Viết dới dạng phân số từ các phơng trình sau: a 4... b/ Hàng tháng bắt đầu từ tháng lơng đầu tiên anh ta gửi tiết kiệm 200 000 đồng với lãi suất kép 0,4%/ tháng hàng tháng anh ta không r
Trang 1Các Chuyên đề Gt trên máy tính cầm tay Chuyên đề 1: Các bài toán về tính giá trị của biểu thức
1/ Phép tính tràn màn hình :
a/ A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16!
Vì n n! = (n + 1 - 1).n! = (n + 1)! - n! nên:
A = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + + 16.16! = (2! - 1!) + (3! - 2!) + + (17! - 16!)
A = 17! - 1! = 6227020800 57120
b/ A = 123456789 x 97531; B = 2468103 + 13579112.(Đề thi HSG Casio Tỉnh Ninh Bình 03-04)
2/ Tính thông thờng:
3 : 0,2 0,1 34, 06 33,81 4 2 4
2,5 0,8 1,2 6,84 : 28,57 25,15 3 21
b/ 2 −3 3 + 4 4 −5 5 + 6 6 − 7 7 + 8 8 −9 9
3/ Tính giá trị của biểu thức có điều kiện kèm theo của biến:
a/ Cho biết sin2x = 0,5842 (0 < x <900) Tính A =
x cos 1 ) x g cot 1 )(
x tg 1 (
) x sin 1 ( x cos ) x cos 1 ( x sin
3 2
2
3 3
+ +
+
+ +
+ b/ Cho biết tgx = tg330 tg340 tg350 tg55… 0 tg560 (0 < x < 900)
Tính B =
x cos x sin ) x cos x sin 1 (
) x sin 1 ( x g cot ) x cos 1 ( x tg
3 3
3 2
3 2
+ +
+
+ +
+
c/ Tính giá trị của biểu thức : A =
23 15 54 , 2 7 5 2
83 , 5 13 2768
, 9 11
4 3 7
5
2 2
2 2
2 2 3
+ +
− +
− +
− +
+
b ab a
bc c
ab bc
a a
với a = 45,2008; b = 16
2009
10
; c = 3+16 10
4/ Tính giá trị của dãy quy luật tại giá trị của biến:
a/ A =
2007 2006 2005
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3
2
1
b/ B =
4030056 4015
1
12 7
1 6
5
1 2
3
1
2 2
2
2 − x+ + x − x+ + x − x+ + + x − x+
B
c/ C =
2007 2008
1
2 3
1 1
2
1 1
1
+ + + + + + + +
+ +
− +
+ +
⇒C= x+2008− x
d/ Cho Sn = 13 + 23 + 33 + + n… 3 Tính S2012
4/ Tìm x,y biết:
a/
1
: 62 17,81: 0, 0137 1301
3 2,65 4 :
25 8
x
Trang 2Chuyên đề 2: Một số bài toán về dãy số
2/ Cho dãy số với số hạng tổng quát đợc cho bởi công thức
3 2
) 3 13 ( ) 3 13
n
U = + − − với n = 1 , 2 , 3 , k ,
a) Tính U1,U2,U3,U4,U5,U6,U7,U8
b) Lập công thức truy hồi tính U n+ 1 theo U n và U n− 1
c) Lập quy trình ấn phím liên tục tính U n+ 1 theo U n và U n− 1
2/ Cho dãy số (5 7) (5 7)
2 7
n
a/ Tính 5 số hạng đầu tiên U0, U1, U2, U3, U4
b/ Chứng minh rằng Un + 2 = 10Un + 1– 18Un
c/ Lập quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 theo Un + 1 và Un
HD giải:
a/ Thay n = 0; 1; 2; 3; 4 vào công thức ta đợc
U0 = 0, U1 = 1, U2 = 10, U3 = 82, U4 = 640
b/ Chứng minh: Giả sử Un + 2 = aUn + 1 + bUn + c Thay n = 0; 1; 2 và công thức ta đợc
hệ phơng trình:
10
Giải hệ này ta đợc a = 10, b = -18, c = 0
c) Quy trình bấm phím liên tục tính Un + 2 trên máy Casio 570MS
Chuyên đề 3: TíNH Số Lẻ THậP PHÂN THứ N SAU DấU PHẩY
1/ Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bớc 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 13 = 16,9999999
17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn Không lấy số không vì
17 = 1,30769230 13 + 0,0000001= 1,30769230 13 + 0,0000001
Bớc 2:
+ lấy 1 : 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm đợc 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số
Ta có 105 = 6.17 + 3 (105 3(mod 6)≡ )
