Không có vì đầu chương I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ II.. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN III.. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN IV.. GIỚI HẠN VÔ CỰC.
Trang 1Chương IV: GIỚI HẠN
§1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
TiÕt 49, 50, 51 vµ 52
GV : ĐOÀN THỊ KIM NGỌC
Trang 2( Không có vì đầu chương )
I.GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
II ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
III TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
IV GIỚI HẠN VÔ CỰC
Trang 3I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
Câu hỏi 1> Cho dãy số ( un ) với
a/ Hãy viết dãy số dưới dạng khai triển :
b/ Hãy biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số:
Hãy tính các khoảng cách từ u4 ; u10 ; u100; u2008; …
đến 0
Em có nhận xét gì về các khoảng cách này khi n trở
nên rất lớn ?
n
u n 1
,
2008
1 , ,
100
1 , ,
10
1 , , 5
1 , 4
1 , 3
1 , 2
1
,
1
Trang 4Câu hỏi 2: Bắt đầu từ số hạng thứ bao nhiêu thì
khoảng cách này nhỏ hơn 0,001; nhỏ hơn 0,00001 ?
Vậy khi n lớn dần đến vô cùng thì khoảng cách này
tiến dần đến 0, hay ta nói rằng un dần đến 0
Ta ký hiệu: un 0
ĐỊNH NGHĨA 1:
Ta nói dãy số (u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương
vô cực nếu / u n / có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý ,kể từ một số hạng nào đó trở đi
Kí hiệu:
hay u n 0 khi n
0
Trang 5
2
1
n u
n n
0
VÝ dô 1 : Cho d·y sè (un) víi
Chøng minh r»ng
ĐỊNH NGHĨA 2 :
Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a ( hay vn dần tới a ) khi n
Nếu
Kí hiệu: hay vn a khi n
a
vn
lim
0 )
(
n
Ví dụ 2: Cho dãy số ( un) với
Chứng minh rằng
2 3
1
6
n
n
un
2 2
3
1
6
n n
Trang 6 Một vài giới hạn đặc biệt:
Víi k lµ sè nguyªn d ¬ng vµ /q/<1, c : hằng số
c c
c
q b
n n
a
n
n n
k n
n
lim )
0 lim
)
0
1 lim
; 0
1 lim )
Trang 7II* ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN
ĐINH LÝ 1 :
a
a b
a
b a
b a
v a
n
n n
n n
u lim
vµ
0 a
thi u
lim
vµ n
mäi víi
u NÕu
b)
) 0 b
Õu
lim(
/
lim
µ lim
Õu
0
N
( v
u lim
/
)
lim(
/
) lim(
/
)
: thi b
v a N
)
n n
n n
n n
n n
.v u
v u
b a
v u
u
Trang 8Các ví dụ:
Ví dụ 3:
Tìm
Lgi i ải : Chia cả tử và
mẫu cho n 2 thì:
2
2
1
3 lim
n
n
n
1 1
1 3
1
3
2 2
2
n
n n
n n
Làm thế nào để tìm đ ợc
giới hạn này ?
3 1
3 1
1 lim
1 3 lim 1
1 1
v 3
2
n
n n
n
2
2
3n lim n
Nê
n
1 lim
à n
1 -3 lim có
Ta
Trang 9 VÝ dô 4:
n
n
2 1
4
1 lim
2
kh«ng ph¶i dïng phÐp chia Cã thÓ t×m ® îc giíi h¹n mµ
hay kh«ng? NÕu ® îc, H·y tr×nh bµy lêi gi¶i ?
1 2
2 2
1
4
1 lim
2 1
4
1 lim
2
2
n n
n n
n
n
2n -1
4n
1 lim
cã
Ta
2
Trang 10Bài tập vận dụng
Bài tập 2/121 (SGK) : Biết dãy số (u n ) thoả mãn:
Chứng minh rằng : lim un = 1
Lời giải :
Do đó |Wn| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý kể từ một số hạng
nào đó trở đi (1)
Mặt khác theo giả thiết
Từ (1) và (2) suy ra lim a n = 0 Vậy lim u n = 1 (đpcm)
* N n
;
13
1
n
u n
0
1 lim ,
1
.
