Lập trình tính toán bài toán đàn dẻo 2D

Các quan hệ ứng suất-biến dạng đối với các vật liệu biến cứng .... Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng bên trong vật liệu lý tưởng hóa đã hình thành cơ sở toán học cho lý t

KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN CƠ KỸ THUẬT -o0o -

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG MỘT

VÀI BÀI TOÁN ĐÀN DẺO

GVHD: PGS.TS.Trương Tích Thiện SVTH: Nguyễn Thái Hiền

MSSV: K0404205 Trần Thái Dương MSSV: K0400500

Tp HCM, Tháng 01/2009

i

LỜI CẢM ƠN

Bài luận văn này là thành quả của những năm học tập và nghiên cứu tại khoa Khoa Học Ứng Dụng thuộc trường Đại Học Bách Khoa TP HCM của chúng tôi Để có thể đi đến những kết luận sau đây, chúng tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ và quan tâm của rất nhiều người

Trước hết chúng tôi xin gửi những lời cảm ơn đến gia đình mình Những người đã không bao giờ đánh mất niềm tin vào chúng tôi Chính là điều tốt đẹp nhất đã giúp chúng tôi có thể đi đến cuối đề tài này

Xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Khoa Học Ứng Dụng và bộ môn Cơ Kỹ Thuật đã tạo điều kiện để chúng tôi thực hiện đề tài luận văn tốt nghiệp của mình Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy Trương Tích Thiện đã tận tình hướng dẫn chúng tôi thực hiện luận văn của mình tốt nhất và đúng theo yêu cầu đề ra

Cuối cùng chúng tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè đã cổ vũ, động viên và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thái Hiền Trần Thái Dương

MỤC LỤC Đề mục

Trang bìa i

Nhiệm vụ luận văn Phiếu chấm bảo vệ LVTN Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh sách hình vẽ v

Danh sách bảng biểu vii

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU 1

1.1 Tầm quan trọng của chảy dẻo trong kết cấu 1

1.2 Ứng xử dẻo trong kéo nén đơn trục 2

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG DẺO 8

2.1 Không gian ứng suất HaighWestergaard 8

2.2 Tiêu chuẩn chảy độc lập với ứng suất thủy tĩnh 10

2.3 Các quan hệ ứng suất-biến dạng đối với các vật liệu biến cứng 13

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐÀN DẺO 2D 21

(tiêu chuẩn chảy von-Mises, biến cứng đẳng hướng) 21

3.1.Tóm tắt lý thuyết 21

3.2 Các mô hình biến cứng đẳng hướng 23

3.2.Dạng ma trận 24

3.3.Các công thức cho bài toán 2D: 26

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN PHI TUYẾN VẬT LIỆU 29

4.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn 29

4.2 Sự hình thành phần tử hữu hạn 30

4.3 Các giải thuật số để giải các phương trình phi tuyến 33

4.4 Mô hình bài toán 2D 40

CHƯƠNG 5 CÁC KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 49

5.1 Một số bài toán 49

CHƯƠNG 6 KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA ĐỀ TÀI 73 6.1 Kết luận 73 6.2 Hướng phát triển của đề tài: 73

DANH SÁCH HÌNH VẼ

STT

1 Hình 1.1 Biểu đồ ứng suất-biến dạng của thép ít cacbon và của một số kim loại khác 2

2 Hình 1.2 Các đường cong ứng suất - biến dạng lý tưởng hóa 3

6 Hình 2.2 Hình chiếu của trạng thái ứng điểm lên mặt phẳng lệch 9

7 Hình 2.3 Các tiêu chuẩn chảy phù hợp trong kéo trên mặt phẳng tọa độ 

8 Hình 2.4 Các tiêu chuẩn chảy trên mặt phẳng lệch  12

9 Hình 2.5 Các bề mặt chảy trong không gian ứng suất chính 12

19 Hình 4.8 Sự gia tăng ứng suất của điểm Gauss đã biến dạng dẻo 46

20 Hình 4.9 Sự gia tăng ứng suất của điểm Gauss từ miền đàn hồi sang miền biến dạng dẻo 47

21 Hình 4.10 Quá trình đưa trạng thái ứng suất của điểm Gauss về mặt phẳng chảy 48

22 Hình 5.1 Lời giải giải tích cho bài toán ống trụ thành dày 50

(1) (2) (3) (4) (5)

