M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB.. Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I.. Đường thẳng BC cắt đường tròn O’ tại J.. a
Trang 1MÃ KÍ HIỆU
***********
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 5 câu 1 trang
Bài 1(3điểm)
x Q
x
a/ Rút gọn biểu thức Q
b/ Tính giá trị của biểu thức Q khi x = + 5 3 29 12 5 .
2, Tính giá trị của biểu thức B = x3 - 3x + 2000 víi x = 3 3 2 2 + 3 3 2 2
Bài 2: (2 điểm)
a) Biết a, b là các số thoả mãn a > b > 0 và a.b = 1
Chứng minh : a2 b2 2 2
a b
b) Tìm tất cả các số tự nhiên abc có 3 chữ số sao cho :
2
2
1 2
abc n
cba n
với n là số nguyên lớn hơn 2
Bài 3 : (2 điểm)
a , Giải phương trình :
( x-3)(x+1) + (x-3) = -3
b, Tìm nghiệm của phương trình
x2 25 y y( 6)
Bài 4 (2 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB M là điểm thuộc đoạn thẳng OA, vẽ đường tròn tâm O’ đường kính MB Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MA, vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I Đường thẳng BC cắt đường tròn (O’) tại J
a) Chứng minh: Đường thẳng IJ là tiếp tuyến của đường tròn (O’)
b) Xác định vị trí của M trên đoạn thẳng OA để diện tích tam giác IJO’ lớn nhất
Bài 5:( 1 điểm)
Cho hình thoi ABCD cạnh a, gọi R và r lần lượt là các bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD và ABC Chứng minh : 12 12 42
R r a .
-Hết -
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Trang 2MÃ KÍ HIỆU
***********
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016
Môn: Toán (Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)
Bài 1
(3đ)
1
a)
(1điểm)
ĐKXĐ: x 0; x 3
3 27
3 3
3
3
3
x x
x x
x x x
x x
x
3 3 )
3 3 )(
3 (
3 3
3
2 2
x
x x x
x x
x
3
3 3 )
3 3 )(
3 (
3 3 ) 3
2
3
1
x
0,25
0,25
0,25
0,25 1
b)1điểm
Ta có :
x = + = + = + = + = + 1 Thay x = 3+ 1 vào A ta có:
A
3
1
x = = 1
0,25 0,25 0,25 0,25
2.(1đ)
Áp dụng công thức: (a+b)3=a3+b3+3ab(a+b), Đặt a=3 3 2 2 , b=3 3 2 2
Ta có
x= a+b x3= (a+b)3= a3 + b3 +3ab(a+b)
=> x3 = 6 + 3x x3- 3x = 6 Suy ra B = 2006
0,25 0,25
0,25
0,25
a)(1đ) * Vì a.b = 1 nên
a b
Trang 3Bài 2
(2đ)
* Do a > b > 0 nên áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
Ta có : a b 2 2 a b 2
Vậy a2 b2 2 2
a b
0,5
0,25
b)1đ
Viết được
2 2
Từ (1) và (2) ta có 99 ( a –c ) = 4n – 5
=> 4n – 5 99 (3) Mặt khác :
1 999 101 1000 11 31
(4)
Từ (3) và (4) => 4n – 5 = 99 => n = 26 Vậy số cần tìm abc 675
0,25
0,25
0,25 0,25
Bài 3
(2đ)
a)(1đ)
b)(1đ)
ĐK: 0 (*)
Đặt t = (x-3) , suy ra (x-3)(x+1) = t2
Khi đó phương trình có dạng : t2+4t+3 =0
* Với t= -3, ta được : (x-3) = -3 x = 1- , thoả mãn điều kiện (*)
* Với t=-1, ta được:
(x-3) = -1 x= 1- , thoả mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có hai nghiệm x=1- và x= 1-
Từ 2
25 ( 6)
x y y
Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 Khi đó ta thấy:
( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵn Suy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại
có tích của chúng là số chẵn, vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn
Ta chỉ có cách phân tích -16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:
- 16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8)
Ta có bảng giá trị sau :
Vì thế phương trình đã cho có các nghiệm:
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 (1)
Trang 4( x,y) = 5,0 ; 5, 6 ; 4, 3 0,25
0,25
Bài 4
(2đ)
a)(1đ)
b)(1đ)
a) Xét tứ giác ACMD, ta có : IA = IM (gt), IC = ID (vì AB
CD : gt) ACMD là hình thoi AC // DM, mà AC
CB (do C thuộc đường tròn đường kính AB)
DMCB; MJCB (do J thuộc đường tròn đường kính MB)
D, M, J thẳng hàng
Ta có : IDM IMDˆ ˆ 900(vì DIM ˆ 900)
Mà IJMˆ IDMˆ (do IC = IJ = ID : CJD vuông tại J có JI là trung tuyến)
ˆ ' ˆ ' ˆ
MJO JMO IMD(do O’J = O’M : bán kính đường tròn (O’); JMOˆ 'và IMDˆ đối đỉnh)
IJM MJOˆ ˆ ' 90 0 IJO = 90 0 IJ là tiếp tuyến của (O’),
J là tiếp điểm b) Ta có IA = IM
IO’ =
2
AB
= R (R là bán kính của (O)) O’M = O’B (bán kính (O’)
JIO’ vuông tại I : IJ2 + O’J2 = IO’2 = R2
Mà IJ2 + O’J2 2IJ.O’J = 4SJIO’
Do đó SJIO’
2 4
R
SJIO’ = 2
4
R
khi IJ = O’J và JIO’ vuông cân có cạnh huyền IO’ = R nên :
2O’J2 = O’I2 = R2 O’J = 2
2
R
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
C
J
A I M
D
O
O
’
B
Trang 5Khi đó MB = 2O’M = 2O’J = R 2 0,25
Bài 5
(1đ)
I E
K M
D
O
B
Tứ giác ABCD là hình thoi nên AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD, BD là đường trung trực của AC Do vậy nếu gọi M,I,K là giao điểm của đường trung trực của đoạn thẳng AB với AB,AC,BD thì ta có I, K là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ADB, ABC
Từ đó ta có KB = r và IB = R Lấy một điểm E đối xứng với điểm I qua M Ta có BEAI là hình thoi ( vì có hai đường chéo EI và AB vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi
đường)
Ta có :BAI = EBA mà BAI BAO =900
EBA ABO =900
Xét EBK cã EBK =900 đường cao BM.Theo hệ thức trong tam giác vuông ta có: 12 12 1 2
BE BK BM
Mà BK = r , BE = BI = R; BM =
2
a
Nªn 12 12 42
(§pcm)
0,25
0,25
0,25
0,25
( Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm )