Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại I, cắt AB và AC lần lượt tại D, E.. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DE tại K.. c Kẻ AH vuôn
Trang 1UBND HUYỆN PHÚC THỌ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2015 - 2016 Môn: Toán
Ngày thi: 21 - 4 - 2016 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (4 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau.
b) N= a3 + a2b – ab – b2 - 2a2 + a + 3b + 2015, biết a + b - 2=0
Bài 2: (4 điểm)
a) Tìm x , y, z biết: 3 3
x= =y z và 2x2 + 2y2 - z2 =10
b) Cho hai đa thức sau:
P(x) = 2x3 – ax2 + (a + 1)x + 3
Q(x) = 4x5 – 2x3 + ax2 – x – a – 15
Xác định hệ số a biết rằng P(x) + Q(x) = 4x5 + ax
Bài 3: (2 điểm)
Tính giá trị của biểu thức : (S – P)2015 + (S – P)2016 , biết rằng:
1 1 1 1 1 1 1
S= − + − + + − +
1 1 1 1 1
Bài 4: (6,5 điểm)
Cho ∆ABC vuông tại A, (AB < AC) Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại I, cắt AB và AC lần lượt tại D, E
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt DE tại K
a) Tính góc BKD
b) Chứng minh rằng:
2
AB AC
c) Kẻ AH vuông góc với BC Biết BH = 18km, CH = 32km Tính độ dài AB và AC
d) Nếu đặt tại H một máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động 30km thì các thành phố tại địa điểm A và C có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
Bài 5: (3,5 điểm)
a) Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn : 2 2
x + x + y − = b) Chứng minh rằng nếu có sáu số nguyên a a a a a a1 , , , , , 2 3 4 5 6 thỏa mãn điều kiện:
a +a +a +a +a =a thì cả sáu số đó không đồng thời là số lẻ.
Hết
-(Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:
Số báo danh:
ĐỀ THI CHÍNH
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM TOÁN 7 (2015 – 2016)
Bài 1
(4
điểm)
Ta viết lại M như sau:
3 3 0,75 0,6
7 13 ( 1)
2,75 2, 2
11 11 11 11
− + +
−
1
11 − = − 11
2,0(điểm)
b) N = a3 + a2b - ab - b2 - 2a2 + a + 3b + 2015, biết a + b - 2=0
Ta có N = a2(a+b) - b(a+b) - 2a2 + a + 3b + 2015
= 2a2 - 2b - 2a2 + a + 3b + 2015 ( vì a + b =2)
= a + b + 2015
= 2+ 2015 =2017
2,0(điểm)
Bài 2
(4
điểm)
a) Tìm x , y, z biết: 3 3
x = =y z và 2x2 + 2y2 - z2 =10
Từ 3 3
x = =y z =>
8 12 16
x = y = z =>2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 1
128 288 256 128 288 256 160 16
2
2
2
1
2;
64 16 1
3
144 16
1
4
256 16
x
x y
y z
z
= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
= ⇒ = ±
Từ 3 3 3
x y z
= = suy ra x, y, z cùng dấu
Vậy (x;y;z) = (-2;-3;-4) ; (2; 3; 4)
2,0(điểm)
b) Cho hai đa thức sau:
P(x) = 2x3- ax2 +(a+1)x+3
Q(x) = 4x5 -2x3 + ax2 – x – a – 15
Xác định hệ số a biết rằng P(x) + Q(x) = 4x5 + ax
Ta có P(x) + Q(x) = 4x5 + ax
=> 2x3 - ax2 + (a + 1)x + 3 + (4x5 - 2x3 + ax2 – x – a - 15) = 4x5 + ax
=> => (a+1)x – x - ax = 15 – 3 + a
=> ax + x – x - ax =12+ a
=> a = -12
2,0(điểm)
Trang 3H I K
E D
M
A
B
C
Bài 3
(2
điểm)
Tính giá trị của biểu thức : (S - P)2015 + (S - P)2016 , biết rằng:
1 1 1 1 1 1 1
S = − + − + + − +
1 1 1 1 1
Ta biến đổi biếu thức S như sau:
1 1 1 1 1 1 1
S = − + − + + − +
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1
S= + + + + + + + − + + +
S= + + + + + + + − + + +
Vậy (S - P)2015 + (S - P)2016 = 0
2(điểm)
Bài 4
(6,5
điểm)
a Tam giác vuồng ADE có DI vừa là đường cao vừa là phân giác nên ∆ADE
vuông cân tại A ⇒∠AED = ∠ADE = 450
BK // AE nên ∠BKD = ∠AED =450
2(điểm)
b C/m được ∆MBK = ∆MCE (g.c.g) nên BK = CE
BK//AC, AC ⊥AD ⇒ BK⊥AD Do đó tam giác BKD vuông cân tại B
⇒ BK = BD mà BK = EC ⇒ EC = BD
Ta có AB + AC = AD - BD +AE + EC= AD + EA = 2 AE
2(điểm)
c Áp dụng định lí Pitago vào các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:
AB2 + AC2 = BC2 = 502 (1)
AH2 = AB2 - BH2 = AC2 -CH2 <=> AB2 - 182 = AC2 - 322
=> AC2 -AB2 = 322 - 182 (2)
từ (1); (2) ta có: 2.AC2 = 502 + 322 - 182 = 3200
⇒ AC2 = 1600 ⇒ AC = 40 km
⇒ AB = 30 km
1,5(điểm)
Trang 4d Tính được AH = 24 km Vì AH < 30km, CH > 30km nên nếu đặt máy phát
sóng tại H thì địa điểm A nhận được tín hiệu, còn địa điểm C không nhận
được tín hiệu
1(điểm)
Bài 5
(3,5
điểm)
a) Tìm các cặp số (x, y) thỏa mãn :
2 2
x + x + y − =
Ta có x2 + 2x ≥ 0; y2 − 25 ≥ 0 với mọi x, y
Để có x2 + 2x + y2 − 25 = 0 thì x2 + 2x = 0 và y2 − 25 = 0
( 2) 0
25 0
x x
y
+ =
− =
⇒ = = −x y=0;5;x y= −25
có 4 cặp số (x;y) cần tìm là(0;5); (0;-5); (-2;5);(-2;-5)
2,0(điểm)
b) Chứng minh rằng nếu có sáu số nguyên a a a a a a1 , , , , , 2 3 4 5 6 thỏa mãn điều
kiện: 2 2 2 2 2 2
a +a +a +a +a =a thì cả sáu số đó không đồng thời là số lẻ.
Giả sử cả 6 số đó là số lẻ ⇒ mỗi số hạng ở VT khi chia cho 8 đều có số dư là
1⇒ VT khi chia cho 8 dư 5 nhưng VP chia 8 lại dư 1.( mâu thuẫn)
Vậy cả 6 số a a a a a a1 , , , , , 2 3 4 5 6 không thể đồng thời là số lẻ
1,5(điểm)
Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25.
- Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.