Cac bai toan dem va lap so BG

Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa.. Tính xác suất để lấy được: a Một tấm bìa không chứa chữ số 5... Từ 5 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và số tự nhiê

Trang 1

Ví dụ 1 [ĐVH]:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 3?

Lời giải:

Gọi số cần lập là a a a a a1 2 3 4 5

Đề số lập được chia hết cho 3 thì tổng a1+a2 + +a3 a4 +a5 phải chia hết cho 3 Ta có 2 bộ số thỏa mãn

A = ⇒ có 4.4!=96 số thỏa mãn

A = ⇒ có 5! 120= số thỏa mãn

Vậy có 96 120+ =216 số thỏa mãn

Ví dụ 2 [ĐVH]:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 5?

Lời giải:

Gọi số cần lập là a a a a1 2 3 4

TH1: a4 =0

Chọn a a a1 2 3 có A53 =60 cách chọn

⇒ Có 60 số thỏa mãn

TH2: a4 =5

Chọn a có 4 cách chọn 1

Chọn a a2 3 có A42 =12 cách chọn

⇒ Có 12.4 48= số thỏa mãn

Vậy có 60+48=108 số thỏa mãn

Ví dụ 3 [ĐVH]:Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:

a) Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một?

b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một?

c) Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một?

Lời giải:

a) Gọi số cần lập là a a a a1 2 3 4

TH1: a4 =0

Chọn a a a1 2 3 có A53 =60

TH2: a4∈{ }2; 4

Chọn a có 2 cách 4

Chọn a a2 3 có A42 =12

⇒ Có 2.4.12 96= số thỏa mãn

b) Gọi số cần lập là a a a1 2 3

TH1: a3 =0

Chọn a a1 2 có A52 =20 cách

CÁC BÀI TOÁN ĐẾM VÀ LẬP SỐ – P1

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Trang 2

TH2: a3 =5

Vậy có 20 16+ =36 số thỏa mãn

c) Gọi số cần lập là a a a1 2 3

Đề lập được số chia hết cho 9 thì tổng a1+a2 +a3 phải chia hết cho 9 Ta có 3 bộ số thỏa mãn

{ }

A = ⇒ Có 2.2=4 số thỏa mãn

{ }

A = ⇒ Có 3!=6 số thỏa mãn

{ }

A = ⇒ Có 3!=6 số thỏa mãn

Vậy có 4+ + =6 6 16 số thỏa mãn

Ví dụ 4 [ĐVH]:

a) Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?

b) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?

Lời giải:

a) Gọi số cần lập là a a a1 2 3

Chọn a a2 3 có A92 =72 cách chọn

Vậy có 9.72=648 số thỏa mãn

b) Gọi số cần lập là a a a a a1 2 3 4 5

TH1: a5 =0

Chọn a a a a1 2 3 4 có A74 =840 cách chọn

TH2: a5 =5

Chọn a a a2 3 4 có A63 =120 cách chọn

Ví dụ 5 [ĐVH]:Từ chín chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, người ta lập ra các số tự nhiên gồm 9 chữ số khác nhau mà chữ số hàng trăm là 4

a) Có bao nhiêu số tự nhiên như thế?

b) Trong những số đó có bao nhiêu số chia hết cho 25?

Lời giải:

a) Cố định chữ số hàng trăm là 4 ⇒ Có 8.7.6.5.4.3.2.1=40320 cách chọn

b) Quy tắc để 1 số chia hết cho 25 là hai số cuối cùng của nó là 25, và 75

⇒ Có 6.5.4.3.4 1440= (do cố định chữ số hàng tram là 4)

Ví dụ 5 [ĐVH]:Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng

a) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

b) Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

Lời giải:

a) Số có 6 chữ số khác nhau có dạng abcdef (a≠0)

Trang 3

Vì số lẻ được tạo thành, do đó f có 3 cách chọn; a có 4 cách (trừ 0 và f); b có 4 cách (trừ a và f), c có 3 cách, d có 2 cách, e có 1 cách

