Vecto và hệ phương trình tuyến tính

Tổ hợp tuyến tính.Tích vô hướng. Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình vectơ, dạng ma trận. Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss : Ma trận bậc thang và trụ; Ma trận mở rộng;

$ 1 GIỚI THIỆU VECTƠ

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

1.1  GIỚI THIỆU VECTƠ

Phép cộng vectơ Phép nhân xv

ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 Giả sử v1, v2, ,vn là vectơ và x1,

x2, , xn  Khi đó x1v1+x2v2+ +xnvn là một tổ hợp

tuyến tính của v1, v2, ,vn

Nhận xét

a) Khi vectơ v  0, các tổ hợp xv lấp đầy một đường thẳng

b) Khi vectơ v1 và v2 không cùng

phương, các tổ hợp x1v1 + x2v2

lấp đầy một mặt phẳng

c) Khi ba vectơ v1, v2, v3 không đồng phẳng, các tổ

hợp x1v1+x2v2 +x3v3 lấp đầy không gian

Biểu diễn vectơ hình học theo toạ độ

ĐỊNH NGHĨA 1.1.2 Gọi dãy gồm n số thực là một

vectơ cột n - thành phần

Tập các vectơ cột n - thành phần được ký hiệu là Rn(

không gian n-chiều)

Tập các vectơ hình học trên mặt phẳng

Tập các vectơ hình học trong không gian

Các phép toán

* Cộng hai vectơ + =

* Nhân một vectơ với một vô hướng t =

* Một tổ hợp tuyến tính của v1, v2, ,vn là

x1v1+x2v2+ +xnvn

trong đó x1, x2, , xn là các vô hướng

* Tích vô hướng của v =(x1, x2, , xn) và w =(y1, y2, ,

yn) là vw = x1y1 + x2y2 +  + xnyn

* Độ dài của vectơ v = (x1, x2, , xn) là

VD1.1.1 Trong một cửa hàng có 2

mặt hàng: (1) máy tính Macbook;

(2) điện thoại Iphone

Gọi q i là lượng mặt hàng thứ i (qi > 0 khi bán, <0 khi

mua); pi là giá của một đơn vị mặt hàng thứ i

Đặt q =(q1, q2), p =(p1, p2). Doanh thu = qp = q1p1 + q2p2 Khi qp = 0 có nghĩa là "cân bằng về sổ sách"

VD1.1.2

ĐỊNH NGHĨA 1.2.1 Một hệ phương trình tuyến tính

Ký hiệu vj = b =

Hệ có dạng phương trình vectơ hay DẠNG CỘT:

x1v1+ x2v2++ xnvn = b

Kí hiệu A = là ma trận hệ số ,

hi = , x = , b =

Định nghĩa phép nhân A với x như sau

Hệ có DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN :

Ax = b

û ú Dạng phương trình ma trận

é ë

ê ê

ù û

ú

ú =

6 4

é ë

û

ú

1 2

0

2 4

0

2 0

0

3 4

0 0

0

3 0

0

4 2

0 0 0 4

0 0 0 5

đầu hàng k+1 lớn hơn số các số 0 đứng đầu hàng k

Số khác không đầu tiên trong một hàng được gọi là trụ

ê ê ê

ù û

ú ú ú

é ë

ê ê ê

ù û

ú ú ú

có các trụ 1, 3

là ma trận mở

rộng

c) Phương pháp giải một số hệ tuyến tính đặc biệt ĐỊNH NGHĨA 1.3.2 Hệ dạng tam giác là hệ

a11 x1 + a12x2 + + a 1n xn = b1

a22 x2 + + a 2n xn = b2 TRỤ

ann xn = bn trong đó các hệ số aii khác 0 (i = 1, , n)

CÁCH GIẢI HỆ DẠNG TAM GIÁC

Giải hệ bằng phép thế ngược từ dưới lên

Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất

VD1.3.2 Hệ

3x1 + 2x2 + x3 = 1

x2 - x3 = 2

2x3 = 4

ĐỊNH NGHĨA 1.3.4 Hệ dạng bậc thang là hệ

phương trình tuyến tính có ma trận mở rộng dạng bậc

thang Ẩn có hệ số là trụ được gọi là biến trụ Những

ẩn còn lại được gọi là biến tự do

VD1.3.4 1x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1

1x3 + x4 + 2x5 = 0

3x5 = 9

CÁCH GIẢI HỆ DẠNG BẬC THANG

Trường hợp hệ chứa phương trình dạng 0 = b i với b i khác

0: hệ vô nghiệm

Trường hợp còn lại: Loại đi tất cả các pt dạng 0 = 0

Trong mỗi phương trình, chuyển những hạng tử chứa biến tự do sang vế phải, gán các biến này giá trị thực

tùy ý, để được hệ dạng tam giác đối với những biến trụ Giải hệ dạng tam giác, tìm được giá trị của những

biến trụ

d) Giải hệ phương trình tuyến tính bất kỳ

Phép khử Gauss : chuyển hệ cho trước về hệ phương

trình tương đương có dạng bậc thang nhờ sử dụng những phép toán sau đây

I Đổi chỗ hai phương trình của hệ

phương trình khác

Chú ý Trong quá trình thực hiện phép khử, nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = 0, ta có thể loại nó khỏi hệ Còn nếu xuất hiện phương trình dạng 0 = b với b khác

VD1.3.7 Số a , b nào làm cho hệ sau vô nghiệm

4

b a

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Ba cách diễn đạt hệ phương trình tuyến tính: dạng hàng, dạng phương trình vectơ, dạng ma trận

3 Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử Gauss