công thức ôn thi đại học toán

Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng

PHẦN I: GIẢI TÍCH

I) Bảng tóm tắc công thức đạo hàm :

Hàm số sơ cấp cơ bản Hàm hợp ( Hàm mở rộng)

1

1 tancos x = + x

log = ≠a > x>

a x

1/

*

;)

'('.11

2 2

u u

1 u u>

u

* ( logau)’ =

'.ln

1

u a u

v

v u v u v

III) Đơn điệu – cực trị GTLN- GTNN Lồi – lõm – điểm uốn

A) Đơn điệu: Hàm số (C) : y = f(x) xác định trên D

• Hàm số tăng (đồng biến) trên D <=> y’≥0

; ∀x∈D

• Hàm số giảm ( nghịch biến) trên D <=> y/ ≤0;∀x∈D

B) Cực trị: Hàm số (C) : y = f(x)

• Hàm số có cực trị <=> y’ có nghiệm và y’ đổi dấu khi x qua nghiệm đó

• Hàm số không có cực trị <=> y’ không đổi dấu

• Hàm số có 1 cực trị <=> y’ đổi dấu 1 lần

• Hàm số có n cực trị <=> y’ đổi dấu n lần

• Hàm số đạt cực trị x= x0 <=> f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x qua x0

• Hàm số đạt cực đại tại x = x0 <=> 



<

=

0)(

"

0)('0

0

x f

x f

• Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 <=> 



>

=

0)(

"

0)('0

0

x f

x f

* Chú ý: Đối với một hàm số bất kì , hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc

dạo hàm không xác định.

C) GTLN-GTNN:

* Lập bảng biến thiên của hàm số trên D Từ đó xác định GTLN-GTNN

• Đặc biệt: Khi MXĐ D = [a;b] và hàm số liên tục trên D ta có thể làm như sau:

Bước 1: Tìm y’ Giải y’ = 0 và chọn các nghiệm x1 ; x2 ; ;xi thuộc [a;b]

Bước 2: Tính f(x1) ; f(x2) ; ; f(xi) ; f(a) ; f(b)

Bước 3: Số lớn nhất ( nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN (GTNN) cần tìm

IV) Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

A) Hàm đa thức : (Hàm bậc 3 và hàm trùng phương)

Bước 1 : MXĐ : D = R

Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’ = )

Bước 5 : Giới hạn – Bảng biến thiên (y’)

Bước 6 : Điểm đặc biệt

Bước 7 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng

B) Hàm phân thức : ( Bâc1/Bậc1 )

Bước 1: MXĐ : D =

Bước 2 : Đạo hàm cấp 1 (y’= )

Bước 3 : Giới hạn và tiệm cận

Bước 4 : Bảng biến thiên

Bước 5 : Điểm đặc biệt

Bước 6 : Vẽ đồ thị và kết luận tính đối xứng

V) Sự tương giao ( Vị trí tương đối) : Cho (C) : y = f(x) và (D) : y = g(x)

• Toạ độ giao điểm của (C) và (D) là nghiệm của hệ : 



=

=

)(

)(

x g y

x f y

• Biện luận sự tương giao của (C) và (D) :

Bước 1: Lập pt hoành độ giao điểm của (C) và (D) : f(x) = g(x)

Bước 2: Căn cứ vào số nghiệm của phương trình Số giao điểm của (C) và (D) ( Số nghiệm pt = số giao điểm của (C) và (D))

VI) Tiếp tuyến:

Dạng 1: Biết tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) tại điểm M(x0 ; y0) ∈(C)

là :

y – y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 )

Dạng 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến với (C) : y = f(x) có hệ số góc k là:

y – y0 = k(x – x0) với (x0 ; y0) là toạ độ tiếp điểm xác định bởi :



=

=

)(

)('

0 0

0

x f y

k x f

* Chú ý : Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng (-1)

VI) Biện luận số nghiệm phương trình bằng đồ thị Cho hàm số (C) : y = f(x)

Biện luận phương trình : F(x;m) = 0 ; ( ẩn x ; tham số m)

@ Phương pháp:

* Biến đổi phương trình F(x;m) = 0 về dạng : f(x) = g(m) ; ( g(m) là đường thẳng)

* Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của hai đồ thị:

(C) : y = f(x) ( Đã được vẽ)

(D) : y = g(m) ( đường thẳng cùng phương Ox và cắt Oy tại g(m)

* Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận số nghiệm của phương trình

VII) Nguyên hàm – Tích phân

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I) Bảng nguyên hàm :

x x

1

cotsin

u u

1

cotsin

ấn đề 1 : Diện tích hình phẳng:

(H) :

( ) : ( )( ') : ( )

;0

)(:

)(:

b a b x a x y

x f y C H

• (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

• (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

• (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i

a

=

PHẦN II: HÌNH HỌC CHƯƠNG I: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

• Thể tích khối chóp : V =

.3

1

Bh

( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)

• Thể tích khối lăng trụ : V = Bh ( B: diện tích đáy ; h: chiều cao)

• Thể tích khối hộp chữ nhật có kích thước a,b,c là : V = abc

• Thể tích khối lập phương cạnh a là : V = a3



Chú ý :Trong các bài toán ta thường sử dụng kết quả :Cho khối chóp OABC,trên các đoạn thẳng OA,OB,OC lần

lượt lấy ba điểm A’,B’,C’ khác O.Khi đó :

OC

OC OB

OB OA

OA V

V ABC O

C B

'.'.

' ' '

Công thức về hình nón:Gọi l là độ dài đường sinh của hình nón,h là đường cao,r là bán kính đáy.

a/ Diện tích xung quanh:

c/ Thể tích khối nĩn:

3π

Cơng thức về hình trụ: Gọi l là độ dài đường sinh của hình trụ,r là bán kính đáy.

a/ Diện tích xung quanh:

S = πr

c/ Thể tích khối cầu:

34

V =

3πr

CHƯƠNG II : TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TOẠ ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ ĐIỂM

Cho hai vectơ :

b a

.cosϕ =

o I là trung điểm AB.Ta có:

22

22

A B I

I A B

A B

I A B I

I A B

A B I

A B C G

A B C G

A B c G

TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

 Cho hai vectơ : ar=(a a a va b1; ;2 3) r=(b b b1; ;2 3)

ương trình mặt cầu : Mặt cầu (S) cĩ tâm I(a,b,c),bán kính R dạng:

2) Qua M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTPT nr=(A B C; ; )

thì mp

( )α

có dạng :A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

r r thì VTPT là:

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC

CẦN NHỚ MÔN TOÁN

I/ ĐẠI SỐ:

1 Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai

00/ ( ) 0,

0

02

0/

( ) 0( ) 0/

( ) 0/

( ) 0

af x

af af

02

02

af

S S

α

αβ

*0

a b c

abc

+ + ≥

dấu “=” xảy ra khi a= b= c

Bất đẳng thức Bunyakovsky ( cho các số thực):

3 Cấp số cộng:

a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……

Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu

4 Cấp số nhân:

a/Định nghĩa: Dãy số u1, u2…….,un,……

Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu

n n

A B

A B A

A B A

A B B A

7 Phương trình, bất phương trình logarit:

*log ( ) log log

M a N

b a

a b

II LƯỢNG GIÁC:

A.CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Hệ thức cơ bản:

coscoscot

sin.cot 1

11

cos1

1 cot

sin

x tgx

x x gx

sin( ) sin cos sin cos

( ) cos cos sin sin

4 Công thức nhân đôi:

1 cos 2cos

2

1 cos 2sin

x x

1 33cos cos3cos

43sin sin 3sin

2

2sin

11cos

121

t x t t x t t tgx

t

=+

−

=+

=

−

7 Công thức biến đổi:

a/Tích thành tổng:

1cos cos cos( ) cos( )

21sin sin cos( ) cos( )

21sin cos sin( ) sin( )

sin sinsin( )cot cot

x y tgx tgy

II.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC:

1 Phương trình cơ bản:

*Xét

cos 0

2

có là nghiệmkhông?

*Xét cosx≠0 chia 2 vế chia cho cos2x và đặt t=

tgx Chú ý:

2 2

III Hệ thức lượng trong tam giác:

2cos

2cos

b c B ac l

a c C ab l

a b

=+

=+

=+

5 Công thức tính diện tích tam giác:

III ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

1 Đạo hàm các hàm số thường gặp:

x x x

u u

u tgu

u u gu

u

u u u u u

cos

cotsin

dx

gx C x

-Viết phương trình các đường giới hạn hình phẳng

-Chọn công thức tính diện tích:

( ) ( )

( ) ( )

a

b a

-Chọn công thức tính thể tích:

*Hình phẳng quay quanh trục Ox:

• Phép biến hình: Phép biến hình ( trong

mặt phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó

PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH

• Định nghĩa phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến

theo vectơ u

r là một phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho MM'=u.

uuuuur r

Phép tịnh tiến theo vectơ u

r thường được ký hiệu là T hoặc u

Tr Vectơ u

r

được gọi là vectơ tịnh

tiến.

• Tính chất của phép tịnh tiến:

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và

N lần lượt thành hai điểm M’ và N’ thì M’N’ =

MN

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng

hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm

thay đổi thứ tự ba điểm đó

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành

đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng

thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành

tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường

tròn có cùng bán kính, biến góc thành góc bằng

nó

• Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho

phép tịnh tiến theo vectơ u

r.Biết tọa độ của u

r là (a,b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta có:

• Phép dời hình: Phép dời hình là phép

phép biến hình không là thay đổi khoảng cách

giữa hai điểm bất kì

Định lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng

thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi

thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường

thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành

đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam

giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn

có cùng bán kính , biến góc thành góc bằng nó

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

• Định nghĩa phép đối xứng trục: Phép đối

xứng qua đường thẳng a là phép phép biến hình

mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua a

• Định lý: Phép đối xứng trục là một phép

dời hình

• Biểu thức tọa độ:

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox

biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta có:

''

• Trục đối xứng của một hình: Đường

thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) = H

PHÉP QUAY VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

• Định nghĩa phép quay: Trong mặt phẳng

cho điểm O cố định và góc lượng giác ϕ

không đổi Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho

OM = OM’ và (OM OM, ')=ϕ

được gọi là phép

quay tâm O góc quay ϕ

.

• Định lý: Phép quay là một phép dời hình

• Phép đối xứng tâm: Phép đối xứng qua

điểm O là một phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là

' 0

OM OMuuuur uuuuur r+ =

• Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép đối xứng tâm I(a;b) Giả sử điểm M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’) Khi đó ta có:

' 2' 2

• Tâm đối xứng của một hình: Điểm O gọi

là tâm đối xứng của một hình H nếu phép đối xứng tâm Đo biến hình H thành chính nó, tức là Đo (H) = H

HAI HÌNH BẰNG NHAU:

• Định lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam

giác bằng nhau thì có phép dời hình biến tam giác

ABC thành tam giác A’B’C’

Từ định lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam giác

bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời hình biến

tam giác này thành tam giác kia

MB =

uuur

(1

k≠

)

Tọa độ điểm M được xác định bởi:

11

A B M

A B M

x

k M

*Điểm I là trung điểm của AB:

Tọa độ điểm I được xác định bởi:

22

*Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC:

Tọa độ điểm G được xác định bởi:

33

A B C G

A B C G

a/Phương trình đường thẳng ∆:

-Phương trình tổng quát: Ax By C+ + =0Vectơ pháp tuyến

A A B B Cos

e/Xác định phương trình đường phân giác trong

và phân giác ngoài

Hai điểm M(x1; y1) và M’(x2; y2) nằm cùng phía

Phương trình đường tròn:

-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b)

2 2

R= a + −b c

-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với

một đường tròn:

a

= <

-Phương trình đường chuẩn:

a x e

-Tâm sai :

1

c e a

= >

-Phương trình đường chuẩn:

a x e

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)

p F

-Phương trình đường chuẩn: 2

1/ Tích có hướng của hai vectơ:

a/Định nghĩa: cho hai vectơ

là(Ax By Cz D) ( 'A x B y C z D' ' ') 0

3/Phương trình đường thẳng:

a/Phương trình tổng quát:

00/

6/ Các công hức tính khoảng cách:

-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:

-Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Trong không gian cho điểm

1 1 1 1

( ; ; ):