25 Hình 5.4 Đồ thị so sánh ứng suất(p=8 dN/mm2 : c/a = 0) 51

26 Hình 5.5 (p=14 dN/mm2 : c/a = 1,25) Đồ thị so sánh ứng suất 52

27 Hình 5.6 (p=18 dN/mm2 : c/a = 1,75) Đồ thị so sánh ứng suất 53

28 Hình 5.7 Kết quả tính biến dạng dẻo εp bằng chương

29 Hình 5.8 Kết quả tính biến dạng dẻo εp bằng ANSYS 55

30 Hình 5.9 Đồ thị so sánh biến dạng dẻo ứng với 1 số giá trị R 56

31 Hình 5.10 Mô hình bài toán kéo tấm kim loại có lỗ tròn ở giữa 57

34 Hình 5.13 Các nút phần tử được chọn để so sánh kết quả giữa hai chương trình 60

35 Hình 5.14 Đồ thị so sánh biến dạng dẻo tương đương tại một vài điểm nút 61

36 Hình 5.15 Đồ thị so sánh ứng suất von-Mises tại một số điểm nút 62

39 Hình 5.18 Các nút phần tử được chọn để so sánh kết quả giữahai chương trình 65

40 Hình 5.19 Đồ thị so sánh biến dạng dẻo tương tương tại một số điểm nút 65

41 Hình 5.20 Đồ thị so sánh ứng suất von-Mises tại một số điểm nút 66

DANH SÁCH BẢNG BIỂU

2 Bảng 5.1 Bảng sai số % giá trị ứng suất do chương trình tính vớiø lý thuyết(p=8 dN/mm2 : c/a = 0) 52

3 Bảng 5.2 Bảng sai số % ứng suất do chương trình tính với lý thuyết (p=14 dN/mm2 : c/a = 1,25) 53

4 Bảng 5.3 Bảng sai số % giá trị ứng suất do chương trình tính với lý thuyết (p=18 dN/mm2 : c/a = 1,75) 54

5 Bảng 5.4 Bảng sai số % biến dạng dẻo giữa chương trình và ANSYS 56

6 Bảng 5.5 Bảng sai số % biến dạng dẻo giữa chương trình và ANSYS 61

7 Bảng 5.6 Bảng sai số % ứng suất giữa chương trình và ANSYS 62

8 Bảng 5.7 Bảng sai số % biến dạng dẻo giữa chương trình và ANSYS 66

9 Bảng 5.8 Bảng sai số % ứng suất giữa chương trình và ANSYS 67

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU

1.1 Tầm quan trọng của chảy dẻo trong kết cấu

Việc thiết kế kỹ thuật các kết cấu lớn là một quá trình gồm hai giai đoạn Trường nội lực (ứng suất) bên trong vật liệu cấu trúc phải được xác định ở giai đoạn đầu tiên, và giai đoạn thứ hai là xác định đáp ứng của vật liệu dưới tác động của trường ứng suất đó Giai đoạn một bao gồm một sự phân tích ứng suất tác động bên trong các phân tố kết cấu; giai đoạn hai liên quan đến các đặc tính của vật liệu kết cấu Mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng bên trong vật liệu lý tưởng hóa đã hình thành cơ sở toán học cho lý thuyết đàn hồi, lý thuyết này được áp dụng rộng rãi cho những vật liệu thật để đánh giá ứng suất hoặc biến dạng trong các phân tố kết cấu dưới điều kiện tải làm việc cụ thể Các ứng suất này bị giới hạn nhỏ hơn ứng suất cho phép, ứng suất này được tính như một phần của ứng suất chảy vật liệu Do đó, một thiết kế an toàn sẽ thu được không phải do tính toán và sự hiểu biết các đặc tính vật liệu một cách đầy đủ mà dựa vào kinh nghiệm thu thập được trong vài thập kỷ hay vài thế kỷ

Một kết cấu thực là một vật thể rất phức tạp với một trạng thái ứng suất cực kỳ phức tạp Nhiều ứng suất thứ cấp xuất hiện do chế tạo, lắp ráp và định vị chi tiết Sự tổ hợp của ứng suất ban đầu chưa biết, các ứng suất thứ cấp, và sự tập trung ứng suất và sự phân bố lại do những sự bất liên tục của kết cấu đã không tuân theo một tính toán lý tưởng hóa dựa trên lý thuyết đàn hồi Lý thuyết dẻo mô tả một sự mở rộng cần thiết của lý thuyết đàn hồi và đề cập đến việc tính toán ứng suất và biến dạng trong kết cấu biến dạng dẻo cũng như những phạm vi biến dạng đàn hồi Nó cung cấp các đánh giá thực tế hơn về các khả năng mang tải của kết cấu và cung cấp một sự hiểu biết tốt hơn về ứng xử của kết cấu đối với các lực được gây ra trong vật liệu Do đó, một sự hiểu biết về vai trò của các biến số cơ học thích hợp,

chúng định nghĩa sự phản ứng của vật liệu với lực tác động, là cần thiết cho kỹ sư trong việc thiết kế cấu trúc