Vậy chữ số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ Đó chính là số 7
2/ Tìm chữ số thập phân thứ 13 2007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải:
2
Trang 3Ta có 250000 13157 17
19 = +19 Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia
17 : 19
Bớc 1:
ấn 17 : 19 = 0,8947368421
Ta đợc 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 - 0, 894736842 * 19 = 2 10-9
Bớc 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 - 0,105263157 * 19 = 1,7 10-8 = 17 10-9
Bớc 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là
+ Lấy 17 - 0,0894736842 * 19 = 2 10-9
Bớc 4:
- Lấy 2 : 19 = 0,1052631579
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157
= 0,(894736842105263157) Chu kỳ gồm 18 chữ số
13 ≡1(mod18)⇒13 = 13 ≡1 (mod18)
Kết quả số d là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân
Kết quả : số 8
1/ Tính giá trị của các biểu thức sau và biểu diễn kết quả dới dạng phân số:
31
1
2
1 3
1 4
5
A=
+
+
+
;
10 1 7
1 6
1 5 4
B= + + +
;
2003 2 3
4 5
8 7 9
C = + + +
Đáp số: A) 2108/157 ; B) 1300/931 ; C) 783173/1315
2/ Biết
7
1
1 1 1
a b c d
= +
+ + + +
Tìm các số a, b, c, d.
3/ Tìm giá trị của x, y Viết dới dạng phân số từ các phơng trình sau:
a)
4
Trang 45/ Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau:
a/ 0,(123) 1 123 123 41
1/ Cho a = 168599421; b = 2654176 Tìm ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của a và b
2/ Cho a=11994;b=153923;c=129935 Tìm ƯCLN(a; b; c) và BCNN(a; b; c);
3/ Hãy tìm tất cả các số tự nhiên là bội của 2009 có dạng 7*13*1
1/ Tính tổng của tất cả các hệ số của đa thức sau :
P(x) =(2008−2008x+ 2.x3)66.(7−2008x+1003x2+1004x3−5x5)3
5 , 2 6 , 4
7 3 5 , 4
2
−
−
x Tìm giá trị nhỏ nhất của bthức E 3/ Cho đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + 5 + m
a/ Giả sử m = 2010 Tìm số d r khi chia P(x) cho x + 4
b/ Tìm m để P(x) chia hết cho 2x - 6
c/ Giả sử m = 2010 Tìm d R(x) khi chia P(x) cho (x + 4)( 2x - 6)
4/ Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết rằng: P(45) = 45; P(54) = 54; P(75) = 75.Tìm a,b,c
5/ Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4 ; P(3) = 18 ; P(4) = 48 Tính P(2009)
- Đặt Q(x) = P(x) – (x-1) x2⇒ Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = 0 ⇒ 1,2,3,4 là nghiệm của Q(x)
Mà P(x) có bậc 4 ⇒ Q(x) có bậc 4
⇒ Q(x) = P(x) – (x-1) x2 = (x-1)(x-2)(x-3)(x- 4) ⇒ P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x- 4) + (x-1) x2
1/ Tại một thời điểm gốc nào đó dân số của tỉnh Ninh Bình là a ngời; tỉ lệ tăng dân số trung bình mỗi
năm của Ninh Bình là m%
a/ Hãy xây dựng công thức tính dân số của Tỉnh Ninh Bình đến năm thứ n
b/ Giả sử dân số của Tỉnh Ninh Bình năm 2005 có khoảng 910 000 ngời Hỏi dân số của Tỉnh ta
đến năm 2010 là bao nhiêu ngời nếu tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm là 1,2% ? (Lấy kết quả là số
tự nhiên)
c/ Đến năm 2025 muốn dân số của tỉnh ta có khoảng 1 200 000 ngời thì tỉ lệ tăng dân số trung bình hàng năm là bao nhiêu (Lấy kết quả với 1 chữ số thập phân)
2/ Một ngời lĩnh lơng khởi điểm là 1 400 000 đồng/tháng Cứ 3 năm anh ta lại đợc tăng lơng thêm 7%
a/ Hỏi sau 36 năm công tác anh ta đợc lĩnh tất cả bao nhiêu tiền?