M d

M M u d

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

8/Phương trình mặt cầu:

Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R

Các tiên đề:

.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường

thẳng và chỉ một mà thôi

.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một

mặt phẳng và chỉ một mà thôi

.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt

thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt phẳng

.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm

chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm chung ấy

Cách xác định đường thẳng, mặt phẳng :

1/ Một điểm được xác định bởi 2 đường thẳng cắt nhau A a b= ∩

2/ Một mặt phẳng được xác định bởi một trong các điều kiện sau:

a/ Ba điểm không thẳng hàng ( ) (α = ABC)

b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường thẳng ( ) ( , )α = a A

c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( ) ( , )α = a b

d/ Hai đường thẳng song song : a//a’( ) ( , ')α = a a

Quan hệ song song :

1/ Hai đường thẳng song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng α

thì d song song với mặt phẳng α

3/ Nếu d//α

, mặt phẳng nào chứa đường thẳng d

và cắt α

theo một giao tuyến thì giao tuyến đó

cũng song song với d

4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng

d và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song

song với d

5/ Hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng

song song d và d’ thì giao tuyến của chúng (nếu

có) cũng song song với d và d’

6/ Có 2 đường thẳng cùng song song, mặt phẳng

nào song song với đường thẳng này thì cũng song

song hoặc chứa đường thẳng kia

7/ Nếu 1 mặt phẳng song song với giao tuyến của

2 mặt phẳng và cắt 2 mặt phẳng này thì 2 giao

tuyến mới song song nhau

10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào

cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ

hai và hai giao tuyến song song nhau

Quan hệ vuông góc:

1/ Một đường thẳng vuông góc với 1 mặt phẳng

thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mắt

phẳng

2/ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng

(P) thì mặt phẳng nào chứa đường thẳng d thì

cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng (P)

3/ Có hai đường thẳng song song, đường thẳng

nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng

vuông góc với đường thẳng thứ hai

4/ Hai đường thẳng vuông góc thì cắt nhau hoặc

chéo nhau

5/ Hai đường thẳng phân biệt cùng nằm trong một

mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng thứ ba

thì song song nhau

7/ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P)

8/ Có hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với mặt phẳng thứ hai

9/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau

10/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau

11/ Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song nhau

12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng

13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia

14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai và hai giao tuyến song song

16/ Định lý ba đường vuông góc

d

H A

α

Khoảng cách – góc – đường vông góc chung

của hai đường thẳng chéo nhau

1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn

OH d⊥

2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với

các khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d

3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng α

là độ dài đoạn OH⊥α

4/ Khoảng cách từ O đến α

là ngắn nhất so với các khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên α

5/ Khoảng cách giữa d//α

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên d đến α

6/Khoảng cách giữa α β//

là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên α

đến β

7/ Khoảng cáh giữa 2 đường thẳng chéo nhau là

độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường

thẳng

8/ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng α

là góc nhọn tạo bởi d và hình chiếu d’ của nó xuống α

9/ Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau là góc

nhọn tạo bởi hai đường thẳng song song với hai

đường thẳng ấy vẽ từ một điểm bất kỳ

10/ Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhọn tạo bởi

hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

phẳng ấy

11/ Góc phẳng nhị diện là góc tạo bởi 2 đường

thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhị diện cùng

vông góc với giao tuyến

12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2:

- Dựng mặt phẳng α

chứa d2 và song song với d1

- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên α

, d’ cắt d2 tại N

- Từ N vẽ đường vuông góc với α

cắt d1 tại M

- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương

11/ Thể tích hình chóp: V=

32/ Thể tích chóp cụt:

B,B' là diện tích 2 đáy1

xq

2

anh hình trụ: S 25/ Diện tích toàn phần hình trụ: S S 26/ Thể tích hình trụ: V= R

7/ Diện tích xung quanh hình nón: S

18/Thể tích hình nón V=

39/ Diện tích xung quan

đáy

Rh S h

3

h hình nón cụt:S '

21

10/ Thể tích hình nón cụt: V= ' '

311/ Diện tích xung quanh mặt cầu: S 4

412/ Thể tích mặt cầu: V=

3

R R a

R R

π

ππ

n C