Vậy phương trình có một nghiệm là x=3... Với điều kiện x>2 thì phương trình tương đương x=m.. Nếu m>2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=m.. Vậy m≤0 : phương trình vô nghiệm.. Vậy hai
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm tập xác định của phương trình:
4 1
x
+
= + −
1
x
x
− + =
4
Lời giải:
x
− ≥ ≥
− ≥ ≥
Vậy D=[3;+ ∞)
b) Vì x + ≥ > ∀4 4 0, xnên điều kiện xác định:
1− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠ ±x 0 x 1 x 1 Vậy D=R\{ }−1; 1
c) Điều kiện:
2
3
1 0
1
x
x
− + ≥ ≤
⇔
+ ≠
≠ −
; \ 1 3
= −∞ −
d) Vì: x2− <5 x2 = x ⇒ x− ≠ ±5 x
Do đó x± x2− ≠5 0 nên điều kiện xác định chỉ là:
x − ≥ ⇔x ≥ ⇒ x ≥ ⇔ ≤ −x hoặc x≥ 5 Vậy D= −∞ −( ; 5∪ 5;+ ∞)
Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của các phương trình:
a) 1 x2 2x 2
4
x
x
−
2
x
x x
+ = −
2 2
2
1
x
x
+ = − + +
Lời giải:
x + x+ = +x + > ∀x nên điều kiện là mọi x≠0
b) Điều kiện:
− ≠ ≠ ≠ ±
− > >
⇔
− ≥ ≤
không tồn tại x
d) Vì x2+ ≥ > ∀1 1 0, x nên phương trình xác định với mọi x
Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm:
3
x
x − = + −
Lời giải:
x
− ≥ ≤
Thế x=0vào phương trình: 0=0 (đúng) Vậy tập nghiệm S={ }0
b) 3x− x− =2 2− +x 6
01 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2ĐK: 2 0 2 2
x
− ≥ ≥
− ≥ ≤
Thế x=2vào phương trình: 6 – 0 = 0 + 6 (đúng)
Vậy tập nghiệm: S={ }2
3
x
x − = + −
− ≥ ⇔ ≥
− ≥ ≤
Vậy không tồn tại giá trị x nào nên S= ∅
Ví dụ 4: [ĐVH] Giải các phương trình:
a) x+ x− = +1 2 x−1 b) x+ x− =1 0,5+ x−1
x
2
x
Lời giải:
a) Với ĐK: x≥1 thì phương trình tương đương với x=2(chọn) Vậy S={ }2
b) Với ĐK: x≥1 thì phương trình tương đương với x=0,5(loại) Vậy S= ∅
c) Với ĐK: x>5 thì phương trình tương đương với 3 6
2
x
x
= ⇔ = (chọn) Vậy S={ }6
d) Với ĐK: x>5 thì phương trình tương đương với 2 4
2
x
x
= ⇔ = (loại) Vậy S= ∅
Ví dụ 5: [ĐVH] Giải các phương trình:
x x
− + =
x x
− + =
− −
Lời giải:
a) Với điều kiện x≠1, ta có: 1 2 1 2 1 2 1 1
2
x x
x
=
− + − = − ⇔ − + = − ⇔ = Chọn nghiệm x=2
x
− + = ⇔ − + = − ⇔ =
c) Với điều kiện x≥3, ta có x=3 là một nghiệm Nếu x>3 thì x− >3 0 Do đó:
2
x
x
=
− + − = ⇔ − + = ⇔ = (loại)
Vậy phương trình có một nghiệm là x=3
d) Với điều kiện x≥ −1 Ta có x= −1 là một nghiệm nên x> −1 thì x+ >1 0nên phương trình tương đương:
2
x
x
= −
− + = ⇔
=
Chọn nghiệm x=2.
