Quỹ tích không Cohen- Macaulay và quỹ tích không cohen-macaulay suy rộng

của môđun trong một iđêan, tính catenary cho các vành Noether, biểudiễn thứ cấp của môđun Artin.. Chiều Krull của vành R là cận trên đúng củatất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố tro

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THANH GIANG

QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY

VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên – 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRẦN THANH GIANG

QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY

VÀ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY SUY RỘNG

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:PGS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

Thái Nguyên – 2014

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn đã được sự đồng ý của cá nhân và tổ chức Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

Trần Thanh Giang

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Kiến thức cơ sở 6 1.1 Chiều Krull 6

1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 9

1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun trong một iđêan 11

1.4 Tính catenary cho các vành Noether 16

1.5 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin 18

2 Quỹ tích không Cohen Macaulay và không Cohen -Macaulay suy rộng 23 2.1 Vành và môđun Cohen-Macaulay 23

2.2 Tập giả giá và một số tính chất 25

2.3 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay 27

2.4 Vành và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 33

2.5 Giá suy rộng và một số tính chất 34

2.6 Mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng 38

1

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tậntình của PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã dành nhiều thời gian hướngdẫn và giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn.Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô

Tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán, Khoa Sau đại học TrườngĐại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô đã thamgia giảng dạy khóa học 2012-2014, lời cảm ơn sâu sắc nhất về công laodạy dỗ trong suốt quá trình giáo dục, đào tạo của nhà trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân quan tâm, tạo điềukiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

2

Lời nói đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan cực đạiduy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d

Lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun quan trọng trong đại sốgiao hoán Kí hiệu depth M là độ sâu của M trong m Ta luôn có dim M ≥depth M Ta nói M là môđun Cohen-Macaulay nếu depth M = dim M Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M , kí hiệu nCM(M ), là tập tất

Cohen-Macaulay Năm 2002, M Brodmann và R Y Sharp (Xem [BS1] ) đãgiới thiệu khái niệm tập giả giá của một môđun hữu hạn sinh nhằm xâydựng công thức bội cho các môđun đối đồng điều địa phương Cho i ≥ 0

được cho bởi công thức:

Năm 2010, trong [CNN], Nguyễn Tự Cường, Lê Thanh Nhàn,

06i<j6d

Lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng được xem như sự mở rộngcủa môđun Cohen-Macaulay Kí hiệu e(x, M ) là số bội của M ứng với hệ

với mọi hệ tham số x Một môđun M được gọi là môđun Cohen-Macaulaysuy rộng nếu: sup

x

cả các hệ tham số của M

Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M , được kí hiệu là

Cũng giống như quỹ tích Macaulay, quỹ tích không

[NNK] của Lê Thanh Nhàn, Nguyễn Thị Kiều Nga, Phạm Hữu Khánh:

Luận văn gồm 2 chương Chương 1 trình bày một số vấn đề vềchiều Krull, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và độ sâu

của môđun trong một iđêan, tính catenary cho các vành Noether, biểudiễn thứ cấp của môđun Artin Chương 2 là phần chính của luận văntrình bày khái niệm vành và mô đun Cohen-Macaulay, vành và môđunCohen-Macaulay suy rộng, mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay quatập giả giá, mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng qua giá suyrộng.

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong suốt chương này, luôn giả thiết R là một vành giao hoánNoether và M là một môđun hữu hạn sinh Mục đích của Chương này làtrình bày những kiến thức cơ sở về chiều, độ sâu, môđun đối đồng điềuđịa phương, biểu diễn thứ cấp, phục vụ cho chứng minh các kết quả củachương sau

nguyên tố độ dài n của R Chiều Krull của vành R là cận trên đúng củatất cả độ dài của dãy các iđêan nguyên tố trong R Chiều Krull của Rđược kí hiệu là dim R

Một vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu mọi dãy tăngcác iđêan của R đều dừng Chú ý rằng R là vành Noether nếu và chỉnếu mọi iđêan của R là hữu hạn sinh Một vành giao hoán R được gọi

là vành Artin nếu mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng Chú ý rằngnếu R là vành Artin thì R là vành Noether và mỗi iđêan nguyên tố của

6

R đều là iđêan tối đại.