Vậy có 3.4.4.3.2.1=288cách

b) Vì số tạo thành là số chẵn nên f ∈{0, 2, 4}

+) Khi f = 0 thì a,b,c,d,e là 1 hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó 5! số thỏa mãn

+) Khi f = 2; 4 thì f có 2 cách ⇒2.4.4.3.2.1 192= cách

120 192 312

⇒ + = cách chọn

Ví dụ 7 [ĐVH]:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 9

Lời giải:

Từ 6 chữ số trên, ta lập được 5.5.4 100= số có 3 chữ số khác nhau

Từ 6 chữ số trên, ta thấy 3 bộ số sau là có tổng chia hết cho 9: {0, 4,5 ; 2, 3, 4 ; 1,3, 5} { } { }

⇒ Có : 2.2 2.3 2.3 16+ + = số chia hết cho 9

Vậy có 84 số có 3 chữ số khác nhau không chia hết cho 9 được lập từ 6 chữ số đã cho

Ví dụ 8 [ĐVH]:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi

số gồm 7 chữ số khác nhau?

Lời giải:

+) Khi chữ số hàng đơn vị là 0 thì sẽ có 8.7.6.5.4.3=20160 số

+) Khi các chữ số hàng đơn vị là 2,4,6,8 thì sẽ có 4.7.7.6.5.4.3=70560 số

⇒ Có tất cả 20160 70560 90720+ =

Ví dụ 9 [ĐVH]:Xét dãy số gồm 7 chữ số khác nhau (mỗi chữ số được chọn từ 0, 1, , 8, 9) thỏa mãn chữ số đầu tiên bằng 7, chữ số cuối không chia hết cho 5 Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Gọi số thoã mãn yêu cầu bài toán là a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 ( a i∈{0;1; 8;9 ;} i=1; 7 )

Chọn a1=7 có 1 cách chọn

Sau khi chọn a ta chọn 1 a7 ≠0;a7 ≠5 ta có: 7 cách chọn

Sau khi chọn a a ta chọn 5 số còn lại và sắp xếp có : 1; 7 A 85

Vậy theo quy tắc nhân có tổng cộng 7A85 =47040 số thoã mãn

Ví dụ 10 [ĐVH]:Có 100 tấm bia hình vuông được đánh số từ 1 đến 100 Ta lấy ngẫu nhiên một tấm bìa Tính xác suất để lấy được:

a) Một tấm bìa không chứa chữ số 5

b) Một tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5

Lời giải:

a) Có tổng cộng 20 tâm bìa chứa chữ số 5 bao gồm: 5;15; 25;35; 45;50;51;52 59; 65; 75;85;95

Do đó có tổng cộng 80 tấm bìa không chứa chữ số 5

Ta có: 80 0,8

100

p= = là giá trị cần tìm

b) Xét tấm bìa không có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5

Từ 1 đến 9 có 4 số bao gồm các số : 1 ;3 ;7 ;9 không chia hết cho 2 và 5 hoặc cả 2 và 5

Từ 10 đến 99 có : 9.4=36 số không chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5

Do vậy có tổng cộng 4 36+ =40 tấm bìa không có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5

Vậy có 60 tấm bìa có số chia hết cho 2 hoặc 5 hoặc cả 2 và 5 Vậy 60 0, 6

100

Ví dụ 11 [ĐVH]:Từ các chữ số 1, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau và số tự nhiên đó chia hết cho 3

Trang 4

Lời giải:

Gọi số có 3 chữ số chia hết cho 3 là abc (a b c; ; ∈{1;3; 4;5; 6} ) khi đó tổng các chữ số là (a b c+ + )⋮3

Các bộ 3 số thoã mãn điều kiện đó là: {1;3;5 ; 1;5; 6 ; 3; 4;5 ; 4;5; 6} { } { } { }