b/ Hàng tháng bắt đầu từ tháng lơng đầu tiên anh ta gửi tiết kiệm 200 000 đồng với lãi suất kép 0,4%/ tháng (hàng tháng anh ta không rút tiền lãi mà để lại số tiền đó làm gốc) Hỏi khi về hu (sau36 năm công tác) anh ta tiết kiệm đợc bao nhiêu tiền?
HD:
a/ Sau 36 năm công tác, anh ta đợc tăng lơng 11 lần và đợc số tiền là :
3600 0 12
100
r
12 3600.1400000 7
b/ Gọi số tiền gửi tháng đầu tiên là là y0, lãi suất tiết kiệm là m %/ tháng, sau 36 năm công tác anh ta gửi tiết kiệm là 36 12 = 432 (lần)
- Cuối tháng thứ n anh ta tiết kiệm đợc:
y0 (1 )n 1 (1 )
m
+
= 2000000, 4% (1 0, 4%) + 432 1+ − +(1 0, 4%) = 231 422 695 đồng
4
Trang 5Chuyên đề 8: tìm số d, chữ số tận cùng, số chữ số của 1 số
1/ Tìm số d r trong phép của: 1978197819781978 : 2009
- Chia 1978197819 chia cho 2009 ta đợc d là 1816 thơng 984 667
- Chia 1816781978 chia cho 2009 ta đợc d là 1089 thơng 904321
⇒ 1089 là số d trong phép chia trên 2/ Tìm 4 số tận cùng của 321978
3/ Tìm tất cả các chữ số x, y sao cho N =1235679 6x y chia hết cho 24
4/ Tìm số d trong các phép chia sau: (trình bày cả cách giải)
a) 20092010: 2011; b) 2009201020112012 : 2020;
5/ Tìm số chữ số của số 2100 : (Log2) ì100 + 1 = 31,102…⇒ số chữ số của số 2100 là 31
6/ Số chính phơng P có dạng P=17712 81ab Tìm các chữ số a b, biết rằng a b+ = 13
7/ Số chính phơng Q có dạng Q=15 26849cd Tìm các chữ số c d, biết rằng c2+d2 =58
8/ Số chính phơng M có dạng M =1mn399025 chia hết cho 9 Tìm các chữ số m n,
Chuyên đề 9: phơng trình, hệ phơng trình, phơng pháp lặp 1/ Tìm nghiệm của hệ phơng trình sau :
= +
− +
= + +
0 ) 8 ( 2
4 4 4
2 2
2 2
xy y
x
xy y
x
2/ Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình sau bằng phơng pháp lặp :
x2 + sin x –1 = 0
3/ Giải hệ phương trỡnh:
13 26102 2009 4030056 0
4/
=
− +
−
+
=
−
− +
+
0 6 5
0 13 7 2 2
2
2
2
y x y
x
y x y
x
5/
=
−
= +
13
4 5 3
7
1 3 2 2 2
2 2
y x
y x
6/
= +
+
= +
+
9 )
1 1 )(
(
5 )
1 1
)(
(
2 2 2
2
y x y
x
xy y
x
6/ Cho
= +
= + +
12 , 34
34 , 12 2
2y xy x
y x xy
Tính P=3 x3+ y3
7/ Cho a, b thoả mãn:
=
−
=
−
98 3
19 3
2 3
2 3
b a b
ab a
Tính P = a2+b2 8/ Tìm nghiệm nguyên dơng x2+2y2=2008
9/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: 7(x+y)=3(x2-xy+y2)
10/ Tìm nghiệm nguyên dơng 3x + 4y =95
