HH10 PHAN NHAT NAM VECTO VA UNG DUNG

 Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối là hướng của vectơ  Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của vectơ Ký hiêu :AB: A-điểm đầu, B-điểm cuối.. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và DC..

Trang 1

www.toanhocdanang.com www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

HÌNH HỌC

10

GV:Phan Nh ật Nam

VECTOR VÀ CÁC ỨNG DỤNG

Trang 2

GV:PHAN NH ẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com

I Cơ sở lý thuyết :

Các định nghĩa :

ĐN 1: Vectơ là một đoạn thẳng có định hướng

 Có một điểm đầu và một điểm cuối

 Hướng từ điểm đầu đến điểm cuối là hướng của vectơ

 Độ dài của đoạn thẳng gọi là độ dài của vectơ

Ký hiêu :AB: A-điểm đầu, B-điểm cuối AB : Độ dài củaAB

a : là vectơ tự do (Chỉ biết được chiều và độ lớn)

ĐN 2: Vectơ không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

AB tia hai

CD AB

`,

CD AB

Trang 3

ĐN 7: Hai vectơ đối nhau :CD và AB đối nhau thì

CD AB

ĐN 8: Góc của hai vectơ : Góc của CD và AB là góc tạo bởi 2 tia Ox

và Oy lần lượt cùng hướng với hai vectơ trên (0o ≤ (AB,CD) ≤ 180o)

Chú ý : Chứng minh 2 vectơ bằng nhau, thông thường ta sử dụng các mệnh đề sau:

II Các ví d ụ minh họa :

Ví d ụ 1: Cho hai điểm A, B Hỏi có bao nhiêu vectơ khác nhau ?

Ví d ụ 2: Cho 2 vectơ AB≠ 0và AC≠ 0 cùng phương nhau Kết luận gì về 3 điểm A, B, C

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm BC và N là trung điểm AC

a Ta có AB=AC đúng hay sai ?

b Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB

? Các vectơ ngược hướng với BC

?

c Chỉ ra tất cả các cặp vectơ bằng nhau ?

Ví d ụ 4: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên

đoạn CD sao cho AM = CN Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?

Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và DC

Trang 4

Ví d ụ 7: Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D

Chứng minh rằng :AE=BD

Ví d ụ 8: Cho nữa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường

kính AD Chỉ ra các vec tơ bằng vớiBC

Ví d ụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của tam giác ABC đó

Gọi A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt

là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’

a Chứng tỏ: AQ=CN và AM =PC

b Chứng tỏ ba đường thẳng AN, BP, CQ đồng quy

Ví d ụ 10: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC

Ví dụ 11: Cho tứ giác ABCD bất kỳ Chứng minh rằng: AB=DC ⇔ AD=BC

Ví d ụ 12: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O :

Ví d ụ 14: Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của

BC và AD Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN

Chứng minh rằng: AM =NC và DK=NI

Ví d ụ 15: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA

Chứng minh rằng: MN=QP và NP=MQ

Ví d ụ 16: Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Gọi B’

là điểm đối xứng của B qua O Gọi I là trung điểm của AH, M là trung điểm

của cạnh BC

a Chứng minh rằng : AH =B C'

b Chứng minh rằng : AI =OM

Trang 5

Ví d ụ 3:Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm BC

và N là trung điểm AC

a Ta có AB=AC đúng hay sai ?

b Chỉ ra các vectơ cùng hướng với AB

? Các vectơ ngược hướng với BC

Ví d ụ 4: Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N

trênđoạn CD sao cho AM = CN Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau ?giải thích ?

Trang 6

Ví d ụ 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

⇒ E là trung điểm của DF (1)

Ví dụ 6: Cho điểm A Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a AM = 4cm⇒AM = 4cm⇒M luôn cách điểm A cố định một khoảng không đổi 4cm ⇒ Tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính R = 4cm

b AM

cùng phương với a ≠ 0 ⇒giá của AM

là đường thẳng d cùng phương

với a ≠ 0 (với d là đường thẳng luôn đi qua A và M)

Do đó tập hợp tất cả các điểm M là đường thẳng d đi qua A và song song với giá của a

Ví d ụ 7:Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D

Trang 7

Ví d ụ 8:Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O và đường

kính AD Chỉ ra các vec tơ bằng vớiBC

Ví d ụ 9: Cho tam giác ABC và M thuộc miền trong của

tam giác ABC đó Gọi A’, B’, C’lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và N, P, Q lần lượt

là điểm đối xứng của M qua A’, B’, C’

Trang 8

Vây AN, BP và CQ đồng quy tại I (với I là trung điểm của mỗi đoạn )

Ví d ụ 13:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O Gọi I là trung điểm của AH,

