Dao động của chuỗi nguyên tửTrong tinh thể các nguyên tử dao động quanh các nút mạng trong không gian 3 chiều.. Bài toán của một hệ hạt có tương tác với nhau và dao động với biên độ nhỏ
Trang 1Bài 3
Trang 21 Dao động của chuỗi nguyên tử
Trong tinh thể các nguyên tử dao động quanh các nút mạng
trong không gian 3 chiều
Bài toán của một hệ hạt có tương tác với nhau và dao động với biên độ nhỏ quanh vị trí cân bằng là một trong những bài toán điển hình của Cơ học cổ điển
Để thấy một số tính chất quan trọng của các dao động đó ta bắt đầu từ một chuỗi thẳng của các nguyên tử
Trang 3x x
( )
x x
[(
f dt
x
d
m 2 2n = - n - n-1 - n+1 - n
xn = A exp i ( wt + qna )
xn là độ lệch khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử thứ n
f là hằng số lực đàn hồi tương tác giữa 2 nguyên tử Nghiệm có dạng
q - số sóng
a Chuỗi thẳng dài vô hạn của các nguyên tử
có cùng khối lượng m
Trang 4) qa
sin(
m
f
2
1 2
±
= w
cho thấy sự phụ thuộc của tần số dao động w vào số sóng q :
w là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ
a
p 2
a
q a
p
£
£
p
-chỉ cần xét q trong khoảng
Vùng Brillouin thứ nhất một chiều Thay nghiệm vào phương trình chuyển động được
à Chỉ cần các bước sóng lớn hơn 2a
Trang 5Ở hình trên , q = p/a tương ứng với l=2a q > p/a không có ý nghĩa vật lý vì không có nguyên tử dao động giữa một chu kỳ Như vậy vectơ sóng được phép cho dao động mạng nằm trong vùng Brillouin thứ nhất ( |q| < p/a )
Do đó tất cả có N giá trị được phép của vectơ sóng ( và bước sóng ) nằm trong khoảng -p/a < q < p/a Mỗi giá trị đó tương ứng với một
mode dao động của mạng Mode đó được gọi là mode chuẩn
Trang 62 qa
qa sin )
m
f (
a q
vp = w =
Vận tốc pha của sóng trong chuỗi :
ª Với q nhỏ ( bước sóng dài ) vận tốc pha vp = a(f/m)1/2 không
đổi và bằng vận tốc truyền âm trong tinh thể ( ~ 3.105 cm/s )
ª Khi q tăng, vận tốc giảm : hiện tượng tán sắc Sự tán sắc là do aự ảnh hưởng lẫn nhau giữa các phần nén và dãn của sóng Với
các bước sóng ngắn các phần đó rất gần nhau
ª Khi l giảm đến 2a các phần nén và dãn bù trừ lẫn nhau làm
sóng biến mất > vận tốc bằng 0
2
qa cos m
f a
dq
d
vnhóm = w =
Vận tốc truyền năng lượng - vận tốc nhóm:
( vận tốc truyền của các mặt đẳng pha )
Ở các biên q = p/2 , vnhóm = 0 : không truyền năng lượng
Trang 7a a
q = p ,l = 2
¥
®
» 0 , ,l q
2
4 1 2
qa sin )
m / f ( / = w
Vùng Brillouin thứ nhất q
2
1
4 f / m ) /
(
w
Trang 8) qa
sin(
m
f
2
1 2
±
= w
Có sự phụ thuộc tuyến tính trong miền này
q
m
f 2
w
Với q nhỏ
Trang 9b Chuỗi thẳng dài L hữu hạn gồm N
nguyên tử có cùng khối lượng m
Từ xn = A exp i ( wt + qna )
na
q = 2 p
j là các số nguyên dương hoặc âm
x(0) x(Na)
Điều kiện biên tuần hoàn Born von Karman
L = Na Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn+N
f
x
Trang 10)j N
n t
(i exp A
x
Các giá trị gián đoạn của q xác định N dao động riêng của
chuỗi Nghiệm tổng quát thu được từ sự tổ hợp tuyến tính của tất cả các nghiệm riêng
L = Na Điều kiện biên tuần hoàn : xn = xn+N
f
x