11/ Tìm cặp số ( x , y ) nguyên dơng với x nhỏ nhất thỏa phơng trình :
3 156x2 +807 +(12x)2 =20y2 +52x+59
Chuyên đề 10: Hàm số, giảI bài toán bằng cách lập phơng trình
Trang 61/ Cho hai hàm số y= x + 23 2
5 5 (1) và y = - x + 55
a/ Vẽ đồ thị của hai hàm số trên mặt phẳng tọa độ của Oxy
b/ Tìm tọa độ giao điểm A(xA, yA) của hai độ thị (kết quả dới dạng phân số hoặc hỗn số)
c/ Tính các góc của tam giác ABC, trong đó B, C thứ tự là giao điểm của đồ thị hàm số (1) và độ thị của hàm số (2) với trục hoành (lấy nguyên kết quả trên máy)
d/ Viết phơng trình đờng thẳng là phân giác của góc BAC (hệ số góc lấy kết quả với hai
chữ số ở phần thập phân)
2/ Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A Sau 5 giờ 10 phút, một chiếc canô chạy từ A đuổi theo và gặp thuyền đó cách bến A 20,5 km Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12,5km h/ ( Kết quả chính xác với 2 chữ số thập phân)
3/ Lúc 8 giờ sáng, một ô tô đi từ A đến B, đờng dài 157 km Đi đợc 102 km thì xe bị hỏng máy phải dừng lại sửa chữa mất 12 phút rồi đi tiếp đến B với vận tốc ít hơn lúc đầu là 10,5km h/ Hỏi ô tô bị hỏng lúc mấy giờ, biết rằng ô tô đến B lúc 11 giờ 30 phút ( Kết quả thời gian làm tròn đến phút)
Chuyên đề 11: Hình học
1/ Tam giác ABC có àA=90o; AB = c = 1010cm; AC = b = 2010cm Biết AD,
AE lần lợt là phân giác góc trong và góc ngoài ở đỉnh A của ∆ABC (nh hình vẽ)
a/ Tính các góc còn lại của ∆ABC ra độ và phút
b/Viết công thức tính AD, AE theo b, c? áp dụng tính AD và AE
(Trình bày ngắn gọn lời giải và ghi kết quả tính AD, AE vào ô vuông)
Kẻ DM ⊥AC, EM ⊥ AC mà AB ⊥AC ⇒ MD // AB, NE // AB
*AD là phân giác trong của ∆ABC và MD // AB
⇒ AC AB = CD BD = AM MC ⇒ AB AM AM AB AC.
- ∆AMD vuông cân tại M ⇒ AD = AM 2 = AB AC AB AC+. . 2
*AD là phân giác ngoài của ∆ABC và NE // AB
⇒ AC AB = CE BE = AN NC ⇒ AB AN AN AB AC.
- ∆ANE vuông cân tại N ⇒ AE = AN 2 = AC AB AB AC−. . 2
2/ Tam giác ABC có 0o< Â < 90o và sin BAC = 0,6153 ; AB =17,2 cm ;
AC = 14,6 cm; đờng cao BH Tính :
3)Trung tuyến AM của tam giác ABC
3/ Hình chóp tứ giác đều O ABCD. có độ dài cạnh đáyBC = a,
độ dài cạnh bên OA l=
a) Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của
hình chóp O ABCD. theo a và l.