M là trung điểm của cạnh BC

a Chứng minh rằng : AH =B C'

b Chứng minh rằng : AI =OM

Giải:

a AB=BC (sai vì 2 vec tơ không cùng phương)

b AB= −AC (sai vì 2 vec tơ không cùng phương)

c AB = AC (đùng vì AB = AC ⇔AB=ACvà ∆ABC là tam giác đều)

Ví d ụ 14:Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm

của BC và AD Gọi I là giao điểm AM và BN, K là giao điểm DM và CN

Trang 9

Ta có :AN =BM ⇒ANMB là hình bình hành ⇒ I là trung điểm của AM Tương tự ta cũng có K là trung điểm của DM

Do đó IK là đường trung bình của ∆AMD⇒ IK/ /ND

Ta có : M, N lần lượt là trung điểm BA và BC

nến MN là đường trung bình của ∆ABC

Ví dụ 16:Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O Gọi I là trung điểm của AH, M

là trung điểm của cạnh BC

Trang 10

Từ (1) và (2) ta có: AHCB’ là hình bình hành ⇔ AH =B C'

b Ta có O và M lần lượt là trung điểm của BB’ và BC nên OM là đường trung bình

của tam giác BB’C / / '1

' 2

Trang 11

I Cơ sở lý thuyết :

1 Phép cộng vectơ : Tổng của 2 vectơ a và b được xác định như sau

Dựng AB = a và BC = b khi đó AC là vectơ tổng của a và b

Quy t ắc 3 điểm:

Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC =  AB+BC (hoặcAC = BC+ AB)

D ấu hiệu: điểm đầu của vectơ này trùng với điểm cuối của vectơ kia

(trong ký hi ệu trên thì đều là điểm B)

Ví dụ :Trong một phòng học có một

người kéo một cái bàn theo chiều của a

(t ức là kéo từ điểm A đến điểm B) đồng

thời trên bàn có một HS đi theo chiều của vectơ b

Khi đó xét trong phòng học thì

HS đó đã đi từ A đến C Vì vậy di chuyển

từ A→ C là tổng hợp của 2 di chuyển theo chiều a

và b Khi đó trong toán học người ta ký hiệu:

Từ đó ta có quy tắc cộng sau:

N ếu ABCD là hình bình hành thì  AB+ AD= AC (ho ặc BA +DA=CA )

D ấu hiệu: Hai vectơ có cùng chung điểm đầu hoặc cùng chung điểm cuối

(trong ký hiệu trên thì các vectơ có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) là điểm A)

Trang 12

Ví d ụ : Khi ta tác động đồng thời 2 lực F1

và F2

vào một điểm đặt O nào đó thì ta có

thể biểu diễn 2 lực đó là 2 vectơ có chung gốc là O

(vì khi nói đến lực tác dụng ta

ph ải quan tâm đến độ lớn của

l ực và chiều tác dụng của lực nên lực là một vectơ – hi ểu theo ngôn ngữ toán học) Dựng hình bình hành OABC có OA

,OC

biểu diễn F 1

và F2

Khi đó tổng hợp lực tác dụng lên điểm đặt O là F=F 1 +F2

được biểu diễn bởi OB

2 Phép trừ vectơ :

a – b = a + (–b)

a – b = c ⇔ a = b + c

Quy tắc trừ (được suy ra từ quy tắc 3 điểm và khái niệm vectơ đối)

Cho 3 điểm A, B, C tùy ý ta đều có AC = BC−BA (ho ặcAC =  AB CB− ) Chú ý: Gọi I là trung điểm AB khi đó ta có

II Ví d ụ minh họa:

Ví d ụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a Tính độ dài

của vectơ tổng :  AB+AC và vectơ hiệu  AB−AC

Ví d ụ 2: Cho sau điểm A, B, C, D, E, F tùy ý Chứng minh rằng:

Trang 13

Ví d ụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý chứng minh rằng:

Ví d ụ 6: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của

Ví d ụ 9: Cho tam giác ABC Nếu vectơ tổng  AB+AC có giá là đường phân giác

trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?