Ví dụ 1.1.2 a) Với k là một trường, ta có vành đa thức vô hạn biến

các iđêan nguyên tố:

sẽ có độ dài n tùy ý

b) Nếu R là vành Artin thì dim R = 0, vì mỗi iđêan nguyên tố của

R đều là một iđêan cực đại

c) Vành các số nguyên Z có dim Z = 1, vì 0 là một iđêan nguyên

tố, còn mọi iđêan nguyên tố khác không là cực đại và có dạng pZ với p

là số nguyên tố

Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết

nguyên tố liên kết như sau

Bổ đề 1.1.3

chuỗi lũy thừa hình thức của n biến với hệ số trong R, khi đó ta có côngthức tính chiều của vành đa thức và vành các chuỗi lũy thừa hình thức:

Nhắc lại rằng một vành Noether R được gọi là vành địa phươngnếu nó có duy nhất một iđêan tối đại Từ nay đến hết tiết này, luôn giảthiết (R, m) là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất Cho

I 6= R là iđêan của R Ta nói rằng I là iđêan nguyên sơ nếu ab ∈ I và

nguyên sơ thì p = Rad(I) là iđêan nguyên tố Trong trường hợp này

ta gọi I là iđêan p-nguyên sơ Định lí sau đây cho ta 2 bất biến tươngđương với chiều Krull của M

Định lý 1.1.5 ([Mat, Định lí 13.4]) Cho q là một iđêan m-nguyên sơ

Vì R là vành Noether nên m là iđêan hữu hạn sinh Do đó tồn

này, ta giả thiết rằng dim M = d

r ≤ d được gọi là một phần hệ tham số của M nếu tồn tại các phần tử

phần hệ tham số của M

Chứng minh Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp r = 1

Định lí 1.1.5 tồn tại x1, , xk ∈ m để `R(M1/(x1, , xd)M1) < ∞ Do đó

`R(M/(x, x1, , xk)M ) < ∞ Từ Định lí 1.1.5 ta suy ra d = dim M ≤

k + 1 Vì thế d − 1 ≤ k Điều này là vô lí

Ví dụ 1.1.8 Với R = K[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Trong tiết này luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether, I làiđêan cuả R và L là R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh) Mụcđích của tiết này là trình bày các tính chất cơ sở của môđun đối đồngđiều địa phương phục vụ cho chương sau Các kiến thức và thuật ngữ ởđây được tham khảo từ cuốn sách của Brodmann - Sharp [BS]

hàm tử I-xoắn

Định nghĩa 1.2.2 Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử I-xoắn

đối phức

∗ 0

∗ 1

phức trên Môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải nội xạ của L

đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương

Mệnh đề 1.2.3 Các phát biểu sau đây là đúng:

gọi là đồng cấu nối, sao cho ta có dãy khớp dài:

δ 1

Một kết quả rất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương

là Định lí triệt tiêu của Grothendieck

Định lý 1.2.4 (Định lí triệt tiêu của Grothendieck) Cho M là một

i > dim M

Ví dụ 1.2.5 Cho R = Z là vành các số nguyên, M = Z/6Z là R-môđun

1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun trong một

iđêan

Định nghĩa 1.3.1 (i) Một phần tử x ∈ R được gọi là phần tử không

m = 0 với mọi m ∈ M

(ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử M -chính quy nếu ta có

và xM 6= M

Nếu bỏ giả thiết M 6= (x1, , xk)M trong khái niệm dãy chính quythì ta được khái niệm dãy chính quy nghèo

Định nghĩa 1.3.2 Dãy các phần tử (x1, , xk) của vành R được gọi là

M -dãy nghèo nếu với mọi i = 1, , k ta có

(Gọi J là căn Jacobson của R, tức J là giao của tất cả các iđêan tối đạicủa R Bổ đề Nakayama phát biểu rằng nếu I là iđêan chứa trong J và

là M -dãy nếu và chỉ nếu nó là M -dãy nghèo

Ví dụ 1.3.3 Cho R = k[[x, y, z]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thức

ba biến x, y, z trên một trường k Khi đó:

(i) x, y, z là R-dãy vì R 6= (x, y, z)R, và ta có

(ii) Ta có thể kiểm tra được x, y(1 − x), z(1 − x) là R-dãy

Chứng minh Khẳng định (ii) được suy ra ngay từ (i) Vì thế ta chỉ cầnchứng minh (i)

thì bằng các lập luận tương tự như chứng minh Bổ đề 1.3.4 ta có đặctrưng sau đây cho dãy chính quy nghèo

Bổ đề 1.3.6 Mỗi M -dãy trong m đều là một phần hệ tham số của M

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta chỉ cần chứng minh chotrường hợp dãy chính quy gồm 1 phần tử.