b/ Tính ( chính xác đến 2 chữ số thập phân) diện tích xung quanh
và thể tích của hình chóp O ABCD khi cho biết a=5, 75cm l, =6,15cm
c/ Ngời ta cắt hình chóp O ABCD. cho trong câu 1 bằng mặt phẳng
song song với đáy ABCDsao cho diện tích xung quanh của hình chóp
O MNPQ đợc cắt ra bằng diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều
6
D
E
C
M N
E
D A
B
C
a
O
l K
M P
N
H
B
D
C
A Q
Trang 7MNPQ ABCD đợc cắt ra Tính thể tích hình chóp cụt đợc cắt ra
( chính xác đến 2 chữ số thập phân )
Phơng pháp lặp giải gần đúng phơng trình f x ( ) 0 =
Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình có duy nhất nghiệm trong khoảng ( , )a b Giải phơng trình f x( ) 0 =
bằng phơng pháp lặp gồm các bớc sau:
1 Đa phơng trình f x( ) 0 = về phơng trình tơng đơng x g x= ( )
2 Chọn x0 ∈ ( , )a b làm nghiệm gần đúng ban đầu
3.Thay x x= 0 vào vế phải của phơng trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm
gần đúng thứ nhất x1 =g x( ) 0 Thay x1 =g x( ) 0 vào vế phải của phơng
trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm gần đúng thứ hai x2 =g x( ) 1 Lặp lại quá trình trên, ta nhận đợc dãy các nghiệm
gần đúng
1 ( ) 0
x =g x , x2=g x( )1 , x3 =g x( ) 2 , x4=g x( )3 , ,x n=g x( n−1),
Nếu dãy các nghiệm gần đúng { }x n , n= 1, 2, hội tụ, nghĩa là tồn tại lim n
→∞ = thì (với giả thiết hàm g x( ) là liên tục trong khoảng ( , )a b ) ta có:
lim n lim ( n ) (lim n ) ( )
Chứng tỏ x là nghiệm đúng của phơng trình x g x= ( ) và do đó x cũng là nghiệm đúng của phơng trình ( ) 0
f x = .
Tính hội tụ: Có nhiều phơng trình dạng x g x= ( ) tơng đơng với phơng trình f x( ) 0 = Phải chọn hàm số g x( ) sao cho dãy { }x n xây dựng theo phơng pháp lặp là dãy hội tụ và hội tụ nhanh tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau
Định lý Giả sử ( , )a b là khoảng cách ly nghiệm x của phơng trình f x( ) 0 = và phơng trình x g x= ( ) tơng đơng với phơng trình f x( ) 0 = Nếu g x( ) và g x'( ) là những hàm số liên tục sao cho g x′ ( ) ≤ < ∀ ∈q 1 x [ ]a b, thì từ mọi
vị trí ban đầu x0∈( , )a b dãy { }x n xây dựng theo phơng pháp lặp x n=g x( n−1) sẽ hội tụ tới nghiệm duy nhất x trong khoảng ( , )a b của phơng trình f x( ) 0=
Thí dụ 1 Giải phơng trình x3 −x2 − = 1 0
Phơng trình này có duy nhất nghiệm trong khoảng (1;1.5) và tơng đơng với
3 2 1
x= x + Do g x( ) = 3x2 + 1 có đạo hàm 3 2 2
2 '( )
3 ( 1)
x
g x
x
=
+ thỏa mãn điều kiện 3
1 '( ) 1 4
g x = < trong khoảng (1;1.5) nên dãy lặp 3 2
x+ = x + hội tụ tới nghiệm duy nhất từ một điểm bất kỳ trong khoảng (1;1.5) Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo hàm g x( ) = 3x2 + 1:
SHIFT 3 ( ALPHA X x2 + 1) Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X?