Ví d ụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

a  AC−AB b  AB+AD c. AB+BC

Ví d ụ 11: Cho hai lực F 1

và F2

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt

tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng

Ví d ụ 12: Cho hai lực F 1

và F2

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O,Tính cường

độ tổng lực của 2 lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau

a Hai lực đó hợp với nhau một góc 0

120

Trang 14

b Hai lực đó hợp với nhau một góc 0

60

Ví d ụ 13: Cho tam giác ABC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ , BCPQ và CARS Chứng minh RJ  +IQ+PS= 0

Ví d ụ 14: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Chứng minh rằng:

a OA OB OC     + + +OD OE+ +OF = 0

b OA OC  + +OE= 0

c   AB+AO+AF =AD

d MA MC  + +ME=MB  +MD+MF(với M là điểm tùy ý)

Ví dụ 15: Cho 7 điểm A; B; C; D; E; F; G Chứng minh rằng :

a   AB CD+ +EA=CB +ED

b   AD+BE+CF =  AE+BF+CD

c    AB CD+ +EF+GA=CB  +ED GF+

d      AB−AF+CD CB− +EF−ED= 0

Ví d ụ 16: Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Chứng minh rằng: OA OB OC  + + =OM  +ON+OP (với O là điểm tùy ý)

Ví d ụ 17: Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là

điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C

Chứng minh rằng :OA OB OC  + + =OA  ' +OB' +OC'

Ví d ụ 18: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, trực tâm H, AD là

một đường kính:

a Chứng minh rằng: HB +HC=HD

b Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua O Chứng minh rằng : HA  +HB+HC=HH'

Ví d ụ 19: Chứng minh rằngAB=CD khi và chỉ khi trung điểm của

hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

Ví d ụ 20: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Đặt AO=avà BO=b

Tình các vectơ :   AB BC CD DA; ; ;

theo hai vectơ a

và b

Ví d ụ 21: Cho tam giác ABC Xác định (dựng) điểm M sao cho: MA MB  − +MC= 0

Trang 15

Hướng dẩn giải các ví dụ :

Ví d ụ 1:Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a Tính độ dài

của vectơ tổng :  AB+AC và vectơ hiệu  AB−AC

Bình luận :Với những bài toán chứng minh đẳng thức vectơ ta chỉ cần sử dụng

quy t ắc 3 điểm để biến đổi VT ra các vectơ có trong VP và các vectơ dư ra nhất định có tổng bằng 0 

Ví d ụ 3: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Chứng minh rằng: GA GB GC  + + = 0

Giải :

Gọi M là trung điểm của BC

Gọi D là điểm đối xứng của G qua M Khi đó ta có G là trung điểm của AD (tính chất trọng tâm)

Trang 16

Ví d ụ 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và M tùy ý chứng minh rằng:

Trang 17

a M, N lần lượt là các trung điểm củaAD và BC

Bình lu ận: vẫn theo nguyên tắc :gt→ đẳng thức vectơ → các vectơ có trong ycbt

Những vectơ thừa ra ta sẽ biến đổi sau tùy thuật tính chất đề toán (trong bài này

đương nhiên dùng tính chất hình bình hành để lấy các vectơ bằng nhau)

cùng chiều b a + = −b a b  khi a ⊥b

Ví d ụ 8:Cho tam giác đều ABC cạnh a, đường cao AH Tính đồ dài các vectơ :

Ví d ụ 9:Cho tam giác ABC Nếu vectơ tổng  AB+AC có giá là đường phân giác

trong của góc BAC thì tam giác đó có tính chất gì? Giải thích?

Trang 18

⇒ ABDC phải là hình thoi ⇒AB=AC⇔ ∆ABC là tam giác cân tại A

Ví dụ 10:Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính độ dài (môđun) của các vectơ sau

có cường độ lần lượt là 80N và 60N, có điểm đặt

tại O và vuông góc nhau.Tính cường độ lực tổng hợp của chúng

đều có cường độ là 50 N, có điểm đặt là O, Tính cường độ

tổng lực của hai lực đó tác dụng lên điểm đặt O trong các trường hợp sau

a Hai lực đó hợp với nhau một góc 0

Trang 19

Ví dụ 13:Cho tam giác ABC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành

ABIJ , BCPQ và CARS Chứng minh RJ  +IQ+PS= 0

O là trung điểm của AD ⇒OA OD + = 0 (1)

O là trung điểm của BE ⇒OB OE + = 0 (2)

Trang 20

O là trung điểm của CF ⇒OC+OF = 0 (3)

c ABOF là hình bình hành nên ta có: AF+AB=AO

⇔  + + = +

⇔  + + = (đpcm) (vì O là trung điểm của AD nên OD=AO )

d Ta có: OBCD và OEFA là các hình bình hành nên BO=CD và OA=EF

Ví d ụ 16:Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

Chứng minh rằng: OA OB OC  + + =OM  +ON+OP (với O là điểm tùy ý)

Ví d ụ 17:Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng của B qua A, Gọi B’ là

điểm đối xứng của C qua B, Gọi C’ là điểm đối xứng của A qua C

Chứng minh rằng :OA OB OC  + + =OA  ' +OB' +OC'

Gi ải:

Cách 1:

Trang 21

A là trung điểm của BA’⇔BA=AA' ⇔BO OA + = AO OA+ ' (1)

B là trung điểm của CB’⇔CB=BB' ⇔CO OB + =BO OB + ' (2)

C là trung điểm của AC’⇔AC=CC' ⇔ AO OC+ =CO OC + ' (3)

Cộng (1), (2) và (3) vế theo vế ta có:

OA OB OC  + + =OA  ' +OB' +OC' (đpcm) Cách 2:

Ví d ụ 19:Chứng minh rằng AB=CD khi và chỉ khi trung điểm của

hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

Trang 22

Gọi I, J lần lượt là trùng điểm của AD và BC 0

⇔ = ⇔ ≡ ⇔ AD và BC có trung điểm trùng nhau (đpcm)

Ví d ụ 20:Cho hình bình hành ABCD có tâm O Đặt AO=avà BO=b

Tình các vectơ :   AB BC CD DA; ; ;

theo hai vectơ a

và b

Vậy điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM

I C ở sở lý thuyết:

1 Phép nhân vectơ với một số thực :

ĐN : Tích của a và số thực k là một vectơ k.ađược xác định :

 Nếu a ≠ 0 , k ≠ 0thì vectơ k.a có môđun là: k a

- cùng hướng với a nếu k > 0

- ngược hướng với a nếu k < 0

Trang 23

avàb cùng phương ⇔ ! ∃ k ∈ R : b = k.a

2 Bi ểu diễn một vectơ qua hai vectơ không cùng phương :

Cho a ,b khác 0 và không cùng phương ta luôn có

 ∀ c → ∃ ! m , n ∈ R : c = m a + n b

 m a + n b = 0 ⇔ m = n = 0

Chú ý :

 A, B, C thẳng hàng ⇔ AB , AC cùng phương ⇔ AB=k AC ( ∃ !k∈R)

 O là trung điểm AB ⇔OA+OB= 0 ⇔ MA+MB= 2 MO (M : tùy ý)

Dễ thấy khi O là trung điểm của AB thì ta có Hai vectơ OA OB  ,

đối nhau nên OA= −OB⇔OA OB + = 0

 G là trọng tâm của ∆ABC ⇔GA+GB+GC = 0 ⇔ MA+MB+MC= 3MG

(với M là điểm tùy ý)

 OA=OB⇔ A≡B (Với O tùy ý, thất vậyOA OB = ⇔OA OB  − = ⇔ 0 BA = ⇔ ≡ 0 A B)

II Ví d ụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD

Chứng minh rằng  AD+BC= 2EF

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại

tiếp O, I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là điểm tùy ý

Trang 24

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AM

a Chứng minh rằng: 2IA  +IB+IC= 0

b Với điểm O bất kỳ Chứng minh: 2OA OB OC  + + = 4OI

c Gọi J là điểm được xác định: AB= 3AJ Chưng minh rằng C, I, J thẳng hang.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI

Ví dụ 6:Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên

AC sao cho NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN

d Tìm tập hợp tất cả các điểm E sao cho EA +EB+ 4EC = EM +EN− 2EA

Ví dụ 7: Tam giác ABC có trọng tâm G Gọi M, N là các điểm xác định bởi

b Xác định điểm M sao cho:  AB+AC =AM

c Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn 2MA = MB +MC

Ví dụ 9:Cho hình chữ nhật ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD lần lượt lấy các

điểm M, N, P sao cho AB= 3AM, BC= 3BN, CD= 3CP và AI =k AN

Trang 25

Ví dụ 10:Cho tam giác ABC , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Chứng minh rằng BC IA.+AC IB.+AB IC.= 0

Ví dụ 11:Cho tam giác ABC , gọi G là trong tâm của tam giác ABC

Biết điểm G thỏa mãn điều kiện BC GA.+AC GB.+AB GC.= 0

Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại

tiếp O, I là tâm đường tròn đi qua trung điểm của các cạnh, M là điểm tùy ý

Trang 26

Ở phép chứng minh đẳng thức (4) ta thấy đẳng thức cần có sự xuất hiện của

A,B,C,H và O ( trong đó điểm O xuất hiện ở mọi vectơ nên đây chính là điểm cần xen vào trong quy t ắc 3 điểm).Do đó ta cần một giả thiết nói lên mối quan hệ

của 5 điểm trên, để có thể biến chúng về một đẳng thức vectơ Trong phép giải trên ta đã sử dụng một điểm trung gian A’ để có thể liên kết được A,B,C,H và O

(c ụ thể là: O là trung điểm AA’ và BHCA’ là hình bình hành – đây là hai tính

ch ất quyết định của bài toán)

Kinh nghi ệm:

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	0,95 MB