1.2 Ứng xử dẻo trong kéo nén đơn trục

Hình 1.1a biểu diễn đường cong điển hình cho mẫu kéo đơn trục bằng thép ít

carbon Miền đàn hồi đầu tiên nói chung xuất hiện như một đường thẳng OA với điểm A xác định giới hạn tỷ lệ Khi biến dạng tăng thêm, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng không còn tuyến tính nữa nhưng vật liệu vẫn còn đàn hồi, và theo sự cất tải, mẫu trở lại chiều dài gốc của nó Điểm ứng suất cực đại B, ở đó tải có thể được tác động mà không gây ra bất cứ sự biến dạng thường xuyên nào, xác định

giới hạn đàn hồi Điểm B cũng được gọi là điểm chảy, vì nó biểu thị sự bắt đầu biến dạng dẻo hay biến dạng không hồi phục Thông thường có sự khác nhau nhỏ giữa giới hạn tỉ lệ, A, và giới hạn đàn hồi, B Thép ít carbon cho điểm chảy trên B và điểm chảy dưới C Qua khỏi điểm C, biến dạng gia tăng trong điều kiện tải hằng Ứng xử vật liệu trong miền phẳng CD được xem như chảy dẻo

và của một số kim loại khác

1.3 Mô hình ứng xử đơn trục trong chảy dẻo

1.3.1 Các đường cong ứng suấtbiến dạng kéo đơn trục đơn giản hóa

1.3.1.1 Mô hình đàndẻo lý tưởng (hình 1.2a)

Mối quan hệ ứng suất-biến dạng kéo đơn trục có thể được biểu diễn dưới dạng

0 0

forE

forE

ở đây E là Young’s modulus, và  là số vô hướng, xác định và lớn hơn không

1.3.1.2 Mô hình đàn hồibiến cứng tuyến tính (hình 1.2b)

Quan hệ ứng suất-biến dạng đối với trường hợp gia tải kéo đơn điệu có dạng

0 0

1

t

forE

a 1

1.3.1.3 Mô hình đàn hồibiến cứng hàm mũ (hình 1.2c)

Quan hệ ứng suất-biến dạng được khảo sát dưới dạng lũy thừa như sau

0 0 n

1.3.1.4 Mô hình RambergOsgood (hình 1.2d)

Đường cong ứng suất-biến dạng phi tuyến trong hình 1.4d có dạng biểu thức như sau

na

1.3.2 Modulus tiếp tuyến Et và modulus dẻo Ep

Chúng ta giả định rằng một gia tăng biến dạng, d, bao gồm hai phần: gia tăng biến dạng đàn hồi, de, và gia tăng biến dạng dẻo, dp (xem hình 1.3a),

Lượng gia tăng ứng suất d được liên hệ với lượng gia tăng biến dạng d theo dạng

t

với Et là modulus tiếp tuyến, nó thay đổi trong quá trình biến dạng dẻo

Nếu chúng ta tách biến dạng dẻo p khỏi biến dạng tổng , thì lượng gia tăng biến dạng dẻo dp và lượng gia tăng ứng suất d được liên hệ với nhau theo biểu thức

p p

với E là modulus đàn hồi hay Young’s modulus

Thay d trong đẳng thức (1.6), dp trong đẳng thức (1.7), và de trong đẳng thức (1.8) vào đẳng thức (1.5) ta sẽ có mối quan hệ giữa ba modulus Et, E và Ep

1.3.3 Các quy luật biến cứng

Hiện tượng mà nhờ đó ứng suất chảy gia tăng với sự gia tăng biến dạng dẻo được gọi là biến cứng hay tái bền của vật liệu Để mô tả ứng xử này, một thông số biến cứng  được giới thiệu để đặc trưng cho các trạng thái biến cứng khác nhau, và

modulus dẻo Ep được cho là một hàm của thông số biến cứng  này như

1.Quy luật biến cứng đẳng hướng: Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

 

ở đây () là một hàm của thông số biến cứng  và thông số  là số vô hướng, xác định, không âm, như công chảy dẻo hoặc biến dạng dẻo tích lũy đã được đề cập ở trên

2.Quy luật biến cứng động học: Quy luật biến cứng này có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

  0

c

với c() là hàm của thông số biến cứng 

3.Quy luật biến cứng độc lập: có thể được biểu diễn dưới dạng toán học như sau

 

 

0 0

nếunếu

B’

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG DẺO

2.1 Không gian ứng suất HaighWestergaard

Lấy ba ứng suất chính 1, 2, 3 như là ba tọa độ và biểu diễn trạng thái ứng suất ở một điểm như là một điểm trong không gian ứng suất ba chiều này Không gian này được gọi là không gian ứng suất HaighWestergaard

Mặt phẳng lệch:

được gọi là mặt phẳng 

Chiều dài  của vector NP được cho bởi

hoặc  NP  3oct (2.4)

1 2

3 cos

2

sJ

3

3 2 2

3 3cos3

2

JJ

Phương trình (2.6) chỉ ra rằng giá trị của cos3 là một bất biến được liên hệ với các bất biến của tensor ứng suất lệch J2 và J3 Bây giờ ta thấy rằng một trạng thái ứng suất (1, 2, 3) có thể được biểu diễn bởi (, , ), chúng được xem như là các tọa độ HaighWestergaard

Các mối quan hệ giữa (1, 2, 3) và (, , ) :



2 3

2.2 Tiêu chuẩn chảy độc lập với ứng suất thủy tĩnh

2.2.1 Các khảo sát tổng quát

Điều kiện chảy có thể được biểu diễn tổng quát như

 ij, , ,1 2  0

ở đây k1, k2,  là những hằng số vật liệu, chúng được xác định từ thí nghiệm

Đối với những vật liệu đẳng hướng, phương của các ứng suất chính thì không phụ thuộc vào vật liệu, và những giá trị của các ứng suất chính đủ để mô tả trạng thái ứng suất duy nhất Do đó một tiêu chuẩn chảy có dạng quan hệ như sau

 1 , , , , , 2 3 1 2  0

Chúng ta đã biết rằng ba ứng suất chính 1, 2, và 3 có thể được biểu diễn dưới dạng các tổ hợp của ba bất biến ứng suất I1, J2 và J3, ở đây I1 là bất biến thứ nhất của tensor ứng suất ij và J2 và J3 là các bất biến thứ hai và thứ ba của tensor ứng suất lệch sij Do đó, phương trình (2.9) có thể được thay thế bởi

 2 , , , , 3 1 2  0

Các tiêu chuẩn chảy rất hữu dụng là các tiêu chuẩn của Tresca và von Mises cho kim loại

2.2.2 Tiêu chuẩn chảy Tresca

Phát biểu tiêu chuẩn này theo các ứng suất chính , một nửa giá trị tuyệt đối lớn nhất của các hiệu giữa các cặp ứng suất chính phải bằng k lúc chảy dẻo, nghĩa là

Lục giác Tresca

von Mises Ellipse

Hình 2.3 Các tiêu chuẩn chảy phù hợp trong kéo trên mặt

phẳng tọa độ 3 = 0

 1

 3

Bề mặt chảy Tresca

Bề mặt chảy von Mises

A

F

E

D C

Tiêu chuẩn chảy Tresca theo các bất biến ứng suất,

2.2.3 Tiêu chuẩn chảy von Mises

Tiêu chuẩn này phát biểu rằng chảy dẻo sẽ bắt đầu khi ứng suất tiếp bát diện đạt đến giá trị giới hạn k Tiêu chuẩn này có dạng

2.3 Các quan hệ ứng suất-biến dạng đối với các vật liệu biến cứng

Phương trình chủ yếu tổng quát đối với vật liệu biến cứng đàndẻo sẽ thu được trong mục này dưới dạng

ep

ở đây ep

ijk

C  là tensor độ cứng đàndẻo của modulus tiếp tuyến, nó là hàm của trạng thái ứng suất và lịch sử đặt tải Phương trình này được cần đến trong phân tích số bài toán chảy dẻo, như phân tích phần tử hữu hạn

2.3.1 Quan hệ cơ bản đối với vật liệu biến cứng tổng quát

Biểu thức tổng quát của bề mặt chảy hay bề mặt đặt tải đối với vật liệu biến cứng có dạng

ij

d , từ phương trình (2.23) và gia số biến dạng dẻo, p

ij

d , từ phương trình (2.25) vào định luật Hooke, ta có

Tương tự, ta sẽ định nghĩa tensor bậc hai H*

k  được liên kết với hàm thế năng, g,

Mỗi lần hàm vô hướng d được xác định, gia số biến dạng dẻo, dpij, được xác định từ quy luật chảy (2.25)

Tiêu chuẩn đặt tải theo các gia số biến dạng dij như dưới đây

Đối với đặt tải dẻo, d là hệ số không âm và hd luôn dương Do đó, từ điều kiện kiên định (2.27), ta có thể suy ra