Khai báo giá trị ban đầu x0 = 1 và bấm phím =
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x= 1.465571232
Trang 8Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :
Khai báo giá trị ban đầu x0 = 1 bằng cách bấm phím 1 =
Khai báo dãy xấp xỉ 3 2
x+ =g x = x + :
SHIFT 3 ( Ans x2 + 1) Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x= 1.465571232
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x= 1.465571232
Thí dụ 2 Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình e x+ − =x 3 0
Vì f x( ) =e x+ −x 3 có đạo hàm f x'( ) =e x+ > ∀ 1 0 x nên nó đồng biến trên
toàn trục số Hơn nữa, f(0) = − 3, f(1) = − >e 2 0 nên phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất nằm trong khoảng (0,1)
Phơng trình đã cho tơng đơng với x= ln(3 −x)
Đặt g x( ) ln(3 = −x) thì '( ) 1
3
g x
x
= −
− nên '( ) 1 ( )0,1
2
g x < ∀ ∈x
Do đó dãy lặp x n+1 = ln(3 −x n) hội tụ từ mọi điểm bất kỳ trong khoảng (0,1)
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( ) ln(3 = −x): ln ( 3 − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X?
Khai báo giá trị ban đầu 0
1 2
x = : 1 a b c/ 2 và bấm phím = Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến
26 27 28 0.792059968
Vậy nghiệm gần đúng là 0,792059968
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :
Khai báo giá trị ban đầu 0
1 2
x = : 1 a b c/ 2 và bấm phím = Khai báo dãy xấp xỉ x n+1 =g x( ) ln(3n = −x n): ln ( 3 − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x26 =x27 =x28 = 0,792059968
Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến 9 chữ số thập phân) là x= 0,792059968
Nhận xét 1 Nếu chỉ đòi hỏi nghiệm chính xác đến 5 chữ số thập phân sau dấu phẩy thì chỉ cần sau 13 b ớc lặp
ta đã đi đến nghiệm là 0,79206
Nhận xét 2 Nếu ta đa phơng trình e x+ − =x 3 0 về dạng x= − 3 e x thì g x( ) 3 = −e x có đạo hàm g x'( ) = −e x không thỏa mãn điều kiện
( ) '( ) 1 0,1
nên ta cha thể nói gì đợc về sự hội tụ của dãy lặp
Nhận xét 3 Chọn điểm xuất phát
0 2
x = ([2], trang 62) thì cần nhiều bớc lặp hơn.
Dùng lệnh solve để giải phơng trình trên Maple:
> solve(exp(x)+x-3,x);
-LambertW(exp(3)) + 3
Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW
8
Trang 9Ta có thể tính chính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh:
> evalf(",30);
.79205996843067700141839587788
Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ chính xác tuỳ ý.
Thí dụ 3 Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x+ lnx= 0
Vì f x( ) = +x lnx là một hàm đồng biến ngặt trên (0, +∞ ) Hơn nữa f(1) 1 0 = > và f( )1 1 1 0
trình có duy nhất nghiệm trên khoảng ( ,1)1
e Phơng trình đã cho tơng đơng với x e= −x =g x( )
Vì g x'( ) = −e−x nên '( ) x 1 1
e
e
−
= ≤ < với mọi x ( ,1)1
e
∈ nên dãy lặp x n+1 =e− n hội tụ
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
Khai báo g x( ) =e−x: SHIFT e x ( − ALPHA X )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu 0
1 2
x = :
1 a b c/ 2 và bấm phím = Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x= 0,567143290 Vậy nghiệm gần đúng là x= 0,567143290
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS:
Khai báo giá trị ban đầu 0
1 2
x = : 1 a b c/ 2 và bấm phím = Khai báo 1 ( ) n
n
x n
x+ =g x =e− : SHIFT e x ( − Ans )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x= 0,567143290
Vậy nghiệm gần đúng là x= 0,567143290.
Thí dụ 4 Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x= cos :x =g x( ).
