Các loại ma trận và cách giải

Khái niệm ma trận. Các phép toán: phép nhân ma trận với một số; phép cộng ma trận; phép nhân ma trận. Các tính chất của ma trận. Ma trận nghịch đảo: những phép toán hàng. Phương pháp GaussJordan đểtìm ma trận nghịch đảo. Ma trận chuyển vị (ma trận đối xứng).

$2 MA TRẬN

2.1  KHÁI NIỆM MA TRẬN

a) ĐỊNH NGHĨA 2.1.1 Bảng số gồm mn số thực được xếp thành m hàng và n cột được gọi là ma trận mn:

hàng

cột phần tử

Kí hiệu: A, B, C, đặt tên cho ma trận

A = B  a ij =b ij  i j,

VD2.1.1 A = 1 2

-3 7

é ë

-1 4 5

é ë

ê ê ê

ù û

ú ú ú

b31 = ?

b) Một số ma trận đặc biệt:

Ma trận n n được gọi là ma trận vuông cấp n

a ii (i = 1, , n) lập nên đường chéo

Ma trận tam giác trên

a

a a

a a

1 12

a

a a

22 21

11

0

0 0

0 0

0 0

0

0 1

0

0 0

ù û ú ú

ú ú ú +

2 4 1

2 4 5

é ë

ê ê ê

ù û

ú ú ú =

ê ê ê

ù û

ú ú ú =

3 7 1

4 8 7

é ë

ê ê ê

ù û

ú ú ú

b) A = 1 2

é ë

û ú

1) Tính giao hoán

2) AB = O  A=O hoặc B=O?

VD2.2.4

VD2.3.1 A = 32 21 có A-1 =  

 2 3

b a

khả nghịch  ad - bc  0

b d

bc ad

d c

b

VD2.3.2 A = 2 0

é ë

/

Tính chất Nếu A và B là hai ma trận nn khả nghịch, c

là số khác 0, thì

NHỮNG PHÉP TOÁN HÀNG TRÊN MA TRẬN:

I Đổi chỗ hai hàng của ma trận

II Lấy một hàng của ma trận trừ đi bội của một hàng khác

trong ma trận

III Nhân một hàng của ma trận với một số khác 0

Tìm A-1 bằng phương pháp Gauss-Jordan

Bước 1: Viết thêm ma trận đơn vị cùng cấp với A vào

bên phải của A để được [A | I]

Bước 2: Dùng các phép biến đổi trên hàng để đưa

[A | I ] về [I | b 1 b 2 … b n]

VD2.3.4

a) Cho A = 2 1

é ë

ê ê ê

ù û

ú ú ú

Tìm B -1

Chú ý Nếu A khả nghịch thì Ax = b có nghiệm duy nhất

2.4  MA TRẬN CHUYỂN VỊ

ĐỊNH NGHĨA 2.4.1 Cho A= (a i ) là ma trận m n Ma trận chuyển vị của A là ma trận n m và được xác định

AT= (a j )

VD2.4.1 Cho A = 1

-1

2 0

3 4

é ë

ĐỊNH NGHĨA 2.4.2 Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT= A