Cho x ∈ m là một phần tử M -chính quy Theo Bổ đề 1.3.4,

dim(M/xM ) = dim(R/q) ≤ dim(R/p) − 1 ≤ dim M − 1

Theo Hệ quả 1.1.7 ta suy ra x là phần tử tham số của M

Mệnh đề sau đây chỉ ra rằng độ dài của các M -dãy trong một iđêan

Mệnh đề 1.3.7 Cho r ∈ N Các mệnh đề sau là tương đương:

(i) Tồn tại một M -dãy có độ dài r trong I

Theo giả thiết quy nạp, tồn tại một M/xM -dãy (x2, , xr) trong I Vìthế,(x1, , xr) là M -dãy trong I.

Ngược lại, cho (x1, , xr) là một M -dãy trong I Ta sẽ chứng minh

Từ dãy khớp

(i)⇔(ii) Bằng quy nạp theo r và bằng các lập luận tương tự như chứngminh trên ta suy ra kết quả

là M -dãy tối đại trong I nếu không tồn tại một phần tử y ∈ I sao cho

Mệnh đề 1.3.9 Giả sử M 6= IM Khi đó mỗi M -dãy trong I đều mởrộng được thành M -dãy tối đại trong I và hai M -dãy tối đại trong I có

chung độ dài Độ dài chung này chính là số nguyên i nhỏ nhất sao cho

Chứng minh Đặt dim M = d Theo Bổ đề 1.3.6, mỗi M -dãy là một phần

hệ tham số của M Vì thế độ dài của M -dãy không vượt quá d Do đómỗi M -dãy trong I đều có thể mở rộng thành M -dãy tối đại trong I

M -dãy tối đại trong I đều có chung dộ dài và độ dài chung này chính

dài của một M -dãy tối đại trong I cũng là số nguyên i bé nhất sao cho

Định nghĩa 1.3.11 Độ dài của một M -dãy chính quy tối đại trong Iđược gọi là độ sâu của M trong I và được kí hiệu là depth(I; M ) Độsâu của M trong iđêan cực đại m, được kí hiệu là depth M và được gọi

là độ sâu của M

Từ chứng minh Mệnh đề 1.3.7 và Hệ quả 1.3.10 ta có kết quả sauđây

Hệ quả 1.3.12 Nếu M 6= IM thì ta có đẳng thức sau.

Định nghĩa 1.4.1 Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của R Một dãy

mọi i = 0, n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hòagiữa p và q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố P

dài của dãy iđêan nguyên tố bão hòa trên

Định nghĩa 1.4.2 R được gọi là vành catenary nếu với mọi cặp iđêannguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan nguyên tố bão hòagiữa q và p, và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chúng độdài

Chú ý rằng, vì (R, m) là vành Noether địa phương nên chiều của

R là hữu hạn, do đó mỗi dãy nguyên tố giữa p và q đều có thể mở rộngthành một dãy nguyên tố bão hòa, tức là luôn tồn tại dãy iđêan nguyên

tố bão hòa giữa 2 iđêan nguyên tố q ⊂ p Vì thế R là vành catenary nếu

và chỉ nếu mọi dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa p và q đều có chung

độ dài

Bổ đề 1.4.3 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary

(ii) Nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary

Chứng minh (i) Giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R Khi

của R/I tương ứng với một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan

R/I Vì thế R/I là catenary

(ii) Giả sử dim R ≤ 2 Cho q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R Khi đóchỉ có một trong hai khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm một iđêannguyên tố giữa q và p để được dãy bão hòa, hoặc q ⊂ p đã bão hòa Vìthế R là catenary

M Ta nói rằng M là đẳng chiều nếu dim(R/p) = dim M với mọi p ∈

Kết quả sau được R J Ratliff đưa ra vào năm 1972

Mệnh đề 1.4.5 Miền nguyên Noether địa phương R là catenary nếu

và chỉ nếu:

ht p + dim(R/p) = dim R với mọi p ∈ Spec R

Năm 1974 Mc Adam và R J Raliff đã mở rộng mệnh đề trên chocác vành địa phương Noether đẳng chiều

Mệnh đề 1.4.6 Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều Khi

đó R là catenary nếu và chỉ nếu với mọi iđêan nguyên tố p của R ta có:

ht p + dim(R/p) = dim R

1.5 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin

Luôn giả thiết R, m là vành giao hoán Noether địa phương và A là

R môđun Các kiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo[Mac] của I G Macdonald

Định nghĩa 1.5.1 i) Cho x ∈ R Nếu tồn tại một số tự nhiên n sao

thì ta nói phép nhân bởi x trên A là toàn cấu

ii) Ta nói A là môđun thứ cấp nếu A 6= 0 và phép nhân bởi x trên A làtoàn cấu hoặc lũy linh với mọi x ∈ R Trong trường hợp này, tập cácphần tử x ∈ R sao cho phép nhân của x trên A là lũy linh làm thànhmột iđêan nguyên tố p và ta gọi A là p-thứ cấp

