Kẻ PH vuông góc với 0M.. b Khi đường thẳng MBA thay đổi chứng minh rằng điểm P luôn nằm trên một đường thẳng cố định.. c Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, K là giao điểm của PH với
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN THẠCH THÀNH
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011
MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P = xy x+ y + xy y−x− x+xy y
a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng P có giá trị không đổi nếu y x = y x++15
Bài 2 : (2 điểm) Cho ba số x;y;z. thoả mãn đồng thời
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2 2 2
= + +
= + +
= + +
x z
z y
y x
Tính giá trị của biểu thức: A=x2009 + y2010 +z2011
Bài 3: (3 điểm) Giải hệ phương trình sau:
xy yz
x
xy z
4 1 2 1
2 1
2
2
−
=
−
= +
Bài 4: (3 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x2 + y2
Biết rằng x; y là các số thực thoã mãn: x2 + y2 −xy=4
Bài 5: (6 điểm) Cho điểm M cố định nằm ngoài đường tròn (0;R).Một đường thẳng
thay đổi luôn đi qua M cắt đường tròn (0;R) tại A và B Các tiếp tuyến của (0;R) tại
A và B cắt nhau ở điểm P Kẻ PH vuông góc với 0M.
a) Chứng minh 5 điểm 0; A; P; B; H cùng nằm trên một đường tròn.
b) Khi đường thẳng MBA thay đổi chứng minh rằng điểm P luôn nằm trên một đường thẳng cố định
c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, K là giao điểm của PH với AB Chứng minh MA.MB = MI.MK
Bài 6: (2 điểm) Cho a ,,b c là các số thuộc đoạn -1; 2 thoả mãn
0
= + +b c
a Chứng minh: a2 +b2 +c2 ≤6
Họ, tên thí sinh: Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh: Chữ ký của giám thị 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI TỈNH LỚP
9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 MÔN: TOÁN
Bài 1
(4 điểm)
a) ĐKXĐ của biểu thức P là: xy>0 và x≠ y
P =
xy
y x x xy
y y
xy
−
+
y x x
xy y xy
y xy y x xy
− +
+ +
−
) )(
(
) (
) (
P =
xy x y
x y y x xy
x y
x y xy y x xy
y x xy
x y
x y xy y x
) (
) )(
( )
(
) )(
( )
(
) )(
(
−
− +
−
−
− + +
=
+
−
−
− + +
P =
x y
y x
− +
b) Vì
5
1
+
+
=
y
x y
x
Nên y 5= x Thay y 5= x vào P =
x y
y x
−
+
ta được: P =
2
3 4
x
x
không đổi
0.5 0.75
1.0 0.75
1.0
Bài 2
(2điểm)
Cộng từng vế các đẳng thức với nhau ta được:
−
=
−
=
−
=
⇔
= +
= +
= +
⇔
= + + + + +
⇔
= + + + + + + + +
1 1 1 0
1
0 1
0 1
0 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (
0 ) 1 2 ( ) 1 2 ( ) 1 2 (
2 2
2
2 2
2
z y x
z y x
z y
x
x z z
y y
x
Thay x=−1;y=−1;z=−1 vào biểu thức A=x2009 + y2010 +z2011
Ta được: A=(−1)2009 +(−1)2010 +(−1)2011 =−1+1−1=−1
0.25 0.5
0.75
0.5
Bài 3
(3điểm)
Từ phương trình đầu của hệ suy ra
4
1 1
Điều kiện để phương trình thứ hai của hệ tồn tại là:
4
1 0
4
Từ (*) và (**) Suy ra
4
1
=
xy
Ta có hệ
xy yz
x
xy z
4 1 2 1
2 1
2
2
−
=
−
= +
⇔
0 1
1 1 4 1
2
2
=
−
= +
=
x z
xy
⇔
1 0 4 1
2 =
=
=
x z
xy
Từ x2 =1⇒x=1 hoặc x=−1
4
1
x
4
1
−
x
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là:
4
1
; 1
4
1
; 1
0.5 0.25 0.25
0.75 0.25 0.25 0.25
0.5 Bài 4
(3điểm) Ta có: x2 + y2 −xy=4⇔2x2 +2y2 −2xy=8 0.25
0.25
Trang 3
8 ) ( 8 8
) (
8 ) ( ) (
2 2
2 2
2
≤
−
−
=
⇔
=
− +
⇔
=
− + +
⇔
y x A
y x A
y x y x
⇒ MaxA=8 khi x= y
Mặt khác ta có: 2x2 +2y2 −2xy=8⇔3(x2 + y2)=8+(x2 +2xy+ y2)
⇔3A=8+(x+ y)2 ≥8
3
8 8
3
8
=
⇒MinA khi x=−y
0.5 0.5 0.5 0.5 0.5
Bài 5
(6điểm)
- Vẽ hình đúng
0.5
a) Vì PA là tiếp tuyến của đường tròn (0; R) Nên PA⊥ OA tại A (định lý)
Vậy tam giác OAP vuông tại A suy ra điểm A thuộc đường tròn đường kính OP (1)
Chứng minh tương tự ta có điểm B thuộc đường tròn đường kính OP (2)
Mặt khác tam giác OHP vuông tại H Nên điểm H thuộc đường tròn đường kính OP (3)
Từ (1); (2) và (3) Suy ra 5 điểm O; A; P; B; H cùng nằm trên đường tròn đường kính OP
0.5 0.5 0.5
b) Gọi C; D lần lượt là giao điểm của đường thẳng MO với đường tròn (0; R)
Xét ∆ MBC và ∆ MDA Ta thấy M∠ chung
∠ DAM = ∠ BCM ( cùng bù với góc DCB )
Vậy ∆ MBC MDA ∆.(g.g) Suy ra = ⇒MA.MB=MC.MD
MA
MC MD
MB
(4) Chứng minh tương tự ta được ∆MBH ∆MOA.(g.g)
MA
MH MO
M
Từ (4) và (5) ta có:
MO
MD MC MH MH
MO MD
H cố định Từ đó suy ra P nằm trên đường thẳng (d) cố định, vuông góc với OM đi qua
điểm H
0.75
0.75
1.0
c) MHK∆ MIO∆ ( Vì có M∠ chung; ∠MHK =∠MIO=900)
MO
MK MI
MH
⇒
0.5 1.0
Bài 6
(2 điểm)
Ta có: −1≤a,b,c≤2⇒(a+1)≥0 và (a−2)≤0⇒(a+1)(a−2)≤0⇔a2 −a−2≤0
Suy ra a2 ≤a+2.Tương tự ta có: b2 ≤b+2 c2 ≤c+2
Cộng các vế của các bất đẳng thức trên lại ta được: a2 +b2 +c2 ≤(a+b+c)+6=6
Vậy a2 +b2 +c2 ≤6
0.5 1.0 0.25 0.25
Lưu ý: - Học sinh làm cách khác đúng ở mỗi bài vẫn cho điểm tối đa
P
M
A
B
O D
Trang 4- Bài 5 học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm điểm.