Vì f x( ) = −x cosx có đạo hàm f x'( ) 1 sin = + x≥ ∀ 0 x và chỉ bằng 0 tại một số điểm rời rạc 2
2
là hàm đồng biến ngặt Do f(0) = − 1 và ( )
2 2
f π =π nên phơng trình có duy nhất nghiệm trong khoảng (0, )
2
Hiển nhiên '( ) sin sin( ) 1
2
2
x∈ π ε − với ε đủ nhỏ nên dãy x n+1= cosx n hội tụ trong
khoảng (0, )
2
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
ấn phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian)
Khai báo g x( ) cos = x: cos ALPHA X
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 = 1.5 và bấm phím = Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x= 0,739085133 radian
Dãy lặp trên máy Casio fx-500 MS hoặc Casio fx-570 MS:
Bấm phím MODE MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-570 MS hoặc MODE MODE MODE 2 (tính theo Radian) trên Casio fx-500 MS
=
Trang 10Khai báo x n+1 =g x( n) cos = x n: cos Ans
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x= 0.739085133
Thí dụ 5 Tìm nghiệm gần đúng của phơng trình x3 − 3x+ = 1 0
Vì f( 2) − = − 1, f( 1) 3 − = , f(1) = − 1,f(2) 3 = và x3 − 3x+ = 1 0 là phơng trình là bậc 3 nên nó có đúng 3 nghiệm trong các khoảng ( 2, 1) − − , ( 1,1) − ,(1, 2)
Phơng trình trên tơng đơng với x= 3 3x− 1 Xét khoảng ( 2, 1) − − .
Đặt g x( ) = 3 3x− 1 Ta có 3 2 3
16 (3 1)
g x
x
− nên dãy x n+1 =33x n− 1 hội tụ trong khoảng ( 2, 1) − − .
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS:
ấn phím MODE 1 (tính theo số thực)
Khai báo g x( ) = 3 3x− 1: SHIFT 3 ( 3ì ALPHA X − 1 )
Bắt đầu tính toán bằng CALC máy hiện X? Khai báo giá trị ban đầu x0 = − 1 và bấm phím =
Sau đó thực hiện dãy lặp CALC Ans = ta cũng đi đến x1 ≈ − 1,879385242
Dãy lặp trên máy Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-500 MS :
Khai báo giá trị ban đầu x0 = − 1: − 1 và bấm phím =
x+ =g x = x − : SHIFT 3 ( 3ì Ans − 1 )
Sau đó thực hiện dãy lặp = ta cũng đi đến x1 ≈ − 1,879385242
Vậy một nghiệm gần đúng là x1 ≈ − 1,879385242.
Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau đó giải phơng trình bậc hai ta tìm đợc hai nghiệm còn lại là: x≈ 1,53208886
và x≈ 0,3472963.
Chú ý: Để tính nghiệm x2 ≈ 0,3472963 ta không thể dùng phơng trình tơng đơng x= 3 3x− = 1 g x( ) nh trên vì
2 3
1
'( )
(3 1)
g x
x
=
− không thỏa mãn điều kiện g x'( ) ≤ <q 1 trong khoảng (0,1) và dãy lặp x n+1 =33x n− 1 không hội
tụ (Hãy thử khai báo giá trị ban đầu x= 0,3472963 và thực hiện dãy lặp 3
x+ = x − theo quy trình bấm phím trên, ta sẽ thấy dãy lặp hội tụ tới x1 ≈ − 1,879385242)
Nhận xét 1: Có thể giải phơng trình x3 − 3x+ = 1 0 trên Casio fx-570 MS hoặc Casio fx-570 MS theo chơng
trình cài sẵn trên máy, quy trình bấm phím sau:
Vào MODE giải phơng trình bậc ba: MODE MODE 1 > 3
Khai báo hệ số: 1 = 0 = (-) 3 = 1 =
Máy hiện đáp số x1 = 1.53088886
Bấm tiếp phím = , máy hiện x2 = − 1.879385242
Bấm tiếp phím = , máy hiện x3 = 0.347296355.
Vậy phơng trình có ba nghiệm thực
1 1.53088886
x = ;x2 = − 1.879385242; x3 = 0.347296355.
Thí dụ 6 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số f x( ) = − +x3 3x2 − 1 với trục hoành (chính xác đến 10−7)
Giải: Giao điểm của đồ thị hàm số f x( ) = − +x3 3x2 − 1 với trục hoành chính là nghiệm của phơng trình
3 2
( ) 3 1 0
10
