Cơ sở vật lý chất rắn (NXB đại học quốc gia 2005) đào trần cao, 294 trang

Tính chat đặc trưng của trạng thái tinh thể cỏ nghla là một mật dây 1« tính chất chung của mọi tinh thể, nhưng mặt khác đây lại là tính chất riêng chi cỏ các tinh thế mới có ià trong cấu

c ơ S Ở

VẬT LÝ CHẤT RẮN

Lời giới thiêu

Cuốn sách Cơ sớ Vật lý chát rắn của Phó giáo sư Tiến sĩ Đào Trần Cao là giao trinh Vật lý chất rắn trong chương trinh đào tạo chất lượng CQO ngành Vật lý kỹ thuật của Khoa Công nghệ, Đại học Quốc gio Hà Nội

Trong giáo trình này tác giả trình bày các kiến thửc cơ bán nhất vẻ Vật lý chất rắn một cách ngắn gọn uà chính xác ớ trình độ lý thuyết cao

Học xong giáo trinh này sinh v iê n có thê hiếu một cách dẻ dàng các môn học chuyên ngành khác như Vật lý bán dẫn, Từ học và Siêu dẫn,

Vật lý linh kiện bán dẫn, Quang điện tử u.u Muốn h()c giáo trinh này sinh viên phải nắm vững các kiên thức cơ bản của Vật lý lượng tử.

Cuốn sách cùng có thểđược dùng làm tài liệu tham khảo tôt cho sinh viên ngành Vật lý các trường Đại học Khoa học Tự nhièn và Đại học SƯ phạm.

Viện sỉ N guyển Văn Hiệu Chủ n h iệ m Khoa Công nghệ

Lời nói đ ầ u

Cuôh sách này trinh bày các kiến thức cơ bản nhất về Vật lý chất rắn Sách dà dư(k' Khoa Càng nghệ, Đọi học Quốc gia Hà Nội chọn làm giáo trinh môn học Vật ly chất rắn trong chương trinh đào tạo chất lương cao ngành Vật ly kỹ thuật Tuy vậy sách cũng có thê được dừng làm tài liệu tham kháo cho sinh viên nhiều ngành khoa học - công nghệ khác như công nghệ diện tử, viễn thông, công nghệ thông tin, khoa học vật liệu

Giáo trinh đư<Ịc biên soạn từ các bài giảng của tác giả cho sinh viên các bậc học đại học và cao hex' tại một sô trường đại học và viện nghiên cửu

tử năm 1996 đến nay Phương châm của tác giả là cô gắng nêu bật bản chát vật lý của hiện tương trong mọi vấn đề trinh bày, không quá đi sáu vào các tinh toán chi tiết Trên tinh thần đỏ trong nhiều vấn đề tác giả đỏ

cô gang tỉm tòi di} đưa ra cách trình bày riêng của minh, với mục đích sao cho bàn chất vật lý của hiện tượng bộc lộ rõ nhất.

Cuôtĩ sách được chia làm 8 chương Chương ỉ trinh bày các kiến thức chung về tinh thế học và các tinh thể chất rắn, trong đó đặc biệt nhấn mạnh đèn tẩm quan trọng của cấu trúc tuần hoán tịnh tiến cáo tinh thẻ như một tính chất cơ sở, củ ảnh hưởng quyết định lên mọi tính chất vật lý khác của tinh thể Chương 2 giới thiệu hiện tương tinh thể làm nhiễu xạ các loại sóng khác nhau khi các sóng này lan truyền trong tinh thể hoặc

đi qua tinh thể Chươìĩg 3 xét dao dộng cua mạng tinh thê theo trình tự bát đầu tử dao động thực của các nguyên tử hoặc ton, sau đó chuyển sang biếu diễn dao động mạng bằng các dao động tứ điều hoà ưà cuôì cùng là biếu dim dao dộng mạng bằng phonon Chương 4 đề cập các tính chất của khí điện tử tự do trong trạng thái cân bằng và không cản bằng xét theo quan niệm cổ điển và lượng tử Chương 5 trinh bày lý thuyết vé sự hình thành các vùng năng lượng của điện tử chuyển động trong tinh thế xét từ hai góc độ: diện tử gần tự do và điện tử liên kết chật và giới thiệu các khái niệm mặt đắng năng và mặt Fermi Chương 6 mô tả các tính chất của diện tử chuyển động trong tinh thè khi ta coi nó là một chuân hạt Chương 7 giới thiệu một số loại tươìig tác giữa các hạt trong tinh thế Chương 8 trinh bày các tính chất từ của chất, rắn bắt đầu từ bản chất vật

lý của tư tính, tiếp theo là từ tính của nguyên tử, sau đó là các hiện tượng

nghịch từ; thuận từ và cuối cùng là tương tác trao đổi - nguyên nhàn cùa hiện tượng từ tính mạnh.

Các đại lượng vật lý trong cuốn sách này được ký hiệu bang các ky hiệu thường dùng trong các sách về vật lý và được trinh bày theo cách hiện nay

đã được chấp nhận chung trên thế giới, cụ thế la các đại lượng uectưdươc

ký hiệu bẳng các chữ cái đứng và đậm, còn các đại lượng uô hường được

ký hiệu bằng các chữ cái nghiêng và binh th ường (khổng đậm).

Để cuốn sách này có thê ra đời, trước hết tác giả xin bày tỏ lời cám ơn chân thành oà sáu sắc nhất đến người thấy của minh là GS v s Nguyễn Văn Hiệu, người đã thảo luận nhiều lần với tác giả, góp ỷ và sửa chữa nhiều điểm trong cuốn sách, kể cả nội dung lẫn cách sắp xếp, trinh bày các vấn đề, hơn nữa GS v s Nguyễn Văn Hiệu đã dành cho tác giã một vinh dự lớn là viết lời giới thiệu cuốn sách và đá tạo mọi điều kiện để xuất bản cuốn sách Tiếp theo tác giả xin chăn thành cảm <tn

GS TSKH Nguyễn Ải Việt, người đã mời tác giả giảng dạy mòn ỈUỈC Vật lý chất rắn từ năm 1996, hướng tác giả vào công tác giảng dạy đẻ'từ đủ nu ti

có giảo trinh này Tác giả củng xin chăn thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Như Đạt, người, đã cho nhiều ý kiến phản biện xác đáng và bô ích cho cuốn sách Tác giả xin cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã cô ƯIÌ, góp nhiêu V

kiến cho cuốn sách và đả giới thiệu bản thảo cuốn sách cho nhiều, sinh viên đọc Tác giả củng xỉn cảm ơn nhiều lớp sinh viên mà tác giả đă giảng dạy, vi chính sự phản hồi của nhiều sinh viên về những chỏ chưa hiếu, những điểm chưa rỗ đã thúc đấy tác giả hoàn thiện giáo trinh, cô gắng năng cao tính sư phạm, tính logic và tín h hệ thôhg của nó.

Tác giả chân thành cảm ơn đồng nghiệp Ngỏ Thị Hòa đã đánh máy bản thảo và vẽ hầu hết các hỉnh vẽ trong cuốn sách.

Tác giả xin chăn thành cảm ơn Khoa Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội ưà Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đă nhiệt tinh giúp dở và tạo mọi điều kiện để xuất bản cuốn sách này.

Do trinh độ của tác giả có hạn nên chắc chắn cuốn sách không tránh khỏi còn có thiếu sót Tác giả rất mong các bạn đổng nghiệp tham

k h ả o CU Ô ÌI s á c h n à y c ủ n g n h ư c á c s in h v iê n h ọ c g iá o t r in h n à y lư ợ n g

thứ và vui lòng góp ỷ cho tác giả Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi về địa chỉ: dtcao(tiinis.ncst.ac.vn

Đào T rầ n Cao

D ào T r ầ n Cao Cơ sở vật lý chất rắn

Mục lục

Lởi giứi ihiộu

Lời nói đầu

C hư ơ ng 1 Các kiến thức cơ bản về tinh th ể 1

1.2 Ký hiệu mặt phẩng và hướng tro n g tinh th ể 1 9

1.2.2 Khoảng cách giữa 2 mặt phẩng song song 22

Đào Trần Cao Cơ sở vật lỷ c h ấ t rắn

2.3.4 Hệ sô' tán xạ cấu trúc trong một sô" trường hợp 56

3.1 Các trường hợp riêng của bài toán

dao dộng mạng

61

3.2 Xét tổng quát về biên độ dao động mạng

và vectơ sóng

73

3.2.1 Dạng tổng quát của hàm biên độ ciao dộng mạng 73

3.3.1 Biểu diễn dao động mạng bằng dao động tử điếu hoà 78

111

Dào T rấ n Cao Cơ sở vật lý chất rắn

4.3.1 Điện từ tự do xét theo quan điểm ltfrlng tử 1144.3.2 Hàm phán bô Ferim-Dirac

1194.4 Nhiệt d u n g của khí điện tử tự do lượng tử 120

4.5.1 Cách đưa ra phương trình Boltzmann

1304.5 2 Phương trình Boltzmann trong gần đúng thòi gian

hồi phục4.5.3 Áp dụng phương trình Boltzmann

để xét một số hiện Lượng động

131

5.1 Nguyên lý hình thành các vùng n ăn g lượng 1405.1.1 Vùng năng lượng - hệ quả của sự phủ hàm sóng 1415.1 2 Vùng nâng lượng - hệ quà của tuần hoàn tịnh tiến 145

d»5 Vùng n ăn g lượng trong gần đúng điện tử

Đào T rầ n Cao _Cơ sở ưật lý ch ấ t rắn

Chương 6 Các tính chất của điện tử chuyến động

6.1 Vận tốc của điện tử khi không có trường ngoài 1976.2 Tác động cùa trường ngoài lên n ăn g lượng

6.5 Gia tốc và khái niệm khối lượng hiệu dụng (m*) 210

6.5.2 Ý nghĩa vật ]ý của khôi lượng hiệu dụng 211

6.6.1 Khai triển Taylor xung quanh điểm năng lượng cực trị 217

Chương 7 Tương tác giữa các hạt trong chất rắn 225

7.1.3 Liên kết điện tử - phonon - diện tử: cặp Cooper 2287.2 Các tương tác va chạm với nguyên tử dao động 230

8.1 Bản chât điện tử của từ tính của các vật liệu 237

Dào Trần Cao Cơ sớ vật lý chất rắn

8.5.1 Thuận từ của khí nguvên tử có moment từ 266

Ỉ)'ỉt) Trẩn Cao Cớ sờ vật lý chát rắn

C h ư ơ n g 1

Các k i ế n t h ứ c cơ b ả n vể tin h t h ể

Đô'i tượng nghiên cứu của Vật lý chất rắn là các châ't rắn Trong

số các loại chất rắn t hì tinh thể là một loại đặc biệt quan trọng Các tinh thê là các hệ nguyên tứ hoặc phân tử dược sắp xếp theo một trật

tự nhất định nào đó (hình 1.1) Khi trật tự này được tuân theo một cách t uvệt dối trong toàn bộ tinh thể thi ta có (đơn) tinh thể hoàn hảo

Sau đây chủ yếu ta sè chỉ xét các tinh thể như vậy mà không nghiên cứu các vặt liệu đa tinh thê (tức là các vật liệu dược tạo nên từ nhiều hạt dơn tinh thê nhỏ gộp lại)

Tính chat đặc trưng của trạng thái tinh thể (cỏ nghla là một mật dây 1« tính chất chung của mọi tinh thể, nhưng mặt khác đây lại là tính chất riêng chi cỏ các tinh thế mới có) ià trong cấu trúc của tinh thể có sự lặp đi lặp lại theo chu kỳ trong không gian, tính châ't nảy thường lỉước gọi là đôi xứng tịnh tiến hoặc tuấn hoàn tịnh tiến

Hỉnh 1.1

Minh họa cấu trúc tinh thể bằng một tinh thể đơn giản nhất

(mạng lập phường đơn): càch sắp xểp cảc nguyên tử trong

tinh thể (hình trái); sơ đổ thường dùng để biểu diển cấu trúc

tinh thể của cách sắp xếp này (hinh phải).

Chương 1 Các kiến thức cơ bcin ưề tinh thê

Đôi xứng tịnh tiên có ảnh hưởng mang tính chất quyết định lên mọi tính chất vật lý khác cùa tinh thể cũng như các hiện tượng xảy ra trong tinh thể, nó làm cho trong tinh thể các tính chất và các hiện tượng này trỏ nên có đặc thù riêng Sau dây, trong quá trình nghiên cửu môn học Vật lý chất rắn, công việc chủ yếu của chúng ta sỏ là đưa

ra các đặc điểm của các tính chà't vật lý của tinh thể và của các hiện tượng xảy ra trong tinh thể, đặc biệt là các đặc điểm của các loại chuyến động khác nhau xảy ra trong tinh thể, dựa trên cấu trúc tuần hoàn tịnh tiến của nó

1.1 C ấ u t r ú c t i n h t h ề

1.1.1 Đ ố i x ứ n g t ị n h t i ế n

Phép tịnh tiến Tịr) là một phép biến đổi mà sau dỏ mỗi một điếm

có tọa độ r, bất kỷ nào đó dểu được tịnh tiến đi một vectơ r đế trỏ thành có tọa dộ là Tj + r, tức là:

T (r): rt Tị + r , dối với mọi Tị

Xét tinh thế lý tưởng, tức là tinh thể hoàn hảo (các nguyên tử sáp xếp hoàn toàn theo đúng trật tự) và vô tận. Một tinh thể như vậv sẽ được gọi

là có đốì xứng tịnh tiến dôì với một phép tịnh tiến Tịr) nào đó nếu sau phép tịnh tiến này nó bất biến, hay nói cụ thế hơn: mỗi nguyên tử của tinh thỏ dịch chuyến dến vị trí của nguyên tử cùng loại và toàn tinh thê (vô tận) chuyến sang một vị trí mới trùng khít với chính nó ở vị trí củ

Dẻ dàng thấy ràng dốì vỏi một tinh thể thi đôì xứng tịnh tiến chì

có thê có mặt khi phép tịnh tiến không phái là tịnh tiến đi một vecttf r bất

ký mà là tịnh tiến đi một vectơ r đáp ứng một sô"điểu kiộn nhất định

Vì tinh thê là gián đoạn nên bằng trực giác đã có thể thấy ràng nếu xét theo một hướng X nào đó của tinh thể thì trên hưỏng này nhất định sẽ phải có một vectơ ngắn nhất ax (gọi là vectơ tịnh tiến cơ sở hoặc vectơcơ sở trên hướng x) mà tinh thê sẽ bât biến khi và chỉ khi t a tịnh tiến nó đi một đoạn bằng một số nguyên lần aa (về cả 2 phía), tức

là tinh thể sẽ bất biến (đối xứng) khi và chỉ khi ta thực hiện phép tịnh tiến T(nãx) với n là các sỏ nguyên (dương hoặc ám, có thể bằng 0)

Vì tọa dộ của một điểm bất kỳ trong không gian 3 chiều dược biểu diễn thông qua 3 tọa độ của nó trên 3 trục tọa độ chọn không cùng nằm trên một mặt phăng, do dó đối với tinh thể 3 chiều có thê nói rằng

Dào Trrin Cao Cơ sở vật lý chất rắn

khi (!â chọn (lược 3 hướng X, V 7 phù hợp với nhau (thích hợp) làm 3 trục tọa (iộ thi tất cà các vectơ tịnh tiến R (tức là các vectổ mà khi thực hiện phép tịnh tiến T{R) thi tinh thể sẽ bất biến) của tinh the cỏ thỏ dược biếu diễn bằng công thức:

t rong dó nx, nyt nz là các sô'nguyên (dương hoặc ảm, cỏ thể bằng 0) và các vcotd av, a v, a7 là các vectơ cơ sở tương ứng trên các hướng X, y, z Các hướng X, y, z củng còn hay được ký hiệu hằng số là 1, 2, 3, do đó công thức (1.1) cùng còn hay được viết dưới dạng:

R = /7ja, +w2a 2 + w3a v (1.1')

Vì sao ta nói rằng 3 hướng tọa độ X , y, z phải được chọn phù hợp với nhau thì khi đó thông qua các vectớ cơ scí a XJ a v, a2 của chúng ta mới biếu diễn được tất cả các vectơ tịnh tiến của tinh thê theo công thức (1.1) mà không phải là có thể chọn 3 hướng bất kỳ không cùng nằm trên một mặt phẳng? • Vấn đề là ở chỗ nếu chọn các hưỏng tuy khòng cùng nằm trên một mặt phang nhưng không phù hợp với nhau thì công thức (1.1) sẽ không bao hàm dược hết tất cả các vectơ tịnh tiến của tinh thể, hay nói cách khác, sẽ có một số vectơ tịnh tiến của tinh thể bị bỏ sót Ví dụ đối với cấu trúc tinh thê 2 chiểu như biêu diễn tron hình 1.2 thì nếu chọn 2 hướng X, y không phù hợp với nhau như trong trường hợp bộ 2 vectơ cơ sở của chúng là a *, a *, ta sẽ có một loạt cácđiểm R bị bỏ sót, mà điển hình là điểm đánh dấu *

Hình 1.2

Minh họa một số cách chọn các cặp vectơ cơ sỏ thích hợp

( a : V :a ‘ , a : : a \ a ■' \ y x v ' V : a 4 a? ) và một cách chọn cặp vectơ cơ sỏX Ỵ ' • r

không thích hợp ( a ■ , a ]) vẽ cho một tinh thể 2 chiếu.

C hương 1 Các kicn thứ c cơ bàn về tin h thẻ

Nhưng mặt khác, cần chú ý rằng không phải chỉ có duy nhất một

cách chọn 3 hướng tọa độ X, y , z để thỏng qua các vectơ cơ sỏ a t, a r a :

của chúng biểu diền được tất cả các vectd tịnh tiến của tinh thê theo công thức (1.1) mà có thê có nhiểu cách chọn khác nhau Diều này cũng được minh họa trên hình 1.2 Nguyên tắc chung đê 3 hướng tọa

dộ X, y, z nào đó có thê dược coi là phù hợp với nhau là hình hộp không gian do 3 vectd cơ sở a„ av, a? của chúng tạo ra là một ô cơ sở (xem thêm mục 1.1.3)

1 1 2 M ạ n g B r a v a i s

Tập hợp tấ t cả các điểm có bán kính vectơ R được xác định theo công thức (1.1) khi ãv a y, a là các vectơ cơ sỏ trên 3 hướng được chọn thích hdp tạo thành một mạng trong không gian gọi là mạng Bravais (củng còn cỏ tên khác là mạng không gian (space lattice)). iMổi một điểm trên đây được gọi là một nút của mạng Bravais

Mạng Bravais định nghía như trên có quan hệ với mạng tinh thê thực như thế nào? - Mạng Bravais chỉ mới biểu diễn được tính chất

tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể, chỉ cần bằng trực giác vật lý đã

có thể thấy rằng mạng Bravais không phải là mạng tinh the thực Mạng tinh thể thực phải dược mô ta bằng cách chỉ ra mạng Bravais cùa

nó đi kẽm vỏi chỉ ra nền tinh thể (nền là từ dịch nghía của từ tiếng Anh

basis hoặc motif), trong đó nển tinh thể là khái niệm đê chi cấu hình nguyên tử (có bao nhiêu nguyên tử, các nguyẽn tử này thuộc nhừng loại nào và vị trí tương đối của chúng đối với nhau ra sao) tương ứng với mỗi một nút mạng Bravais Tức là:

Cấu trúc tinh th ể= Mạng Brauais + Nền tinh thê

Điều này dược minh họa bằng hình 1.3 Đáng chú ý là vê sô nguyên từ của nền tinh thể ta có:

- Các tinh thể đơn giản nhất: Nền tinh thê chỉ gồm một vài nguyên tử;

- Một số tinh thể hữu cơ: Nền tinh thể gồm - 100 nguyên tử;

- Các tinh thể abumin: Nển tinh thể gồm - 10* nguyên tử

Trong vật lý chất rắn mà chúng ta đang nghiên cứu ở dây (cỏ xu

hướng thiên vể v ật lý của các c h ấ t rắn vô C<J) nói chung ngưòi ta chủ

yếu chỉ xét đến các tinh thế đơn giản nhất

Dao Tran Cao Cơ sò vật lý chất rắn

Minh họa cấ u trúc tinh thể = Mạng Bravais + Nền tinh thể c ả 3 loại

tinh thể đều được cấu tạo từ cùng một mạng Bravais (mạng vuòng hai

chiếu), nhưng trên các nền khác nhau.

Với định nghía như trên vê mạng Bravais, có các nhận xét sau đây:(1) Điều quan trọng nhắt là mạng Rravais phải biểu diễn được tính chất tuần hoàn tịnh tiến của mạng tinh thể, do đó các nút mạng Bravais không nhất thiết phải trùng với các nút mạng tinh thê thực (có nguyên tử nằm ò đó)

Chương 1 Các kiến thức cơ bàn về tin h thẻ

(2) Nếu tinh thể (lược càu tạo nên từ nhiểu loại nguyên tử, hoặc nói cách khác* nếu số nguyên tử của nền tinh thể là 2 hoặc lớn hơn, thì có thê coi là mỗi một loại nguyên tử tạo nên một mạng Bravais của riông mình (mạng con) và khi đó mạng tinh thể sẽ gồm nhiều mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào nhau (chú ý là nếu các mạng không giống hệt nhau thì không thể lồng vào nhau được) Một tinh thể chỉ gồm một mạng Bravais có thể gọi là tinh thè đơn gián, trong khi một tinh thề gồm nhiêu mạng Bravais giống hệt nhau lồng vào nhau thưòng được gọi là tinh thẻ phức tạp.

Đáng chú ý là với cách xét coi mỗi một loại nguyên tử tạo nôn một mạng Bravais của riêng mình thì để tiện cho việc xét vấn đề người ta lại thướng coi là các nguyên tử nằm à ngay chính các nút của các mạng Bravais

rấ t cần chú ý là với cách ký

hiệu như ở đây, có một sự •

khác biệt rõ rệt giữa hai

khối niệm r và R (xem thêm •

ô đơn vị cơ sở (hav còn gọi vắn tắt là ô cơ sở), nó cũng còn được gọi lã ô đơn vị tối giản hoặc sơ đảng ( p r im it iv e u n it cell).

Có nhiều cách để kiến tạo ô cơ sở, trong đó cách phố biến nhất là lấy luôn hình hộp không gian do 3 vectơ cơ sở a t, a y) a, của 3 hướng X

y, z thích hợp tạo ra làm ô cơ sở Có 2 điểm đáng chú ý ở đây:

Dào T rấ n Cao Cơ sở vật lý chất rắn

(1) Nếu a„ av, a là các vectd cơ sờ của 3 hướng X, y, z không thích hợp thì hình hộp không gian do chúng tạo ra sẽ chỉ là một ô đơn vị chứ khống phải là ô cơ sở

(2) Trong trường hợp ar, a v, a là các vectơ cơ sở của 3 hướng X, y, z thích hợp thi vì ở đây không phải chỉ có một cách chọn một bộ hướng X y, z thích hợp duy nhất mà có nhiều cách chọn khác nhau, nen nếu dùng hình hộp không gian do a v, a v, a, tạo ra làm ô

CCI sỏ thì với cách làm này ta sẽ có khỏng phải một mà là nhiều lo*ại ô cờ sở với các hình dạng khác nhau, nhưng chúng có một điểm chung là có cùng thể tích như nhau Các thí dụ vê điểu này (lược đưa ra trên hình 1.5

C hương 1 Các kiến thức cơ bản về tinh thê

Một cách dặc biệt để tạo ra ô cơ sỏ là cách làm của Wigner-Seitz: Lấy một nút trẽn mạng Bravais, vè các mặt phang vuông góc di qua điểm giữa của các đoạn thẳng nối nút mạng trên dâý với tất cả các nút mạng lân cặn cùa nó, khi đó hình không gian nằm trong các mặt phang này là ô cơ sỏ (hình 1.6) Có thê nói một cách tông quát là ô cơ

sở Wigner*Seitz là vùng không gian gần điểm dã chọn của mạng Bravais hơn bất cứ một điểm nào khác của mạng Có thể dùng ô Wigner-Seitz để đại diện cho mạng Bravais vì các lý do sau đây:

- Một mặt, ô Wigner-Seitz cùng là một ô cơ sở, tức là nó là thể tích nhỏ nhất mà nếu lặp đi lặp lại sẽ cho ta toàn tinh thể

- Nhưng mặt khác, khác với các ô cơ sở được xây dựng từ các vectơ cơ

sỏ, ô Wigner-Seitz có tính duy nhất, vì với cách xây dựng đã tiêu chuấn hoá, chung cho mọi loại tinh thê như đã trình bày ỏ trên, đôì với mỗi một mạng Bravais ta chỉ xây dựng được một ô Wigner-Seitz

- Hơn nừa* cách xây dựng ô Wigner-Seitz cho thấy nó mang theo mình dầy đủ tất cả các tính chất đôi xứng của mạng Bravais* trong khi các ô cơ sỏ khác nói chung không có tính chất này

Để kết luận, một lần nữa ta nhắc lại rằng các loại ô cơ sở kháo nhau đều có một tính chất chung là có thể tích như nhau và cùng chứa

sô nguyên tử bằng sô nguyên tử của nền tinh thể. Đây là tính chất xuất phát ngay từ dịnh nghía ô cơ sở

1.1.4 Các phép đối xứng của mạng tin h t h ể

Tất cả các tinh thể đểu có một tính chất chung là tính chat tuần hoàn tịnh tiến, ngoài ra, tuỳ vào các trường hợp cụ thể, chúng còn có thế

có (hoặc khỏng có) các tính chất đối xứng khác nữa

Phép đôì xứng của tinh thể được định nghía chung như sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thê chuyển sang một vi trí mới hoàn toàn giông như vị trí cũ (chỉ có sự dối chỗ của các nguyên tử cùng loại), thì phép biến đổi này được gọi là phép đôi xứng của tinh thể Các phép đối xứng chủ yếu của mạng tinh thể là các phép sau đây:

- Tịnh tiến

- Quay quanh một trục

- Phản xạ gương (qua một mặt phang)

Dao Trần Cao Cơ sơ vật lỵ chát rắn

VỈI các tỏ h(íp khác nhau của chúng Chú ý là có những trường hộp mà một phép biên đổi trên dây, nêu xét đơn lò thì không phải là một phép (lõi xứng, nhưng nếu xét một tổ hợp nhất định nào đó của chúng với nhau t hì lại là một phép dôi xứng

Một tập hợp của các hiên dối đỏi xứng đi kcm thêm vói hai định n^hia: định nghía tích cua hai yếu tỏ vã định nghía \ếu tô nghịch đảo,

so lập thành một nhỏm. Các thí dụ vê nhóm trong tinh thể là:

Đáng chú V là tất cả các biên đổi thuộc nhiều nhóm dôi xứng của tinh thể, thí dụ c„, c,ir, Cnh Snf đều giữ cô định một điểm nào đó cùa tinh thể. Các nhóm có tính chất như vậy được gọi là các nhóm điềm.

Tập hợp tất cá các phép đỏi xứng khác nhau của tinh thể lập thành một nhóm gọi là nhóm không gian của tinh thể Có tất cả 230 nhóm không gian, tức là có 230 loại tinh thê có eác tính chất dôi xứng không gian khác nhau

1.1.5 P h â n l o ạ i c á c m ạ n g B r a v a i s

Dựa trẽn các tính chất dôi xứng (bất biến) đôi vói nhóm tịnh tiến, các mạng Bravais được phán ra làm 14 loại (hình 1.7) Ngoài tính đôi xứng đói với nhóm tịnh tiến, mồi mạng Bravais còn có tính đối xứng (lỏi với một nhóm điểm nào dó Các mạng có cùng một nhóm điểm tạo thành một hệ Căn cứ vào tinh đối xứng dối vối các nhóm điểm khác nhau 14 mạng Bravais được chia làm 7 hệ (hình 1.7)

Đáng chú ý là các hẹ tinh thẻ (lược phản loại theo ô đơn vị chứ không phai theo ô cơ sỏ Điều này là dề hiểu vì ô cơ sở chỉ cho thấy đôì xứng tịnh tiến, trong khi hộ tinh thể là phân loại tinh thể theo đôì xứng đối với nhom điểm

Chương ĩ Các kiến th ử c cơ bản v ể tin h th ế

7 hệ tinh thể và 14 mang Bravais

tâm đáy tả n mật

Đào Trấn Cao Cơ sở vật lý chất rắn

Đê dề nhớ sự phân loại các mạng Bravais thành 7 hệ có thể nhớ rằng các hệ tinh thể khác nhau chẳng qua chì là các biến dạng của mạng lập phương (có tính đối xứng cao nhất) thành các mạng có tính đối xứng thấp dần

(3) Hệ trực giao (orthorhomhic) (cùng còn gọi là hệ vuông góc)

So với hệ lập phương: kéo dài hoặc thu ngắn cả hai cạnh b và c, giữ nguyên các góc vuông Có 4 mạng: đơn, tâm khối, tâm đáy và tâm mặt

a *b *c

(4) Hệ hinh thoi (rhombohedral)

So với hộ lập phương: giữ nguyên các cạnh, chỉ thay đổi các góc băng cách kéo hình lập phương theo một đương chéo không gian, được một hình thoi khôi Chỉ có một mạng đơn

a - b = c

ơ, /ỉ ỵ * 90°

(5) Hệ một nghiêng (monoclinic) (cùng còn gọi là hộ đơn tà)

iSo với hệ lập phương: ngoài t.hay đổi các cạnh thêm thay đổi một gócT do

đó đáy trở nên hình bình hành Có 2 mạng: đơn và tâm khôi

a j*b a*9f f ' ;p= ỵ= 90°

(6) Hệ ba nghiêng (triclinic) (cùng còn gọi là hệ tam tà)

So với hệ lập phương: tất cả các cạnh, các góc đều thay đổi Hệ có tính đối xứng kém nhất Chỉ có một mạng đơn

Chương 1 Các kiên thửc cơ bán về tinh thê

Hộ lặp phương bao gồm các mạng Bravais sau đây (xem hình 1.7):

- Lặp phương đơn (simple cubic hoặc primitive cubic, viết tắt là PC);

- Lập phương tâm khôi hay còn gọi là tâm thể (body-centered cubic, viết tắt là BCC);

- Lập phương tâm mặt hay còn gọi là tâm diện (face-centered cubic, viết tắt là FCC)

Đây là một hộ hết sức quan trọng, nhát là các mạng FCC và BC-C

vì rất nhiêu chất rắn kêt tinh dưới dạng các mạng này do đó sau đây

ta sẽ xét hệ này cụ thể hơn một chút

1 Cấu trúc lập phương đơn (PC)

Cách thường làm nhất để chọn các vectơ cơ sở cho mạng PC là chọn luôn các cạnh của hình lập phương:

aj = a i ; a 2 = ợ j ; a 3 = a k

(trong công thức này và các công thức sau đày, i, j, k là các vectd đơn vị trực giao nhau song song với các cạnh của hình lập phương)

Ỏ cơ sở Wigner-Seitz của mạng PC củng là một hình lập phương

2 Cấu trúc lập phương tâm khối (BCC)

Một cách chọn các vectơ cơ sỏ là chọn hai cạnh cùa hình lập phương và một nửa dường chéo không gian của hình lập phương

= a (i + j - k) / 2

a 2 = a ( j + k - i ) / 2

a 3 = a (k + i - j) / 2

Dào Tràn Cao Cơ sở vật lý chát rắn

Hỉnh 1.8

Cảch sáp xép nguyén tử trong mạng BCC hình (a);

Mỏt cách chọn ỏ cơ sờ cho mạng BCC hinh (b);

Ồ cơ sò Wigner-Seitz cùa mạng BCC hinh (c).

0 cơ sỏ Wigner-Seitz của mạng BCC là một hình khối 14 mặt, trong dó 8 mặt là hình lục giác đều và 6 mặt là hình vuông, với các hình lục giác dều to hơn hẳn các hình vuông, và như vậy hình khôi 14 mặt này có thể coi là hình khối 8 mặt bị cắt ở các góc

3 Cảu trúc lập phương tâm mặt (FCC)

Cách thường dùng nhất là chọn các vectơ nôi một đỉnh của hình lập phương với tâm của ba mặt bên xung quanh đinh này làm các vectơ

cơ sở Khi đó một cách chọn ó cơ sò là dùng hình khôi dược tạo nên bởi 3 vectơ ai sò này

Hình 1.9

Cách sắp xếp nguyèn từ trong mạng FCC hlnh a); Một cách

chọn ỏ cơ sỏ cho mạng FCC hình b); ồ cơ sở Wigner-Seitz

của mang FCC htnh c).

Chương 1 Các kiến thứ c cơ bàn về tin h thê

Chú ý là sô" nút lân cận gần nhất là đặc trưng cho mỗi mạng Bravais, có nghía là mỗi một nút của một mạng Bravais đểu có số nút lân cận gần nhất như nhau Sô' này còn được gọi là sô phối vị

< p o

(DO

Hinh 1.10

Cách sắp xếp nguyên tử trong tinh thể CsCI (hình trải),

và sơ đố thuờng dùng để biểu diễn cấu trúc tinh thể CsCí (hình phải).

Như vậy ta thấy rằng các nguyẽn tử thuộc mỗi loại lập thành một mạng PC, hai mạng như vậy lồng vào nhau, mạng nọ xê dịch đi so với

Dào Trẵn Cao Cớ sở vật lý chất rắn

mạng kia một đoạn bằng nửa đường chéo không gian của mạng PC nói

t rôn Từ đáy có thẻ nói rằng:

Loại mạng Bravais đại diện cho tính chất đốì xứng tịnh tiên của tinh thê là mạng PC

- Nến (basic) của tinh thể gồm hai nguyên tử khác loại Nếu chọn hộ tọa độ với 3 vectơ đdn vị là 3 cạnh của một mạng PC (biểu diễn trên hình 1.10) thì 2 nguyên tử này nằm ờ các điểm

có tọa độ 000 và 1/2, 1/2, 1/2

- Mỗi nguyên tử có 8 nguyên tử khác loại bao quanh

Số nút mạng (nguyên lử) trong một ô đơn vị như trên hình vè là 2

Thí dụ về các tinh thể thuộc loại này (cột bên cạnh tên tinh thô là hằng sỗ mạng tính theo đơn vị là Â (10 10 m)):

2 Cấu trúc loại NaCl

Mỏ tả: Cấu trúc này bao gồm các nguyên tử thuộc ‘2 loại khácnhau có số lượng bằng nhau nằm xen kẽ trên các nút của mạng lậpphương dơn (chiếm 1/8 thê tích của toàn bộ hình lập phường biểu diễn trên hình 1.11) Như vậy ta thấy rằng các nguyên tử thuộc cùng một loại lập thành một mạng FCC, có hai mạng FCC lồng vào nhau, mạng I1Ọ xê dịch đi so với mạng kia một đoạn bằng 1/2 cạnh của hình lập phướng PCC nói trên Từ đây có thể nói rằng:

- Loai mạng Bravais đại diện cho tính chất đốỉ xứng tịnh tiến của mạng tinh thể là mạng FCC

- Nền tinh t h i bao gồm hai nguyên tử khác loại (tạo th àn h một phân tử) Nếu chọn hệ tọa dộ với 3 vectơ đơn vị là 3 cạnh của một mạng FCC (biểu điền trên hình 1.11) thì 2 nguyên tử này nằm ở các điểm có tọa độ 000 và 0, 1/2, 0

- Mỗi một nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại bao quanh

C hương 1 Các kiến thức cơ bàn về tin h th ể

- Ô cơ sở hiển nhiên là chứa 1 phân tử (hay là 2 nguyên tử, mổi loại một nguyên tử) Còn nếu xét ô đơn vị như trên hình võ thì

ô đơn vị này chứa 4 phân tử

Hình 1.11

Cách sáp xếp các nguyên tử trong tinh thể NaCI (hinh trái),

và sơ đố thitáng dùng để biểu diền cấu trúc tinh thể NaCI (hình phải)Thí cỉụ vê các tinh thể thuộc loại này (cột bên cạnh tên tinh thổ là hằng sô mạng tính theo đơn vị là A):

3 Câu trúc loại kim cứcỉng hoặc kẽm pha (Zinc Blend)

Mô tả: Trong cấu trúc thuộc loại này mỗi nguyên tử đều nằm ỏ tâm của một hình tứ diện (tetrahedron) (có 4 mặt đều là tam giác) và được bao vây xưng quanh bằng 4 nguyên tử cùng loại (nếu là cấu trúc kim cương) hoặc khác loại (nếu là cấu trúc kẻm pha, trong đó kẽm pha

là tên người ta hay dùng để gọi ZnS) nằm trên các đỉnh của hình tứ diện này (hình 1.12) Như vậy ta thấy rằng ở đây mạng tinh thê gồm hai mạng FCC lồng vào nhau, mạng nọ xê dịch di so với mạng kia một đoạn bằng 1/4 đưòng chéo không gian của hình lập phương FCC nói trên Từ dây có thể nói rằng;

- Loại mạng Bravais đại diện cho tính châ't dổi xứng tịnh tiến của mạng tinh thể là mạng FCC

- Nền tinh thể gồm hai nguyên tử (cùng loại hoặc khác loại), tức

là ô cơ sở chứa 2 nguyên tử Nếu chọn hệ tọa độ với 3 vectơ đơn

vị là 3 cạnh của một mạng FCC (biểu diễn trên hình 1.12) thì 2 nguyên tử này nằm ở các điểm có tọa độ là 000 và 1/4, 1/4, 1/4

Dào Trốn Cao Cơ sà vật lý chất rắn

- Mỗi nguyên tủ có 4 nguyền tử (cùng loại hoặc khác loại) vảy

q u a n h trôn các n ú t mạng lân cận gần nhất.

- Một ô dơn vị như trôn hình vẽ chứa 8 nguyên tử

Đáng chú V là trong câu trúc kim cương tuy tất cả các nguvên tử đêu thuộc cùng một loại nhưng van không có cách nào xêp chúng vào chì một mạng Bravais

Cấu trúc kim cương và kẽm pha

là cấu trúc hết sức quan trọng trong

Vật lý bán dẫn vi một loạt các chất

bán dẫn quan trọng nhất như Si, Ge

và nhiêu chất bán dẫn A2B() dều có

cấu trúc tinh thể thuộc loại này Các

thí dụ vè cấu trúc này là (cột bên cạnh

Cách sẳp xếp các lớp nguyèn tử trong cấu trúc lục giác xếp chãt

HCP (hinh trái) Cách sắp xếp các lớp nguyên tử trong cấu trúc

lập phương xếp chặt CCP (hình giữa) và biểu diển dể thấy rẳng

cách sầp xếp này chính là mạng FCC xếp < :V^t (hinh phải).

I * —

-* Hv : * *

Chương 1 Cảc kiến thức cơ bán về tin h thê

- Xếp chặt lớp quả cầu thứ nhất (lóp A)

- Muốn xếp chặt lớp thứ hai thì mỗi quả cầu của lớp này phải tiếp xúc và rơi vào khe lõm do ba quả cầu của lớp thứ nhất tạo

ra (lớp B)

- Để xếp chặt lớp thứ ba có hai cách:

a) Hoặc là xếp các quả cầu của lớp thứ ba thẳng trên đầu các quá cầu của lớp thứ nhất (lớp A một lần nừa), tức là cách xếp là ABA lúc này ta sẽ được cấu trúc lục giác xếp chặt (HCP)

b) Hoặc là xếp vào chỗ các khe lõm còn thừa ra chưa xếp khi xếp lớp thứ hai (lớp C), tức là cách xếp là ABC, khi đó ta sẽ được cấu trúc lập phương xếp chặt CCP, có thể thấy rằng đây củng chính

là mạng FCC xếp chặt

Ô đơn vị của cấu trúc lục giác là một hình trụ đáy lục giác (xem hình 1.7) Các vectơ cơ sở của cấu trúc lục giác nói chung và HCP nói riêng có thế chọn như sau:

- 2 cạnh của lục giác đáy a, b (a = ò và góc giữa a và b là 120°);

- Đường cao của hình trụ đáy lục giác c, như vậy c vuông góc với mặt phẳng chứa a và b Trong trường hợp HCP, c = 1,633 a.

Có thể chọn ô cơ sở của cấu trúc HCP là hình trụ dáy bình hành được tạo nên bởi a, b, và c (xem phần tô đen của hình hexagonal trong hình 1.7) Chú ý là một sô'câu trúc có tỷ lệ c/a * 1,633 (VkTJ) củng thường đượccoi là thuộc loại HCP Sau đâv là các thí dụ về cấu trúc HCP (cột bên cạnh tên tinh thể là tỷ lộ c!a của chúng):

mà trên thực tế thường được gọi là hiện tượng chuyên pha cảu trúc.

Đao Trản Cao Cơ sở vật lý chất rắn

Can nhận xét thêm là thực ra có vồ sổ cách xếp chặt chứ không

phải chỉ có hai cách là GCP và HCP, bới vì mỗi một lớp tiếp theo đều

cỏ thế nằm trong một của hai vị trí khác nhau

1.2 Ký h i ệ u m ặ t p h ẳ n g v à h ư ớ n g t r o n g t i n h t h ể

1.2.1 Ký h iệ u m ặ t p h ẳn g

Như mọi ngưòi đều biết, qua ba điểm bất kỳ không cùng nằm trên một đường thắng bao giờ ta cũng có thế đựng được một mặt phăng và chì một mà thôi Nói cách khác, một mặt phăng nói chung (kê cả mặt

phẳng trong tinh thể) có thể được xác định bằng cách cho tọa độ của ba

điểm bất kỳ nam trên m ặt phăng này (với điều kiện là ba diểm nói trên

không cùng nằm trên một đường thẳng) Đế xác định mặt phăng, cách làm đơn gián nhất là cho tọa độ của ba điểm mà mặt phẳng đang xét cắt

các trục tọa độ X, y, z đã chọn ữrứớc Thí dụ giả sử tọa độ của ba điểm này

là (1,0,0), (0,1/2,0) và (0,0,2/3) chẳng hạn (hình 1.14) thì khi đó nìặt phẳng

có thể được biểu diễn bằng ba số: 1, 1/2 và 2/3

Tuy vậy trong tinh thể học người ta không hay dùng cách xác định

trên mà thường dùng các chỉ số Miller để xác định các mặt phàng Cách

tìm ra các chỉ số Miller của một mặt phẳng là như sau:

2 2 2

Ký hiệu măt phẳng: (2 4 3)

Hỉnh 1.14

Minh họa cách biểu diễn một mặt phẳng

trong tinh thể bằng các chỉ số Miller.

Chương 1 Các kiến thức cơ bản vế tinh thẻ

- Chọn hệ tọa độ X, y, z Tìm các điểm mà mặt phẩng d a n g xét cắt các trục tọa độ X, y, z Sau đó viết ra tọa độ của các điếm cắt này theo đơn vị hằng sô mạng

- Viết các sô nghịch đảo của các sô" này

- Quy đồng m ẫu sô vối mẫu sô chung nhỏ nhất có thê có

- Các gìấ trị tử sỗ* thu được chính là các chỉ sô" Miller của mặt

phang đang xét, và chúng thường được viết gộp lại trong ngoặc dơn (viết liền, không cách nhau bơi dấu phẩy)

Thí dụ đối với m ặ t phẩng cát cốc trục tọa độ tại các điểm 1,1/2 và 2/3 như trên hình 1.14, ta có:

- Các sô' nghịch đảo của chúng là: 1, 2/1 và 3/2;

- Sau khi quy đồng mẫu sô" ta có: 2/2, 4/2 và 3/2;

- Vậy các chỉ sô"Miller của mặt phảng là 2, 4 và 3;

- Và m ặt phẳng được ký hiệu là: (243)

Với cách làm như trên ta thấy rằng các chí s ố Miller của một mặt

phang tỷ lệ với các giá trị nghịch đảo của các đoạn thắng (tính theo đơn vị hằng sô mạng) mà mặt phang đang xét cắt các trục tọa độ X, y, z

(Chú ý là các chỉ số Miller theo định nghĩa trên đây không phải là giá t rị

nghịch đảo tuyệt dối mà chỉ là các giá trị nghịch đảo tương đối so giữa ba

tọa độ với nhau)

Hình 1.15 Một só cảc mặt phẳng quan trọng trong tinh thể lập phương.

Có thể đ ặt câu hỏi vì sao trong tinh thế học thay vì dùng thẳng các giá trị tọa độ của các điểm cắt đê xác định mặt phăng như cách

thưòng làm ngưòi ta lại chuyển sang dùng các giả trị tỷ lệ với nghịch

đảo của các tọa độ này? Hay nói cách khác dùng các chỉ số Miller úu việt hơn ớ chỗ nào? - Đế thấy được lý do dùng các chỉ sô Miller có thế xét một ví dụ sau:

Đao Trấn Cao Cơ sà vật ly chất rắn

Till dụ xét họ các mặt phan" song song nhau gồm rác mặt phàng răi rác mu- tọa <lộ tại các tlicim 111 222, ÍỈ33 Khi dó nếu kỷ hiệu mật pliãn<ĩ theo tọa độ thì các mại phảng này có các ký hiệu khác nhau

- vẫn xót họ mạt phang song song nhau nhú trên, nhưng’ nếu dùng car

c hì sỏ Miller đổ ký hiệu chúng thi eáe mật phắng trôn ilược kỹ hiệu

ịỉ\nì\ịi hột nhỉìu, chỉ bằng một bộ chi sỏ Miller duy nhất, đó là (1 ì 1)

Như vậy, nói một cách tống quát, một hộ chi sò Miller không phải

chi bì vu diễn một m ặt phang mà bìẽu diễn cả một họ m ật phang (gồm

các mật phăng song song và rách (lếu nhau) Đây chính là điếm ưu việt hơn han cua cách dùng chi sô Miller so với cách dùng tọa (lộ đê biểu điền mạt phảng vì trong Vật lý chất ran cái đáng quan tâm đen không phải là một mặt phang linh thè cự thê nào đó 111 à là cà một họ nựil phrinK song song nhau Lý đu là vì trong tinh thể một mặt phang

(.lơn lô không làm nòn chuyện gi mà phài cá một tập thê các: mặt phẳng song- song nhau mới có thỏ làm liên chuyện (trong tương lai ta

sẽ thấy rõ diếu này, thí (lụ <jua phàn xạ Bragg) c ỏ các nhộn xét sau

dầy vo câ Ác chi sỏ Miller:

(1) Việc đơn vị tính tọa độ (dô lù dỏ tính ra các chỉ sô Miller) là hang sỏ

m ạng nối lên rạng trong tinh thố học người ta không quan tâm đến

các mật phang nói chung ma chi quan tâm đèn các m ặt phăng tinh

thếy tức là cấc mặt phang có chứa các nút mạng (tức là chứa các

nguyên tử hoặc ion) Các mặt phang như vậy cũng còn thường được

gọi là cấc một phang mạng.

(2) Một bộ chi sô Miller Ợìlil) biểu diễn không phải chí riêng một mật

phắng ma là biểu diễn cà một họ mặt phang song song: nhau (nhạn xét này đã đượr trình bày ỏ trên)

Hỉnh 1.16 Hinh chiếu của mỏt sô ho mồt phảng song song trục z

Chương 1 Các kiến thức cơ bản về tinh thè

(3) Nếu mặt phẳng song song với trục nào thì tức là nó cát trục dó tại

vô tận, do đó chỉ sô"Miller tương ứng lúc này là 0 Từ dây nhìn và( các chỉ sô Miller có thê thảy ngay mặt phang đang xét có song song trục tọa độ nào hay không

(4) Nếu mặt phảng đang xét cắt trục tọa độ trong vùng các giá trị tọa ci(

ám thì chỉ sô Miller tương ứng cũng sẽ C.Ó giá trị âm nhưng dấu An

không viết trước chỉ sô mà viết lên trên đầu chỉ số, thí dụ (lỉkl).

(5) Tập hợp các mặt phảng tương đương nhau vê mặt vật lý thườnp được biểu điền bằng các chỉ sô Miller đưa vào trong ngoặc mó(‘ Thí dụ các mật bên cùa một tinh thể lập phương có các ký hiệu (100), (010), (001), ( 100),(010),(0ũT) là tương đương nhau về mặt vật lý và do đó tấ t cả chúng có thể dược ký hiệu chưng là ị 100 ỉ Hình 1.15 và 1.16 đưa ra các thí dụ về ký hiệu các mặt phẳnp khác nhau bằng các chỉ số Miller

1.2.2 K hoảng cách giữa hai m ặ t p h ẳ n g song song

Trong một họ mặt phẵng, khoảng cách giữa hai mặt phắng bất k> nằm cạnh nhau bao giờ cũng là như nhau, do đó khoảng cách này (iôi

với họ m ặt phảng (hkt) dược ký hiệu là d flỉiỊ và trong trường hợp chung ta có:

(2) Thí dụ vê các khoảng cách d h k Ị lớn nhất có thể có trong các mạn£

tinh thể lập phương (có độ dài một cạnh là a):

Riêng đôi với trường hợp tinh thể lập phương:

PC : d mnỵ = cỉl00 = a

Deo Trấn Can Cơ sờ vật lý chất rắn

BCC :rf,.i;s = ưv'2/2

F C C : = í/jj, = íí-v3 /3Như vậy ta thây nêu xét theo thử tự PC > BCC —> FOC thì càng ngày các lớp nguyên tử càng xích lại gần nhau hơn (càng xếp chặt hơn)

1.2.3 Ký hiệu hitôn g

Để ký hiệu hướng trong tinh thể người ta làm như sau: Chọn vectơ

mang ngắn nhất llieo hướng dang xét nó sỏ cỏ dạng R(u,v,w) = u a, +

VÍ Y, -r ỉ r n t r o n g đ ó // t\ a* là n h ữ n g sỏ n g u v ò n vrà a , , a „ a là các vectơ

cơ sờ của hộ tọa (lộ đang dùng u V w chính là các chí số của hướng mang, chúng thường được vièi gộp lại trong: ngoặc vuông ịiỉvw\ Thí dụ

trong rác tinh thê lặp phương

hướng cua trục tọa độ X thường (luộc

chọn là ị 100] (xom hình 1.17) Còn

hướng âm cua trục lọn độ y (lược viết

như là [o 1 ()]

Các hướng tương dương nhau

về mật vật lv trong tinh thè thường

dượt: viết gộp lại trong ngoặc c heo dưới

dạng <UVIV> Đôi với các tinh thê lập

phựơn& hướng ịhklị bao giò cùng

vuông góc vói mật phảng (hkỉ) có cùng

các chì số Tuy vậy diet! này nói chung

không đúng cho cá(' hệ tinh the khác

1.3 M ạ n g đ ả o

1.3.1 Khái n iệ m m ọng đảo

Mạng dáo líì một khái lìiộm hết sức quan trọng của vật lý chất rắn do Gibbs (Josiah Willard Gibbs, 1839-1903) dề xuất Sau đây ta sè chứng minh rằng việc đưa ra khái niệm này là một nhu cầu khách quan, xuất phát từ khai triên Fourier của một hàm tuần hoàn, hay nói

Chương l Các kiến thức cơ hán ué tinh thê

Như ta đà biết, tính chất quan trọng n h ấ t của tinh tin'* là tính tuần hoàn tịnh tiến với chu kỳ là R Tính chất này kéo theo tính chất tuần hoàn, cùng với chu kỳ là R, của một loạt các dại lượng vật lý khác

có liên quan đến sự xáp xếp của các nguyên tử trong tinh thể, thí íỉụ như thế tĩnh diện (trường tính thể), mật (ỉộ diện tử Tính chni luẩn hoàn này có thể ciượe biểu điền hằng công thức:

trong đó / dại diộn cho bất kỳ đại lượng tuần hoàn nào, và can chứ V là

r biêu diễn một điểm bất kỳ trong tinh thê, còn R chỉ biêu diỗĩì các nút mạng Tính chất tuần hoàn này nói lên rằng chỉ cần biết các giá trị

của /Tr) trong một ô cơ sờ là đủ để biết nó trong toàn tinh t he.

Nhưng mặt khác, như mọi ngưòi đêu biết, một hâm h(r) bất kỳ

nào củng đểu có thể dược khai triển theo chuỗi Fourier theo một tập hợp các vectơ k nào đó:

kTất nhiên là ca các hàm tuần hoàn cõng có thô (lược khai trién theo chuồi Fourier như trên Nhưng dối với các hàm tuần hoàn thỉ (tể biểu diễn cốc vectơ của khai triển Fourier mặc dù vẫn có thô dùng ký hiộu chung k nhưng không nên dùng nữa mà nõn dùng một kv hiộu riêng là G tức lò:

G

lý do là vì, như ta sẻ thấy, do ở đây các vectd của khai triến Fourier

phải là sao cho điểu kiện tuần hoàn (1.4) dôi với /ír) dược (láp ứng nrn chúng sõ trỏ nên có các tính chất dặc biệt, khác hắn so với trường hộp bỉnh thường T h ật vậy, diêu kiện tuần hoàn của / ( r) đỏi hòi rằng:

ỉ)a<> Tràn ('no Cơ sơ vật ly chất ran

( il < 2 7 ' s ò n g u y é n ( 1 9 )

l);iy rhính là tlicni kiện ru l>an nhát mà Cíic voctơ G với tư cách la

víu \v c K f k h a i t r i é n F o u r i e r CUM một h à m l u a n h o à n , p h à i đ á p ứ n g

(Vir (hc*in mỏi rua các vechi (i tho:ì tnàn diều kiộn trên đây tạo thành

một nu.mtr (lược XỌ} là mạnịi dao (cua mạn# thuận R).

Nói tóm lại nêu hàm / (r > không phải là một hàm tuần hoàn thì

trong (lo G lã mòi vectrt cun mạng tỉíio (luọr xác dịnh từ mạng thuận

theo cóng thức exp(/GR) = K liav GR = 2 /7 X sô nguyên: còn k chì là

một vvctn' nãìĩỉ trung khàng gian dào ('hú khóng phài là một vectocúa mạng

dào như (ỉ (í|uan hệ gũìa k V.I (i giông hột như (Ịiian hộ giữa r và R)

(ìh i chú: Cỏ hai cách vièt: 'I) Các nhờ vật lý chất rắn hay viết:

oxp(iClr) (2) Car nha tinh the học lại hay viết: exp(2/ãGr) Hai rách

l ii’l nay hoan toàn tươììịi dươĩìỊí nhau! Ta theo cách viết thử nhất đê

ỈICỈ 1 tham khao rác sách Vật ly chất ran.

1.3.2 Các v ectd cơ sở của m ạng đảo

l)ó hiểu rõ híin vổ mạ lì {Ị dáo trước lù‘t ta thừ thiôt lập các vectơ cơ 8(1 cùa nô, giỏng như (lã lâm ílỏi vời mạng thuận

Nêu viết lại cỏng thức GK - 2,7 X số nguyên, với II dưới dạng

khai triổn: R = n ĩa 1 + n2a , + n:ia ( (n, • sốnguyên) thì ta có:

/í ị(Ga,) + /iv(Ga ) + n |(Ga:i) “ 2/r* SC) nguyên

dùi vôi tai cà các giá trị n^uyôn của n Ịf ny n Ị Diều này chỉ có được khi:

Chương l Các kiến thức cơ bản về tình th ề

trong đó h, k, I là các số nguvẽn (dương hoặc âm có thể là 0) Ba

phướng trình dộc lập trên đây là đủ để xác định vectơ G (vi cần xác

dịnh ba thành phần của nó) Cách làm cỏ thể là như sau: dế tìm G

chưa biết ta khai triển nó theo 3 vectơ đả biết không cùng nằm trong

một m ặ t phang, th í d ụ có th ê chọn 3 vectơ n à y là: [aj X a>], |a> > a I

[a, X a,Ị, khi đó:

là thỏ tích ỏ cơ sò của mạng thuận Như vậy, nói tóm lại ta đã tìm ra rằng:

G = /?bj + kbỵ + /bị (hy ky l * các sô nguyên) (1.20)trong dỏ:

T ín h c h â t 1:

hiu ‘ Ira n Cao Cơ sở vật /v chất rắn

Du U niiy ro thỏ t.háv nguy tu (lịnh nghía cùa bj b,, b.v Ngoài ra

( I Hù* chi Iri ran£ nếu tinh ihó rô tỉnh (iiấl dôi xứng' bằng hoặc cao

I (in hệ trực £Ìao (orthorhomhic) thi ta có: h, II a, và ft, = 2/r/tt,

Xét một vectơ b / / ư //'bị+Ả 'bs + / ' b t bất ký của mạng đảo

Tro 11K trường hợp chung giữa c.íxc chỉ sỏ lỉ\ k \ r của vectơ này có thê có thừa số chung Giả sử rằng n \iì thừa số chung lớn nhất của chúng, khi (lô ta sỏ có w n h , k' - nk r - nl với lì, k, I là các số mà giữa chúng

khòng cỏ thừa số*chung nữa, tức là:

bfíkT = ////!>, 4- nkb: + nlb^ =|JbhkỊ

Khi dó cỏ thổ chứng minh rằng voelíỉ mạng đảo bh.kT = nbhkỊ trên đây

trực giao với họ mật phang ịhkl) của mạng thuận, tức là:

Tính chất này cùng nói len ráng các chỉ sổ đặc trưng cho một

ucctơ cùa m ạng đảo (khi giữa chung không có thừa sô chung) trùng với các chỉ sỏ Miller cùa họ m ặt phang của mạng thuận trực giao với uectơ nởv Day cũng là một lý do nữa biện minh cho việc dùng các chi sỏ

MilltM* clế hiếu điển các mật pháng mạng

Chương 1 Các kiến thức cơ bản vé tinh thẻ

T ín h c h ấ t 4: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng thuộc họ (hkỉ) (luộc xác

- Vectơ đơn vị trực giao với họ

mặt phẳng Ợikl), theo như tính

chất thứ ba trên đây, có thể

được viết dưới dạng:

Hình 1.18 Hinh vè minh họa để chửng minh răng bM/1 ihkỉ)

hkl

Khi đó có thể tính d hkt theo công thức:

Đào Trán Cao Cơ sở vật lý chất rắn

■ ' « =1 t n m/ 4 r r - ĩ a i(«-i * » 2 * » j ) ' r r £

1.3.4 Ỏ cơ sở củ a m ạn g đáo

Cách thông thường dể xây dựng ỏ cơ sỏ của mạng đảo là xảy dựng

hình hộp không gian trên cơ sơ các vectơ bj, b 2t b ị o cơ sò Wigner-

Soitz củíì mạng đáo được £Ọ1 là vùng Brillouin (thử nhất) của mạng thuận (lý do của diếu này sẽ được giải thích sau)

Có thô tính ra rằng thể tích V của ô cơ sỏ của mạng Bravais và thể

tích íì của ô cơ sỏ của mạng dáo lién hệ với nhau theo công thức:

(2) Mạng lập phương tâm khối (BCC)

Mạng đảo của mạng BCC là mạng lập phương tâm mặt (FCC) Nêu chọn:

Chương 1 Các kiến thức cơ bãn về tinh th ể

Vùng Brillouin của BCC có hình dạng của ỏ Wigner-Seitz của FCC, tức là một hình khôi 12 mặt đều, mỗi mặt là một hình thoi

(1) M ạng đảo là khung của không gian chuyển động

Cấu trúc của tinh thể cho ta thấy rằng không gian vị trí (hiểu diễn thông qua r) trong tinh thể không phải là một không gian đồng nhất, mà là một không gian có tính chất tu ầ n hoàn tịnh tiến, thể hiện thông qua sự tồn tại của mạng Bravais R Như vậy một cách hình

tượng có thê nói rằng mạng th u ận R là kh u n g của không gian vị trí

trong tinh thể