Đối với đặt tải trung hòa, ta có dp

ij = 0, hay d = 0, và điều kiện kiên định (2.28) dẫn đến

ijk  được cho trong các đẳng thức (2.36) và (2.37)

Đối với f(ij, pij, k) < 0, hoặc f(ij, pij, k) = 0 và (f/ij)Cijk dk   0, ta có

2.3.2 Quan hệ cơ bản đối với vật liệu biến cứng hỗn hợp

Biểu thức tổng quát của bề mặt chảy đối với vật liệu biến cứng hỗn hợp có dạng

Ở đây, bề mặt chảy được biểu diễn theo ij thay vì rõ ràng theo pij

Ta sẽ giả định rằng các gia số biến dạng dẻo dp

ij có thể được tách ra thành hai phần, phần biến cứng đẳng hướng diij và phần biến cứng động học dkij:

đã được dùng trong phép đạo hàm

Thông số biến cứng đẳng hướng k là hàm của biến dạng dẻo tương đương rút gọn, p

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐÀN DẺO 2D

(tiêu chuẩn chảy von-Mises, biến cứng đẳng hướng)

3.1.Tóm tắt lý thuyết

3.1.1.Tiêu chuẩn chảy

Dạng tổng quát của hàm chảy:

   

Trong đó:

f - hàm ứng suất

k - hàm thông số vật liệu

 - hệ số biến cứng

Đối với kim loại, biến dạng dẻo không phụ thuộc vào áp suất thủy tĩnh, do vậy hàm chảy có thể được viết lại dưới dạng:

3.1.2.Qui luật biến cứng

Thông số biến cứng được lấy như công chảy dẻo Wp

p

 cũng được cho dưới dạng :   p

Trong đó p là biến dạng dẻo tương đương :

2 / 3 p p

p

3.1.3.Tiêu chuẩn đặt tải, tiêu chuẩn cất tải

Sự gia tăng của hàm chảy đối với sự gia tăng ứng suất được cho bởi:

ij ij

Ta thu được mối quan hệ gia số ứng suất – biến dạng đàn dẻo:

1

ij kk

dsd

3.1.5.Mối quan hệ ứng suất tương đương – biến dạng tương đương

Trong thí nghiệm kéo đơn trục:   

e   p p

3.2 Các mô hình biến cứng đẳng hướng

3.2.1 Mô hình song tuyến tính



3.2.1 Moâ hình phi tuyeán

0 inf



e



1

D dd

3.3.Các công thức cho bài toán 2D:

Ta kí hiệu vectơ ứng suất như sau:

3.3.1.Ma trận đàn hồi:

ED

3.3.2.Ma trận đàn dẻo:

Ta sử dụng công thức (0.31) để tính ma trận [Dep], trong đó các vec tơ α, dD được xác định như sau:

Đối với bài toán biến dạng phẳng và đối xứng trục:

1 1

1 1 1

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN CHO BÀI TOÁN PHI

TUYẾN VẬT LIỆU

4.1 Khái niệm về phương pháp phần tử hữu hạn

PP PTHH là một phương pháp số hiệu quả để tìm giá trị của một hàm trong miền xác định V của nó Tuy nhiên, PP này không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền V, mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) của V Tuỳ theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo ba mô hình sau:

1 Mô hình tương thích

2 Mô hình cân bằng

3 Mô hình hỗn hợp

Mô hình tương thích: Chuyển vị là đại lượng cần tìm trước Hàm xấp xỉ biểu diễn dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn số xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange

Mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị ứng suất là hai yếu tố độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả ứng suất hay nội lực lẫn chuyển vị trong phần tư.û Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên

cơ sở nguyên lý biến phân Reisner

4.2 Sự hình thành phần tử hữu hạn

Phương trình chi phối tổng quát của phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán tĩnh có thể thu được từ nguyên lý công ảo:

ở đây {U} là vector chuyển vị của các điểm nút chúng được liên hệ với vector

chuyển vị phân bố trong phần tử {u} bởi

trong đó [N] là ma trận của hàm nội suy chuyển vị, hay hàm dạng, và ma trận chuyển vịbiến dạng [B] là ma trận được định nghĩa như

xyzL

Hơn nữa, nếu quan hệ ứng suấtbiến dạng đàn hồi tuyến tính được giả định, ta thu được phương trình chủ đạo cho phân tích tuyến tính,

       

         (1.16) trong đó [C] là ma trận cơ bản đàn hồi

Trong phân tích gia số, tải tổng {R} tác động lên cấu trúc được thêm vào từng bước bởi các gia số Ở bước thứ (m + 1), tải có thể được biểu diễn như