Khi đó có tổng cộng 4.3! 24= số thoã mãn

Ví dụ 12 [ĐVH]:Cho tập A={1; 2;3; 4;5; 6; 7 } Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập từ

A sao cho số tự nhiên đó chia hết cho 6, và có mặt chữ số 1

Lời giải:

Gọi số có 4 chữ số cần tìm là: abcd (a b c d; ; ; ∈A)vì số tự nhiên đó chia hết cho 6 nên nó chia hết cho cả

2 và 3

Chọn d ta có: 3 cách chọn d∈{2; 4; 6}

Chọn d =2 thì tổng a b c+ + phải chia 3 dư 1: Khi đó bộ (a b c; ; ) gồm {1;3; 6 ; 1; 4;5 ; 1;5; 7} { } { }

Chọn d =4 thì tổng a b c+ + phải chia 3 dư 2 Khi đó bộ (a b c; ; ) gồm {1; 2;5 ; 1;3; 7 ; 1; 4; 6} { } { }

Chọn d =6 thì tổng a b c+ + phải chia hết cho 3 Khi đó bộ (a b c; ; ) gồm {1; 2;3 ; 1;3;5 ; 1; 4; 7} { } { }

Vậy có tổng cộng: 3.3.3! 54= số thoã mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 13 [ĐVH]:Cho 5 chữ số 0; 1; 2; 3; 6 Từ 5 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và số tự nhiên đó không chia hết cho 6

Lời giải:

Ký hiệu T ={0; 1; 2; 3; 6 }

• Đi tìm số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập T

Số cần tìm có dạng abc trong đó a≠0; a, b, c ∈T đôi một khác nhau

+) Chọn a có 4 cách (trừ số 0)

+) Chọn b có 4 cách (trừ a)

+) Chọn c có 3 cách (trừ a, b)

Theo quy tắc nhân thì có 4.4.3=48 số thỏa mãn

• Đi tìm các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập T và chia hết cho 6

Số cần tìm có dạng xyz trong đó x≠0; x, y, z T∈ đôi một khác nhau và xyz ⋮ 6

Ta có 6 2 2

3 3

xyz

x y z xyz

⇔ ⇔

+ +





⋮

+) Bộ ba số 0; 1; 2 lập được 3 số thỏa mãn là 120; 102; 210

+) Bộ ba số 0; 3; 6 lập được 3 số thỏa mãn là 306; 360; 630

+) Bộ ba số 1; 2; 3 lập được 2 số thỏa mãn là 312; 132

+) Bộ ba số 1; 2; 6 lập được 4 số thỏa mãn là 126; 216; 162; 612

Theo quy tắc cộng thì có 3 3 2 4 12+ + + = số thỏa mãn

Tóm lại có 48 12− =36 số thỏa mãn bài toán

Đ/s: 36 số

Ví dụ 14 [ĐVH]:Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và không chia hết cho 10

Trang 5

Lời giải:

Số cần tìm có dạng abcde trong đó a≠0; a, b, c, d, e đôi một khác nhau và abcde không chia hết cho 10 +) Chọn e có 9 cách (trừ số 0)

+) Chọn a có 8 cách (trừ số 0 và e)

+) Chọn b có 8 cách (trừ e, a)

+) Chọn c có 7 cách (trừ e, a, b)

+) Chọn d có 6 cách (trừ e, a, b, c)

Theo quy tắc nhân thì có 9.8.8.7.6=24192 số thỏa mãn

Đ/s: 24192 số

Ví dụ 15 [ĐVH]:Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, sao cho:

a) Chia hết cho 5 và bắt đầu bằng 5

b) Chia hết cho 2 và bắt đầu bằng 4

Lời giải:

a) Số cần tìm có dạng 5abcd trong đó a, b, c, d đôi một khác nhau và 5abcd ⋮ 5

+) Chọn d có 1 cách (số 0)

+) Chọn a có 8 cách (trừ 5 và d)

+) Chọn b có 7 cách (trừ 5, d, a)

+) Chọn c có 6 cách (trừ 5, d, a, b)

Theo quy tắc nhân thì có 1.8.7.6=336 số thỏa mãn

Đ/s: 336 số

b) Số cần tìm có dạng 4abcd trong đó a, b, c, d đôi một khác nhau và 4abcd ⋮ 2

+) Chọn d ó 4 cách (số 0; 2; 6; 8)

+) Chọn a có 8 cách (trừ 4 và d)

+) Chọn b có 7 cách (trừ 4, d, a)

+) Chọn c có 6 cách (trừ 4, d, a, b)

Theo quy tắc nhân thì có 4.8.7.6 1344= số thỏa mãn

Đ/s: 1344 số

Ví dụ 16 [ĐVH]:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau

và chia hết cho 8?

Lời giải:

Số cần tìm có dạng abcde trong đó a, b, c, d, e đôi một khác nhau và abcde ⋮ 8

Nhận xét: abcde 8⋮ ⇔cde 8.⋮ Ta tìm được cde∈{152; 312; 352; 432; 512 }

Như vậy có 5 số cde để thỏa mãn bài toán

Với mỗi số cde như trên ta tìm được 2 số thỏa mãn bài toán Do đó có 2.5 10= số thỏa mãn

Đ/s: 10 số

Trang 6

Ví dụ 17 [ĐVH]:Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 15?

Lời giải:

Gọi số cần lập là abc

15 = 3 5 và 3 và 5 nguyên tố cùng nhau nên 15 3

5

abc abc

abc



⇔



⋮

Từ abc⋮5⇒c=5 ta có số ab5

Từ ab5 3⋮ ⇒a+ +b 5 3⋮ suy ra tồn tại những cặp ( )a b, là { ( ) ( ) ( ) ( )1;3 ; 1;6 ; 3;4 ; 4;6 }và a,b bình đẳng nên

có tổng cộng 4.2 = 8 số tìm được

Ví dụ 18 [ĐVH]:Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 20?

Lời giải:

Gọi số cần lập có dạng abcde và tập hợp {0,1, 2,3, 4, 5,6, 7,8, 9}

5

4

abcde





⋮

⋮ nên ta có số abcd0

Để chia hết cho 4 thì 2 chữ số cuối cùng phải chia hết cho 4 nên d={2;4;6;8}⇒d có 4 cách chọn

Còn 3 chữ số còn lại là chỉnh hợp chập 3 của 8 số còn lại trong dãy số nên số cách sắp xếp là A83

Vậy tổng số các số lập được là 4.A83=1344

Ví dụ 19 [ĐVH]:Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau không chia hết cho 18

Lời giải:

Gọi số có 3 chữ số đôi một khác nhau là abc

a)Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được là 5 5 4 = 100 (số)

b) Sau đó ta tìm số các số đôi một khác nhau chia hết cho 18 là

2

9

abc



⇔



⋮

⋮ 2

abc⋮ ⇒ccó thể là 0,2 hoặc 4

Nếu c = 0 thì ab0 9⋮ ⇔ +a b⋮9⇒( )a b, chỉ có thể là ( )4, 5 nên có 2 số lập được là 450 và 540

Nếu c = 2 thì ab2 9⋮ ⇔ + +a b 2 9⋮ ⇒( )a b; chỉ có thể là ( )3, 4 nên có 2 số lập được là 342 và 342

Nếu c = 4 thì ab4 9⋮ ⇔ + +a b 4 9⋮ ⇒( )a b; chỉ có thể là ( )3;2 hoặc ( )5;0 nên có 3 số lập được là 324,234

và 504

Như vậy có tổng cộng 7 số chia hết cho 18, khi đó số các số không chia hết cho 18 là 100 – 7 = 93 số

Định dạng
Số trang	6
Dung lượng	110,66 KB