1 1
3
3
n u
n u
n
n
n n
n n
limw v
cã
Ta
w
vµ
Æt v
§
(2) w
vn u n 1 n w n
Bài tập 3C/121: Tìm
n n
n n
2 4
4 5
3 lim
Trang 11Hướng dẫn học ở nhà:
1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về
giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn
2/ Nhớ 3 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức
của định lý về giới hạn hữu hạn
3/ Làm bài tập 1; bài 3 ( Các câu a, b, d ) trang 121.
Trang 12III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
1) Kh¸i niÖm:
,
2
1 , , 8
1 , 4
1
2 1
: sau sè
cÊp vÒ
xÐt nhËn
u nª H·y
*/ D·y sè lµ mét cÊp sè nh©n.
*/ C«ng béi lµ q = 1/ 2, /q/ < 1
*/ D·y sè lµ cÊp sè nh©n v« h¹n
CÊp sè nh©n lïi v« h¹n lµ cÊp sè nh©n v« h¹n
cã c«ng béi q víi / q / < 1
Trang 13III/ Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
,
3
1 , ,
27
1 ,
9
1 ,
1
n
3
1
1,-Dãy số sau đây có phải là cấp số nhân lùi vô hạn không?
Nếu phải hãy chỉ ra công bội của cấp số đó?
Hóy nờu cụng thức tớnh tổng S n của cấp số nhõn
lựi vụ hạn biết u 1 và Cụng bội q, với /q/ < 1
Tỡm giới hạn của tổng S n khi n —> +∞ ?
Trang 14Lêi gi¶i:
0
1 1
1 lim
1 1
*
1
1
1 1
1
1 1
1 2
1
n
n
n n
limq
limS
S : d¹ng vÒ
ViÕt
S ã
Do
q
u q
q
u q
u ra
Suy
q q
u q
u
q
q
u u
u u
n n
n n
c Ta
q
u u
u
1
2 1
Tæng S
Trang 15III/ Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
) 1 (
, 1
1
q
u n
S Tæng
Trang 16C¸c vÝ dô :
VÝ dô 5: TÝnh tæng cña c¸c cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
(un), sau:
n
3
1
n
u Víi
2
1
, 8
1 , 4
1 , 2
1 , 1
1
n
Víi 2/
§¸p sè: S = 1/ 2 §¸p sè: S = 2/ 3
Trang 17IV/ Giíi h¹n v« cùc
1) §Þnh nghÜa
1/ Cho un lµ mét sè tù nhiªn bÊt kú, cã thÓ chØ ra ® îc
nh÷ng sè lín h¬n un kh«ng?
2/ H·y nªu nhËn xÐt vÒ d·y sè võa xÐt? Kho¶ng c¸ch gi÷a
0 vµ un nh thÕ nµo khi n —> +∞ ?
§Þnh nghÜa vÒ giíi h¹n v« cùc:(SGK)
KÝ hiÖu: limu n = +∞ hay u n—>+ ∞ khi n >+— ∞
Limu n =-∞ hay u n — ∞ khi n >+ >- — ∞ NhËn xÐt: limu n =+∞ <=> lim(-u n ) = -∞
Trang 182/ Một vài giới hạn đặc biệt:
a) Lim n k = +∞ với k nguyên d ơng
b) Lim q n = +∞ nếu q>1
Ví dụ 7:
Ví dụ 8:
n
n
n.3
5
2n lim
: sau hạn
giới
ra suy
nào thế
Làm
lim3
và n
5 2
lim hạn
giới các
Tính
Các định lý về giới hạn hữu hạn có còn đúng khi áp dụng
vào giới hạn vô cực không? Ta xét các ví dụ sau.
Trang 193/ §Þnh lý:
n v a
c
a b
a
n n
n n
n
n n
n
n n
n
limu thi
limv
vµ limu
NÕu
v
u
lim
thi n
víi limv
vµ limu
NÕu
v
u lim thi
limv
vµ limu
NÕu
a)
0 )
0 0
)
0
Trang 20Hướng dẫn học ở nhà:
1/ Cần nắm vững 2 định nghĩa 1 và định nghĩa 2 về
giới hạn 0 và giới hạn hữu hạn, v à định nghĩa về giới hạn vô cực
2/ Nhớ 5 giới hạn đặc biệt và thuộc các công thức
của định lý về giới hạn hữu hạn, gi ới hạn vô cực.
3/ Làm bài tập 5,6,7,8 trang 122.
4/ L àm bài tập trong sách bài tập gồm bài 1.9,
1.10, 1.11, 1.12, 1.13, 1.14