SỞ GIÁO DỤC –ĐÀO TẠO KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI TỈNH BÀ RỊA –VŨNG TÀU LỚP 12 DỰ THI QUỐC GIA, NĂM HỌC 2010-2011
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ
MÔN THI:TOÁN
( Hướng dẫn chấm có : 5 trang )
1 Giải phương trình:2( x− x−1)(1+ x2− =1) x x (1)
(1) 2(1 1 )( 1 ) 1
⇔ − − + − =
Đặt 1
cos 2 ,0
4
x
π
= ≤ < .
* (1) trở thành: 2(1− 2 sin )(cos 2t t+sin 2 ) 1t = (2)
* (2)⇔2(1 2sin )(cos 2− 2t t+sin 2 ) 1t = + 2 sint
* sin(4 ) sin
4
*
;
3
20 cos
10
π
2 Giải bất phương trình: log (3 x2+2x+ < +1) 1 log2 x (1)
* (1) ⇔2log (3 x+ < +1) 1 log2x Điều kiện x > 0
Đặt t=log2x⇒ =x 2t
(1) trở thành:
1
t t
+ < ⇔ ÷ + ÷ <
.
* ( ) 2 1 , '( ) 2 ln 2 1 ln 1
f t = + > ∀t
* f(1) = f(3) = 3 , lập luận được f’ có nghiệm duy nhất t0 và t0 (1;3)∈
* Lập BBT, suy ra ( )f t < 3⇔1< <t 3
* Nghiệm: 2 < x < 8.
0,5 0,5 0,5
0,5
0,5 0,5 0,5
0,5
Trang 2Câu 2 4điểm
Áp dụng định lí ptoleme vào tứ giác ABMC ta có : MA.BC = MB.AC + MC.AB
.AF AE
Áp dụng bất đt B.C.S ta có :
2
2
2
EF
BC
+
Dấu “=” xảy ra MB MC MBC AFE MBC EFA· ·
1
1
1
1
,
Xét hs : f(x) = 3 15
64
x+ ⇒ f tăng trên R
Chứng minh : *
u + >u ∀ ∈n N bằng QN Thật vậy : Với n = 1 : 2 1 1 13
15 64
(4u 1)(16u 4u 15) 0
⇔ + − − < ( HN đúng vì 1
1 1 61
;
∈ − ÷÷
)
1
1
M
A B
C
Trang 3Với n = k + 1, (1)⇔u k+2>u k+1 ⇔ f u( k+1) > f u( )k ( HN đúng vì f tăng)
Chứng minh : 1 1; 61 , *(2)
n
∈ − ÷÷ ∀ ∈
Thật vậy : Với n = 1 : 1
1 1 61
;
∈ − ÷÷
Giả sử ( 2) đúng vớ n = k 1≥ , nghĩa là : 1 1; 61
k
∈ − ÷÷
Với n = k + 1 3
1
15
( ) 64
1 1; 61
k
∈ − ÷÷
, f tăng nên: f 14 f u( )k f 1+861
− < < ÷
Suy ra : 1 1 1 61
4 u k+ +8
− < <
(1), (2) suy ra Đpcm
1
b) Đặt L = limn u n
→∞
Từ Câu a) suy ra 1 1 61
+
− < ≤
1
1 4
64 15 0
1 61 8
L
L
+
= −
−
= + ⇒ = + ⇔ − − = ⇔ =
+
=
So với đk suy ra: lim 1 61
8
n
→∞
+
=
1
Giải pt hàm: (f x f y+ ( ))+ f y( + f x( )) 2( ( ) 3= f y + x y+ );∀x y, ≥0
* Đặt f(0) = a 0≥ , cho x= = ⇒y 0 f a( )=a Cho x=0,y a= ⇒ f(2 ) 3a = a; cho x a y= , = ⇒0 f a(2 ) 7= a
Vậy 7a = 3a nên a = 0 Suy ra f(0) = 0.
* Cho y = 0 ta có ( ( )) f f x + f x( ) 6= x Xét dãy số (xn) : x1 = x, x2 = f(x), xn+1 = f(xn) , n = 1,2,3,…
Ta có : xn+2 + xn+1 – 6xn = 0 Pt đặc trưng : t2 + t – 6 = 0 có 2 nghiệm -3, 2
Vậy ( 3)n 2n n
x = −α +β , với n =1 và n = 2 ta có :
0,5
1
Trang 4*
( ) 2
10
x
α
α β
−
=
− + =
2 1
0
0, 1, 2, ; 1, 2,
0
n n
n
x
≥
≥ ∀ = ⇒ ∀ =
≥
;
n
−
⇒ − ÷ ≤ ≤ ÷ ∀
* Cho n dần đến vô cực, ta có α =0 Vậy f(x) = 2x
* Thử lại, ta thấy f(x) = 2x thoả đề bài.
1
0,5
a/ Số phải tìm có dạng : aabb a b N, ∈ ,1≤a b, ≤9
Ta có aabb =k2 (1) ,k N∈ ,31< <k 100 (1) ⇔1100a+11b = k2 ⇔11(100a b+ =) k2(2)
Từ (2) ⇒k2 chia hết 11, 11 nguyên tố suy ra k chia hết 11
Mà 31 < k < 100 nên suy ra k {33; 44;55;66;77;88;99}∈
Thay vào ( 1) ta được k = 88 Vậy số cần tìm : 7744
b/ Xét tất cả các cách nối 2010 cặp điểm( đỏ với xanh ) bằng 2010 đoạn thẳng
các cách nối như vậy luôn tồn tại và do đó chỉ có 2010 cặp điểm cho nên
số tất cả cách nối như vậy là hữu hạn
Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắt nhất.Ta chứng minh rằng đây chính là cách nối phải tìm
Thật vậy: giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt nhau tại điểm O(Giả sử A và B tô màu đỏ , còn X và Y tô màu xanh).Khi đó , nếu ta Thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng : AY và BX , các đoạn đã nối khác giữ nguyện thì ta có cách nối này có tính chất :
1
1
1
1
Trang 5Suyra : AY+BX<AX+BY
Như vậy : việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bởi hai đoạn thẳng AY và
BX , ta nhận đựợc một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn Vố lý , vì trái với giả thiết là đã chọn cách nối có tổng độ dài là bé nhất .Điều vô lý đó chứng tỏ : cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất là không có điểm chung
1
LƯU Ý:
- Tổ chấm thống nhất điểm thành phần đến 0,25đ
- Điểm bài thi giữ nguyên không làm tròn
-HẾT -A
Y
O
X B