Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC.. Tìm giao tuyến của hai mp’ IBC và KAD Phương pháp 2: Tương tự như phương pháp 1 nhưng ta chỉ tìm ngay được một điểm chung S..
Trang 1Chuyên đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Vấn đề 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp 1: Để tìm giao tuyến của 2 mp’ (α) và (β) ta cần thực hiện 2 bước sau:
Bước 1: Tìm 2 điểm chung A, B của (α) và (β)
Bước 2: Đường thẳng AB là giao tuyến cần tìm
Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 2
đoạn thẳng AD và BC Tìm giao tuyến của hai mp’ (IBC) và (KAD)
Phương pháp 2: Tương tự như phương pháp 1 nhưng ta chỉ tìm ngay được một điểm chung
S Khi đó ta có 2 trường hợp xảy ra
TH1: Hai mp’ (α) và (β) theo thứ tự chứa 2 đường thẳng (d1) và (d2) mà (d1)∩(d2) = I Suy
ra SI là giao tuyến cần tìm
TH2: Hai mp’ (α) và (β) theo thứ tự chứa 2 đường thẳng (d1) và (d2) mà (d1) // (d2) Khi đó
ta dựng đường thẳng xS // d1 // d2 Suy ra xSy là giao tuyến cần tìm
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang
a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)
b) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
Bài tập:
1 Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song và 1 điểm S ở ngoài (ABCD) Tìm giao tuyến của:
a) (SAC) và (SBD)
b) (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC)
2 Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2 lần lượt là trọng tâm của hai ∆BCD và ACD Lấy theo thứ tự I, J, K là trung điểm của BD, AD, CD Tìm các giao tuyến của
a) (G1G2C) và (ADB)
b) (G1G2B) và (ACD)
c) (ABK) và (CIJ)
3 Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AD và BC Gọi M, N là 2 điểm lần lượt lấy trên 2 đoạn thẳng AB, AC Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (DMN)
4 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD Gọi E là giao điểm của MP và
BD Tìm giao tuyến của (PMN) và (BCD)
5 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD Tìm giao tuyến của 2 mp’ (SBM) và (SAC)
6 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BC K là một điểm trên cạnh BD sao cho KB > KD Tìm giao tuyến của mp’ (IJK) với các mp’ (ACD) và (ABD)
7 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a) Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (JAD)
b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC Tìm giao tuyến của 2 mp’ (IBC) và (DMN)
8 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bên trong tam giác ABD, N là một điểm bên trong ∆ ACD Tìm giao tuyến của 2 mp’ (AMN) và (BCD); (DMN) và (ABC)
9 Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SD P là một điểm trên cạnh SC và SP > PC Tìm giao tuyến của (MNP) với các mặt (SAC), (SAB), (SAD) và (ABCD)
Vấn đề 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.
Trang 2Phương pháp: Để tìm giao điểm O của đường thẳng a và mp’ (α) ta xét 2 trường hợp xảy ra:
TH 1: (α) chứa đường thẳng b mà b lại cắt đường thẳng a tại O Tìm O a b= ∩ ⇒O là giao điểm cần tìm
TH 2: (α) không chứa đường thẳng nào cắt a Trường hợp này ta cần thực hiện 2 bước.
B1: Tìm (β) chứa a và ( ) ( ) dα ∩ β =
B2: Tìm O a= ∩d Suy ra O là giao điểm cần tìm
Ví dụ: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Lấy điểm
K BD∈ sao cho KB > KD Tìm giao điểm của hai đường thẳng CD và AD với (MNK) Bài tập:
1 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M trên AC và hai điểm N và K theo thứ tự nằm trong các tam giác BCD và ACD Tìm giao điểm của CD và AD với (MNK)
2 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Lấy trên SA, SB và BC 3 điểm theo thứ tự là M, N, P sao cho MP không thể cắt AB hay CD Tìm giao điểm của SC và AC với (MNP)
3 Cho tứ diện S.ABC Trên SA và SB ta lấy hai điểm M, N và trong mp’ (ABC) ta lấy một điểm O Tìm giao điểm của (MNO) với các đường thẳng AB, BC, AC và SC
4 Cho tứ diện ABCD, gọi M và N là hai điểm lần lượt trên AD và AC sao cho MN và DC cắt nhau Tìm giao điểm của (nếu có) của đường thẳng MN và mp’ (SCD)
6 Cho tứ diện ABCD Trên AB và AC lấy các điểm M và N sao cho MN không song song với BC Gọi O là một điểm trong ∆ BCD
a) Tìm giao tuyến của mp’ (OMN) với (BCD)
b) Mặt phẳng (OMN) cắt BD và CD tại H và K Hãy tìm điểm H và K
7 Cho hình chóp S.ABCD, gọi I, J, K là 3 điểm lần lượt trên SA, AB, BC Giả sử JK cắt
CD và AD Tìm giao điểm của SD, SC với mp’ (IJK)
Vấn đề 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp: Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh 3 điểm đó cùng nằm trên một giao tuyến của 2 mp’ nào đó
Ví dụ 1: Cho ∆ ABC và ∆ DEF không nằm trong cùng một mp’ AB cắt DE ở M; BC cắt
EF ở N; AC cắt DF ở K Chứng minh rằng M, N, K thẳng hàng
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD và E, F, G là 3 điểm lần lượt trên cạnh AB, AC, AD Gọi M,
N, K là giao điểm lần lượt của BC và EF; CD và FG; BD và GE Chứng minh rằng 3 điểm
M, N, K thẳng hàng
Bài tập
1 Cho ∆ ABC nằm ngoài mp’ (α), biết 3 cạnh của ∆ ABC kéo dài cắt (α) tại I, J, K Chứng minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng
2 Cho tứ diện S.ABC có D, E lần lượt là trung điểm cảu AC, BC và G là trọng tâm của ∆ ABC Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB lần lượt tại M, N Một mp’ (β) qua BC cắt SD và
SA lần lượt tại P và Q
a) Gọi I =AM ∩DN J; =BP∩EQ Chứng minh 4 điểm S, I, J, G thẳng hàng
b) Giả sử K =AN∩DM L BQ; = ∩EP Chứng minh 3 điểm S, K, L thẳng hàng
3 Cho 3 tia ox, oy, oz Trên các tia ox, oy, oz lần lượt lấy các cặp điểm A và A’; B và B’;
C và C’ sao cho BC cắt B’C’ tại M; CA cắt C’A’ tại N; và AB cắt A’B’ tại I Chứng minh
3 điểm M, N, I thẳng hàng
Vấn đề 4: Chứng minh một đường thẳng trong không gian đi qua một điểm cố định
Phương pháp 1: Để chứng minh đường thẳng a đi qua một điểm cố định ta cần tìm trên a
2 điểm A, B và chứng minh 3 điểm A, B, I thẳng hàng
Trang 3Phương pháp 2: Cần thực hiện 2 bước
B1: Tìm đường thẳng d cố định ở ngoài mp (α) mà (α) chứa a
B2: Tìm giao điểm I = ∩a d Suy ra I là điểm cố định mà a luôn đi qua
Ví dụ 1: Cho A, B là hai điểm cố định trong không gian ở về 2 phía khác nhau của mp’ cố định (α) Xét điểm M di động trong không gian sao choMA∩( )α =I&MB∩( )α =J
Chứng minh rằng IJ luôn đi qua một điểm cố định
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thang và AB // CD; AB > CD Một mp’ (α) di động quanh AC và có ( )α ∩SB M= ; ( )α ∩SD N= Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài tập:
1 Cho 2 điểm cố định A, B ở ngoài mp’ (α) sao cho AB không song song với (α) Gọi M
là 1 điểm di động trong không gian sao cho MA, MB cắt (α) tại A’, B’ Chứng minh rằng
MN luôn đi qua 1 điểm cố định
2 Cho 2 đường thẳng đồng quy ox; oy và hai điểm A, B không nằm trong mp’ (oxy) Một mp’ di động (α) qua AB luôn luôn cắt ox; oy tại M, N Chứng minh MN luôn đi qua 1 điểm cố định
3 Cho tam giác ABC ở ngoài mp’ (P) Giả sử AB; BC; CA lần lượt cắt (P) tại D, E, F a) Chứng minh D, E, F thẳng hàng
b) Gọi M là 1 điểm di động không ở trong mp’ (P) và mp’(ABC); MA, MB, MC cắt (P) tại
G, H, I Chứng minh mỗi đường thẳng GI, IH, GH qua 1 điểm cố định
4 Cho hình chóp S.ABCD với AB, CD không song song, M là một điểm di động trên SA, mp’ (CMD) cắt SB tại N Chứng minh MN đi qua một điểm cố định
Vấn đề 5: Chứng minh ba đường thẳng trong không gian đồng quy
Phương pháp: Để chứng minh 3 đường thẳng d1, d2, d3 trong không gian đồng quy ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và đôi một nằm trong 3 mp’ phân biệt (α), (β), (γ) Phương pháp này cơ bản cần thực hiện qua 2 bước: