Phương pháp giải bài tập nhị thức niu tơn

Việc học và rèn luyện nộidung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu đáocho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung toán 11.Tuy

Tên sáng kiến: Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn

Tác giả sáng kiến: Hồ Thị Kim Thúy

Mã sáng kiến: 25.52….

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, trong khoa học và trong công nghệhiện đại; kiến thức Toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn khoa họckhác Với tư cách là cố vấn cho quá trình học tập, người giáo viên cần có sự đầu

tư về thời gian để nghiên cứu bài học, tìm tòi kiến thức để hướng dẫn cho họcsinh tiếp cận với tri thức, xóa bỏ rào cản của học sinh khi học môn Toán

Để hoàn thành tốt môn học này các em cần nắm vững kiến thức cơ bản từthấp đến cao Rèn luyện kỹ năng bằng cách chăm chỉ làm các bài tập trong sách

giáo khoa, sách bài tập và các sách nâng cao Ngoài ra, học tốt môn Toán cần chú

ý đến việc hệ thống hóa kiến thức Khi làm một bài toán cần nhanh chóng tư duy

xem bài đó thuộc dạng nào để tìm ra cách giải

Nhị thức Niu - tơn là một trong những nội dung kiến thức hay và có nhiều

điểm có thể huy động khai thác tư duy của học sinh Việc học và rèn luyện nộidung này cũng hết sức quan trọng và cần thiết để học sinh có sự chuẩn bị chu đáocho kỳ thi THPT quốc gia hiện nay khi đề thi có mở rộng sang nội dung toán 11.Tuy nhiên do hạn chế về thời gian lên lớp và đối tượng học sinh không đồng đềunên sách giáo khoa chỉ đưa ra những tình huống cơ bản của Nhị thức Niu- tơn, do

đó học sinh gặp nhiều hạn chế về kiến thức cũng như khả năng phân tích khi giảicác bài toán này

Đối với đối tượng học sinh khá giỏi thì việc phân dạng bài toán này nhằmnâng cao kiến thức và khả năng vận dụng kiến thức Nhị thức Niu-tơn một cáchhiệu quả trong các kì thi là thật sự cần thiết

Chính vì vậy tôi xin mạnh dạn trình bày " Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu - tơn" làm sáng kiến kinh nghiệm cho mình Với hy vọng đề tài này sẽ là

một tài liệu tham khảo phục vụ tốt cho việc học tập của các em học sinh nói riêng

và cho công tác giảng dạy của đồng nghiệp nói chung

2 Tên sáng kiến:

“Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ

- Số điện thoại: 0363735787 E_mail: kimthuy051188@gmail.com

4 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

Môn toán học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức Niu- tơn

5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

- Đề tài được nghiên cứu và thực nghiệm từ tháng 10/2017 đến tháng 3/2018

6 Mô tả bản chất của sáng kiến

6.1 Thực trạng của vấn đề

Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT được đưa ra với thời lượngchương trình trong 2 tiết học: 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập (chương trình cơbản) Như vậy việc thông thạo kiến thức cũng như tiếp cận các dạng bài tập củahọc sinh sẽ còn hạn chế rất nhiều Học sinh ít có thời gian luyện tập dẫn đến họcsinh thường không làm được bài tập

Nhiều học sinh thụ động, chỉ áp dụng máy móc công thức, chỉ dừng lại ởdạng bài tập khai triển một biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn Trong khi

đó các dạng bài tập lại rất đa dạng và phong phú

Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quảhọc tập chưa cao

- Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình

để giải quyết các bài toán phức tạp

- Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh giỏi

6.3 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là đã hệ thống hóa được kiến thức và khai thác có hiệu quả các bài toán về “Nhị thức Niu tơn”, không áp đặt hoặc dập

khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng tiếp thu để giải quyết các bài toán lạ,các bài toán khó liên quan đến “Nhị thức Niu tơn”.

6.4 Phương pháp thực hiện

- Bước 1: Khảo sát tư liệu

Nghiên cứu hệ thống lý thuyết, các dạng bài tập Tìm hiểu các đề kiểm tracủa học sinh và các nguồn tư liệu khác có liên quan tới quá trình dạy học phần

- Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp khối 11).

- Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận

- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ

0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

- Số hạng tổng quát của khai triển là T k1  C n k a n k b k và là số hạng thứ k +

1 trong khai triển

* Hệ quả :

C n0  C n1   C n n  2 n

C n0  C n1    1k C n k    1n C n n

Phần 2 Hệ thống các dạng bài tập

 Dạng 1 Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển.

 Loại 1 Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển:

a) Bài toán thường gặp :

Cho khai triển có dạng abn Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khaitriển đã cho

b) Các bước thực hiện bài toán:

Xét khai triển : abn với a¡;b ¡;n ¥

- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển

T k1  C n k a nk b k 0  k  n; n  ¥ hoặc biểu diễna

bn

n

  Cn k an k bk

k0

Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển

- Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với giái trị của k Giải phương trình tìm k

- Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của xk trong khai triển

* Một số tính chất của lũy thừa với số mũ thực sử dụng trong loại toán này (để

thu gọn số mũ của biến) : Cho a, b là những số thực dương, m,n là những số thực tùy ý:

5

- Vậy số hạng chứa x10 trong khai triển là : C1.(2)1 x10  10x10

Phân tích bài toán :

- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên Lời giải :

- Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : C126 x 0  C126

xy15

Lời giải :

- Số hạng tổng quát của khai triển : T k1C15kx3 xyC15k.x

452k y k - Số hạng chứa x25y10 trong khai triển ứng với

Phân tích bài toán :

- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên

- Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý

+/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ n

12+/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ n

7

- Số hạng thứ 7 trong khai triển là : C126 x3

Ví dụ 6 : Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

x1  2 x 5  x 2 (1  3x)10

Phân tích bài toán :

Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x12x5x2(1 3x)10

bằng tổng hệ số của x5 trong hai khai triển x12x5 và x2(13x)10

Hệ số của x5 trong khai triển x12x5 bằng hệ số của x4 trong khai triển

- Vậy hệ số số hạng chứa x4 trong khai triển là : C4 ( 2)4 5

- Số hạng tổng quát của khai triển (1 3x)10 : T k1  C10k 110k3x k  C10k 3k xk

- Số hạng chứa x3 trong khai triển ứng với

Kết luận : Hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của

Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển  3  32 9 là số nguyên

Phân tích bài toán :

Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển Để tìm được hạng tử của khai triển là số nguyên thì

số mũ của lũy thừa nguyên Lời giải :

Ví dụ 9: Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của:  1x21x8



Lời giải : Cách 1 :

Vậy ta có hệ số của x8 là:  1 iCkCi thỏa mãn  2 k  i  8

Hệ số trong khai triển của x8 là:  1 0 C84 C 40  12 C83C32 =238

Hạng tử chứa x4 trong khai triển C100 1  2x10 là : C100 C104 16  2x4

Hạng tử chứa x4 trong khai triển C1011  2x9.3x2 là : C101.C92.17.2x2.3x2

Hạng tử chứa x4 trong khai triển C102

Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 23x25

Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau x 3  xy

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển  x  2 y14

 Loại 2 Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa mãn điều kiện cho trước

a) Bài toán thường gặp :

Cho khai triển có dạng abn Cho biết một vài số hạng hoặc các hệ số trongtổng thỏa mãn một đẳng thức nào đó hoặc số mũ n thỏa mãn điều kiện cho trước Tìm hệ số hoặc số hạng chứa xk trong khai triển đã cho

b) Các bước thực hiện bài toán:

- Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n

- Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu

c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển x2 1n bằng 1024.

Tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó

Phân tích bài toán :

- Khai triển x2  1n theo công thức Nhị thức Niu- tơn

- Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

Lời giải :

Phân tích bài toán :

- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5C n n1C n3

- Số hạng tổng quát của khai triển  x2

Phân tích bài toán :

- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5C n n1  C n3

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

- Số hạng chứa x5 trong khai triển ứng với

 60 11k



 8 2

Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33 Tìm hệ số của x2

Phân tích bài toán :

- Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần không chứa biến x)

- Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x2

k 1 C

4  2   C4.2 x



x

14

Phân tích bài toán :

Bài toán trên tuy không yêu cầu tìm hệ số hay số hạng chứa xk trong khai triểnnhưng vẫn dẫn đến việc ta cần tìm n và sau đó tìm x là số mũ liên quan đến các

số hạng trong khai triển

- Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là : C n1;C n2 ; cho tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n

- Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp

7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình tìm x

Hạng tử thứ hai của khai triển là :

Hạng tử thứ ba của khai triển là :

Bài 6 : Tìm hệ số của số hạng chứa x8  1 5n

trong khai triển  3  x 

biết rằng C nn 14  C nn 3  7  n  3 

 Loại 3 Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị thức:

a) Bài toán thường gặp :

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức

b) Các bước thực hiện bài toán :

Phân tích bài toán :

Bài toán yêu cầu tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai

triển nên ta thực hiện theo ba bước đã phân tích nêu trên

17

Phân tích bài toán :

- Thực hiện tìm số mũ n theo yêu cầu bài toán

- Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước

đã phân tích nêu trên

a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức.

Phân tích bài toán :

Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 3

giảm từ 16 về 0, trong các số hạng có xuất hiện C n k0  k  16,k  N Nên ta

Phân tích bài toán :

Nhận thấy cả 2 vế của đẳng thức đều được khai triển theo công thức Nhị thức Niu tơn nhưng các số hạng có đặc điểm khác nhau nên ta cần thực hiện như sau

- Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 4 giảm từ n về 0, trong các số hạng có xuất hiện

1n, thực hiện khai triển và sau đó thay x = 4

- Ta thấy vế phải của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số

mũ của 2 tăng từ 0 đến n, trong các số hạng có xuất hiện

n

x , thực hiện khai triển và sau đó thay x = 2

- Khi đó ta thu được kết quả vế trái và vế phải của đẳng thức cùng bằng một giá trị trung gian là 3n

Vậy đẳng thức được chứng minh

Phân tích bài toán :

- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 19)

Khi đó ta có : 3n243n 5

Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm

Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n sao cho C21nC23n C22n n1

Phân tích bài toán :

- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 20)

- Giải phương trình tìm n

Ta có : 1x2n

C20nC21n xC22n x2C23n x3 C22n n.x 2n (1)Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : 22 n  C 0 C1 C2  C 3  C2n (3)

Vậy n = 6 là số nguyên dương cần tìm

Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :

C2n n  C n02

  C n12

  C n n2

Phân tích bài toán :

Để ý các số hạng của đẳng thức ở vế phải đều được viết dưới dạng C n k2

với

khác nhau sau đó thực hiện đồng nhất thức hệ số

Phân tích bài toán :

Ta thấy các số hạng của đẳng thức ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có đặc điểm :Số mũ của 3 tăng và đều là số chẵn ; trong các số hạng có xuất hiện

23

Nếu ta thực hiện cộng vế phải của biểu thức A và biểu thức B ta thu được một khai triển Nhị thức Niu tơn trong đó số mũ của 2 giảm dần Vậy để tính giá trị của A và B ta không thực hiện tính riêng lẻ mà thực hiện liên kết A và B vào hệ phương trình gồm 2 ẩn A và B, từ đó tính A và B Lời giải :

d) Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Chứng minh rằng C22n  C24n   C22n n2  C21n  C23n   C22n n1  2 Bài 2 : Chứng minh rằng C2 n 3 3C2 n 3 4C2 n  3 2n C2 n  2 2n12 2n

 1

Bài 3 : Tính tổng S  C200  3C201  32 C202   330 C2020

Bài 4 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : C n0C n1 C n n4096

 Dạng 3 Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị thức Niu – tơn

a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

b) Các bước thực hiện:

24

* Đối với bài toán sử dụng đạo hàm :

- Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng đạo hàm :

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh có chứa dạng kC n k hoặc khôngchứa C n0 hoặc không chứa C n n ta thực hiện dùng đạo hàm cấp 1

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng

k k 1C n k hoặc không chứaC n0; C n1 hoặc không chứaC n n; C n n1ta thực hiệndùng đạo hàm cấp 2

- Phương pháp thực hiện :

+ Dùng Nhị thức Niu – tơn khai triển a  bxn

hoặc thích hợp với yêu cầu bài toán

+ Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên và chọn x thay vào

* Đối với bài toán sử dụng tích phân :

- Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng tích phân:

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng 1 C k

Phân tích bài toán :

Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có C0 và trong mỗi số hạng có xuất

Thay x= 2 vào hai vế của (2) ta được :

Cn1  2.2Cn2  3.22 Cn3  n.2n1 Cn n  2.3n1

Vậy S2.3n1

n1

Phân tích bài toán :

Trong vế trái của đẳng thức cần tính tổng ta thấy không có C n0 và trong mỗi sốhạng có xuất hiện dạng kC n k với 0  k  n, k  N nên ta thực hiện sử dụngđạo hàm cấp 1

Chú ý các số hạng ứng với k chẵn là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển

1 xnthay vì chọn khai triển 1 xnnhư ví dụ 27

Phân tích bài toán :

Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có C n0;C n1 và trong mỗi số hạng có xuất hiện dạng kk1C n k với 0kn, kN nên ta thực hiện sử dụng đạohàm cấp 2

Lời giải :

n

Ta có : 1xC n0C n1x C n2x2 C n n.x n (1)

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế của (1) ta được :

n n  1  1  x  n2  2.1Cn2  3.2 xCn3  4.3.x 2Cn4   n.

2.1Cn2  3.2Cn3  4.3Cn4   n.( n  1)Cn n  n( n 1).2n2

Vậy đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 29 : Tìm số nguyên dương n sao cho

C21n1  2.2C22n1  3.22 C23n1   (2n  1).22n C22n n11  2005

Phân tích bài toán :

- Thực hiện tương tự ví dụ 27 với khai triển 1x để rút gọn vế trái của đẳng thức

- Giải phương trình tìm n thỏa mãn điều kiện.2n1

Lời giải :

Ta có : 1  x2n1  C20n1  C21n1 x  C22n1 x2   C22n n 11 x2n1 (1)Lấy đạo hàm hai vế của (1) theo x ta được :

Phân tích bài toán :

Trong mỗi số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có xuất hiện dạng

1 C k với 0kn, kN nên ta thực hiện sử dụng tích phân k  1

n

Lời giải :

n

Ta có : 1xC n0C n1x C n2x2 C n n.x n (1)