.6 Giả sử R có phức đối ngẫu Khi đó

(i) Tồn tại s.o.p.x = (x1, , xd) của M sao cho IM(n; x) là một đa thức theo n

với mọi n1, , nd > 0.

(ii) Bậc của IM(n; x) không phụ thuộc vào x, tức là với bất kỳ s.o.p y = (y1, , yd) của M sao cho IM(n; y) là một đa thức theo n, khi đó deg IM(n; x) =

degIM(n; y).

Chứng minh (i) VìRcó phức đối ngẫu và theo ([21], Satz2·4·6) ta códim(R/a(M )) ≤

d − 1 Hơn nữa, vì mọi ảnh đồng cấu của R cũng có phức đối ngẫu, nên luôn tồntại một s.o.p x = (x1, , xd) thoã mãn các điều kiện sau đây:

Do đó từ Bổ đề 2.1.4 suy ra `(Id−1(n)M : xd/Id−1(n)M ) là một đa thức với mọi

n1, , nd−1 > 0 Tương tự như cách chứng minh của Bổ đề lý 2.1.4 ta chỉ rarằng e((xi+1, , xd−1)A; Ii(n)M : xd/Ii(n)M ) là một đa thức theo n1, , ni với i =

0, 1, , d − 1 Đặc biệt, vớii = d − 1 ta suy ra `(Id−1(n)M : xd/Id−1(n)M ) là một đathức Do đó (i) được chứng minh

(ii) Áp dụng Mệnh đề 2.1.5

Như vậy Định lí 2.1.6 được chứng minh xong

2.2 Chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành địa

phương có phức đối ngẫu

Trong phần này ta luôn giả thiết rằng R có phức đối ngẫu Nếu R có phức đốingẫu thì bậc của đa thức trong Định lý 2.1.6 chỉ phụ thuộc vào M và bậc của các

đa thức này ta kí hiệu là d(M ) Để nêu định lý tiếp theo ta cần một vài kí hiệu

endimJ(M ) := inf{i : HJi(M ) không hữu hạn sinh trên R},

trong đó J là một iđêan của R Ta đặt

r(M ) := inf{k : với mọi s.s.o.p của M có (d - k - 1) phần tử là một dãy rút gọn của M}.