được gọi là một biểu diễn thứ cấp của A Biểu diễn thứ cấp này gọi là

iv) Nếu A = 0 hoặc A có biểu diễn thứ cấp thì A biểu diễn được

Tiếp theo ta chỉ ra mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thể qui về tốithiểu

Bổ đề 1.5.2 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Môđun thương khác 0 của môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp

(ii) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp.(iii) Tổng của hữu hạn môđun con p-thứ cấp của A là p-thứ cấp

Chứng minh (i) Giả sử A là p-thứ cấp và B = A/Q 6= 0 Nếu x ∈ p

xB = B Vậy B là p thứ cấp

(ii) Suy ra từ định nghĩa môđun p-thứ cấp

(iii) Giả sử A1, , An là các môđun con p-thứ cấp của A Ta có toàn cấu

có kết quả

Mệnh đề 1.5.3 Mỗi biểu diễn thứ cấp đều có thể quy về tối thiểu

p-thứ cấp Vì thế, bằng cách loại đi các thành phần thứ cấp thừa, ghéplại những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố, ta cóthế rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành biểu diễn thứ cấp tối thiểu

khẳng định sau là tương đương:

(ii) A có môđun thương là p-thứ cấp

Pi)

(ii) ⇒ (iii) Giả sử P là môđun thương p-thứ cấp của A Vì R là

p-thứ cấp nên P 6= 0 Ta khẳng định P 6= pP Thật vậy, nếu P = pP

thì với mọi n ≥ nt ta có

Điều này là mâu thuẫn Vì thế Q = P/pP là môđun thương khác

0 của P và do đó cũng là môđun thương khác 0 của A Do P là p-thứ

Q = A/B =

nX

k=1

nX

k=1

biểu diễn thứ cấp tối thiểu của Q Đánh lại thứ tự các chỉ số ta có thể

Từ bổ đề trên ta có định lí sau đây:

Định nghĩa 1.5.6 Giả sử A biểu diễn được Theo định lí duy nhất thứ

diễn thứ cấp tối thiểu của A Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố gắn

thành phần thứ cấp tương ứng gọi là thành phần thứ cấp cô lập của A

Định lí tiếp theo chỉ ra rằng các thành phần thứ cấp cô lập là duynhất.

Định lý 1.5.7 (Định lí duy nhất thứ hai) Giả sử A là biểu diễn được

thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A

Cuối tiết này trình bày tính biểu diễn được của môđun Artin

Bổ đề 1.5.8 Giả sử A 6= 0 là Artin Nếu A không là tổng của haimôđun con thực sự của A thì A là thứ cấp

Chứng minh Giả sử A không thứ cấp Khi đó tồn tại x ∈ R sao cho

Điều này là vô lí

Định lý 1.5.9 Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Chứng minh Cho A là Artin Giả sử A không biểu diễn được Gọi Γ

là tập các môđun con không biểu diễn được của A Khi đó A ∈ Γ, do

đó Γ 6= ∅ Do A là Artin nên Γ có phần tử cực tiểu L Vì L ∈ Γ nên

L 6= 0 và L không là môđun thứ cấp Theo bổ đề trên thì L viết được

Chương 2

Quỹ tích không Cohen - Macaulay

và không Cohen - Macaulay suy

rộng

Trong suốt chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành Noetherđịa phương với m là iđêan cực đại duy nhất, M là R-môđun hữu hạnsinh chiều Krull dim M = d

Định nghĩa 2.1.1 M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc

M 6= 0 và depth M = dim M Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trênchính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay

23

các chuỗi lũy thừa hình thức n biến trên một trường K Vành này có

mọi iđêan nguyên tố p của R

(iii) M là Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là

M -dãy

(iv) R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành các chuỗi lũy thừa

Mệnh đề 2.1.3 Các điều kiện sau là tương đương

(i) M là môđun Cohen-Macaulay

(iii) M/xM là Cohen-Macaulay với mọi phần tử M -chính quy x ∈ m

(i)⇔(ii)

Vì x là M -chính quy nên depth(M/xM ) = depth M − 1 và ta códim M/xM = dim M − 1 Do đó M là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếuM/xM là Cohen-Macaulay Do đó ta có (i) tương đương với (iii)

Nếu M là Cohen-Macaulay thì depth M = d Suy ra d là số nguyên

có depth M = d Do đó M là Cohen-Macaulay Vậy (i) tương đương với(iv)