Vậy phương trình có 2 nghiệm x= −2;x=2
Ví dụ 6: [ĐVH] Giải các phương trình
a)
2
x x
− − = −
2
x x
+ + + =
− −
Lời giải:
a) Điều kiện 2
3
x
− − = − ⇔ − − = − ⇔ − = ⇔ − =
−
0
4
3
x
x
=
⇔
=
Chọn nghiệm 4
3
x=
Trang 3b) Điều kiện x≠1, ta có 4 2 3 ( )( ) 2 1
2
x x
x
=
+
+ + = ⇔ + − + = + − = ⇔
= −
Chọn nghiệm x= −2
Ví dụ 7: [ĐVH] Giải phương trình bằng cách bình phương 2 vế :
a) x− =3 9−2x b) x− = −1 x 3
Lời giải:
a) x− =3 9−2x⇒x− = −3 9 2x⇒x=4 Thử lại thấy x=4 nghiệm đúng Vậy phương trình có nghiệm x=4
5
x
x
=
− = − ⇒ − = − = − + = ⇒
=
Thử lại, x=2không thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x=5
4
x
x
=
− = + ⇒ − = + ⇒ − = ⇒
=
Thử lại, cả hai đều nghiệm đúng Vậy phương trình
có hai nghiệm x=0;x=4
x− = x+ ⇒ x− = x− ⇒ x = ⇒x= ± Thử lại, chỉ có x=1 nghiệm đúng Vậy phương trình có nghiệm x=1
Ví dụ 8: [ĐVH] Giải các phương trình
a) x+ =1 2 x b) x+ = −1 x 2
Lời giải:
a) D=R, ta có: ( )2 2 2
1
1
x
x
= −
+ = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔
=
Vậy 1; 1
3
= −
b) D=R, ta có:
2
4
x
≥
− ≥
+ = − ⇔ ⇔ ⇔
+ = −
Vậy S= ∅
c) Với điều kiện x≥2 thì phương trình
+ ≥
+ = − ⇔ ⇔
+ + = + = −
Vì ∆ <0 nên phương trình vô nghiệm
d) Với điều kiện x≥ −2 thì phương trình
2
2
x
≥
− ≥
− = + ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔ = ±
Chọn nghiệm 5 17
2
x= +
Ví dụ 9: [ĐVH] Giải các phương trình
a)
=
c)
−
=
− = −
Lời giải:
a) Với điều kiện: x>1 thì phương trình tương đương: x = ⇔ ≥x x 0 Kết hợp thì x>1 Vậy S =(1;+ ∞)
b) Với điều kiện: x>1 thì phương trình tương đương: x− = − ⇔ ≥2 x 2 x 2 (chọn) Vậy S=(2;+ ∞)
c) Với điều kiện: x<2 thì phương trình tương đương: x = − ⇔ ≤x x 0(chọn) Vậy S= −∞( ; 0]
d) Với điều kiện: x>2 thì phương trình tương đương: x− = − ⇔ ≤1 1 x x 1 Kết hợp thì không tồn tại x Vậy S= ∅
Trang 4Ví dụ 10: [ĐVH] Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm
2
x
x x
+ = −
− + b) x− − = +4 x 3 x−4
Lời giải:
− + > <
⇔
Không tồn tại x Vậy D= ∅ nên S= ∅
b) Điều kiện: x≥4thì phương trình tương đương: − = ⇔ − −x 3 x 3 (loại) nên phương trình vô nghiệm
Ví dụ 11: [ĐVH] Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a)
2 2
x
−
x
+ +
Lời giải:
a)
2 2
x
−
− Với điều kiện x>2 thì phương trình tương đương x=m
Biện luận: Nếu m≤2 thì phương trình vô nghiệm
Nếu m>2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x=m
b)
1
x
+ + Điều kiện:
0
+ > > −
⇔
+ > > −
Xét m=1 thì phương trình có nghiệm và mọi x> −1/
Xét m≠1 thì điều kiện: ,
1
x
> −
> −
phương trình tương đương: x x+ =1 x x+ ⇔m x( x+ −1 x+m)= ⇔ =0 x 0 (Vì x+ ≠1 x+m)
Do đó, với m≤0 thì phương trình vô nghiệm
Với m>0, m≠1 thì phương trình có nghiệm x=0
Vậy m≤0 : phương trình vô nghiệm
m>0 và m≠1:x=0;m=1: mọi x> −1 đều là nghiệm
Ví dụ 12: [ĐVH] Xét quan hệ tương đương của các cặp phương trình:
1
x
x
+ =
− và x x( − + =1) 2 6(x−1) b) x2 5 4 5
− = − và x2 =4
c) 2x+ =1 3 và 2x2+ =x 3x d) x− =1 2 và ( )2
Lời giải:
a) Với điều kiện x≠1 thì phương trình đầu tương đương ( ) ( ) 2
x x− + = x− ⇔x − x+ =
Vì x=1 không phải là nghiệm của phương trình
2
x − x+ = nên hai phương trình tương đương
b) Với điều kiện x≠0 thì phương trình đầu tương đương với: x2 = ⇔ = ±4 x 2 (chọn)
Vậy hai phương trình tương đương
c) Không tương đương, vì x=0 là nghiệm phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của phương trình thứ nhất
d) Không tương đương, vì x= −1 là nghiệm của phương trình thứ hai nhưng không là nghiệm của phương trình thứ nhất
Ví dụ 13: [ĐVH] Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương:
a) x+ =2 0 và 3 1 0
3
mx m
+
b) x2− =9 0 và 2 ( ) ( )
2x + m−5 x−3 m− =1 0
Lời giải:
a) Phương trình x+ =2 0 có nghiệm x= −2
Phương trình 3 1 0
3
mx m
+ có nghiệm x= −2 khi 2− m+3m− = ⇔ =1 0 m 1. Thử lại với m=1 thì phương trình
2 0
3
x
+ và có nghiệm duy nhất x= −2. Vậy hai phương trình tương đương khi m=1
Trang 5b) Phương trình x2 − =9 0 có hia nghiệm x=3 và x= −3
Ta có: x= ±3 là nghiệm của phương trình: 2 ( ) ( )
2x + m−5 x−3 m+ =1 0 khi:
5 5
m m
+ − − + = =
=
− − − + =
Với m=5 phương trình sau trở thành:
2x − = ⇔18 0 x − = ⇔ = ±9 0 x 3 Vậy với m=5 hai phương trình đã cho tương đương
BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
x
+ = +
x
+ = +
x
− = −
x
+ = +
Bài 2: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
b) x+ = +1 x 1 d) x− = −1 1 x.
Bài 3: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
x
2
Bài 4: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
x+ x − − =x
x
x
2
1
x
− = + + +
Bài 5: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
a) x− = +2 x 1. b) x+ = −1 x 2
Bài 6: [ĐVH] Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:
− = −
− = −