ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p TÀI MƠN L P TRÌNH TÍNH TOÁN NG D NG CÁC PH N M M TOÁN H C TRONG VI C D Y VÀ H C TOÁN B C IH C Sinh viên th c hi n : Ph m Chí Hi u Nguy n Th H ng Viên L p : Tin4 – VT Giáo viên hư ng d n : Th y Tr nh Huy Hoàng I GI I THI U Hi n có r t nhi u ph n m m tốn h c h tr tính tốn giúp có th tính tốn m t cách nhanh chóng Ví d Maple, Matlab hay Mathematica Vi c ng d ng ph n m m tính tốn b c i h c r t c n thi t g n gi ng Do ó tài chúng em s s d ng ph n m m Mathematica minh h a Mathematica b chương trình tính tốn d a ngun lý c a i s máy tính Tính ưu vi t c a so v i b chương trình máy tính khác kh tính tốn kí hi u, qua ó máy tính có th tr giúp cho ngư i kĩ sư, cho nhà khoa h c tính tốn v s nh ng b chương trình khác mà cịn giúp h gi i quy t trình l p lu n c a ng d ng tư toán h c c bi t v i mơn tốn cao c p c gi ng d y h th ng t o cao ng, i h c, sau i h c hi n nay, Mathematica công c r t h u ích tr giúp cho gi ng viên có th truy n t m t cách linh ho t tư ng minh, d hi u t i h c sinh, sinh viên Mathematica không ch công c tính tốn m nh s , bi u th c tốn h c, hàm, phép tính vi phân, tích phân, hàm n, chu i s , mà cịn có kh cung c p phương ti n h a chi u, chi u , giúp cho sinh viên có th n m gi ng m t cách tr c quan nhanh nh y nh t Ph n m m tính tốn Mathematica, version u tiên c vi t vào năm 1988 b i hãng Wolfram ây m t h th ng ph n m m làm tốn nh máy tính, bao g m tính tốn ký hi u, tính s x lý th l p trình B n thân Mathematica c coi m t h th ng i s máy tính ti n ích cho nhi u c i tư ng s d ng khác Mathematica có nhi u version liên t c c c i ti n hoàn thi n như: 1.2, 2.0, 2.2, 3.0, 4.0,5.0 ã có 5.2 Trong tài chúng em s dung phiên b n 5.2 làm Sau cài t Mathematica vào máy tính, có th vào (Access) chương trình Mathematica nh kh i ng qua h i u hành N u dùng giao di n (Như Mcintosh, Windows, ho c NEXT) kh i ng Mathematica nh tr nh n váo nút open file Menu Khi Mathematica ã c kh i ng, l p t c phép tính tốn có th c th c hiên Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p II GI I THI U SƠ LƯ C V CÁCH S MATHEMATICA Các phép tính toán b n D NG PH N M M Các phép toán c ng, tr , nhân, chia c th c hi n m t cách thu n ti n nhanh g n Mathematica t ng rút g n bi u di n bi u th c tốn m t cách linh ho t xác Ví d : Mathematica cho k t qu xác nhi u ch s sau d u ph y Ví d mu n l y k t qu c a s E v i xác 50 ch s sau d u ph y, ta có th th c hi n l nh sau: Hay bi u th c : Vi c s d ng N[5^123] hay 5^123 //N hồn tịan gi ng qu c lư ng xác c a 5^123 Mu n tính th c ta s d ng l n Sqrt Ví d : u cho k t Hay c lư ng k t qu xác Các hàm ph c t p V i phép tính toán tr t i, Ln, Exp, Sin, Cos, Tang, Cotang hay hàm Arc Mathematica tính tốn r t khoa h c Ví d : Mu n bi u di n e-5 : Hay k t qu xác : Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Tinh giá tr c a Sin(30) Hàm Log[x] tính logarit t nhiên, cịn Log[a,b] Ví d : Tính log2 11 tính Logab Mathematica giúp cho ngư i h c tốn có th ti p c n m t cách tr c quan hàm ph c t p b ng th Ví d hàm ex vơi x o n [-3,3] : Hay mu n v th hàm Sin(x) v i x ∈ [0,2 π ] Và ph c t p hàm Ln(x) v i x ∈ [0.001, 4] Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Phép tính bi u th c hàm Mathematica h tr bi u di n tính tốn bi u th c m t cách khoa h c qua hàm d ng s n Mathematica Qua hàm ó ta có th làm vi c bi u th c m t cách linh ho t, ví d phân tích m t bi u th c ph c t p th a s hay kh i tri n m t bi u th c Ví d : Phân tích a th c 12x2 + 27xy – 84y2 Khai tri n bi u th c (x + y)3(3x – y)3 Vi t t ng c a x2 − dư i d ng m t phân th c x2 Tính giá tr bi u th c x2 − x = x2 Tính giá tr hàm f(x) = x2 − v ix=3 x2 Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Gi i phương tìm nghi m x p x c a phương trình: a) B ng l nh Solve ta có th gi i phương trình v i k t qu xác t Ví d : i b) Mathematica v i tính tính nghi m úng nghi m x p x c a phương trình : Ví d :  4 x + y = Gi i h :  x + y =  ôi ta c n dùng nghi m g n úng c a phương trình, ta có th làm sau : Ví d : Gi i phương trình x4 - 2x2 + x – = i v i nh ng phương trình khơng th c t ho c khơng gi i c Mathematica ưa nhi u hàm x p x nghi m c a phương trình M t s ó hàm FindRoot NRoots Ví d : X p x nghi m c a phương trình x5 + x4 – 4x3 +2x2 – 3x – = Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Hàm FindRoot[lhs == rhs,{x, Firstguess}] cho phép x p x nghi m c a phương trình b t u v i x = Firstguess Ví d : X p x nghi m c a phương trình x5 + x4 – 4x3 +2x2 – 3x – = xác nh c giá tr Firstguess v th hàm a th c v trái r i xác nh giao i m v i tr c ox Ta th y th có c t ox v trí x ≈ -1 Nên ta s x p x nghi m g n b ng -1 Tính t ng c a dãy s n Ví d : tính ∑k k =1 ∞ Hay tính ∑3 k k =1 Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p III NG D NG MATHEMATICA VÀO D Y VÀ H C TOÁN CAO C P PH N : MƠN GI I TÍCH Phép tính gi i h n a) Tính gi i h n M t nh ng phép tính b n nh t c a gi i tích tính gi i h n h n dùng l nh : Limit[expression, x->a] Ví d 1.1: Tính gi i h n c a : n +1 a) Lim n →∞ n − 20 − x + x Lim b) −5 − 35 + 14 x + 21x x→ tính gi i Sinx n →0 x 1+ x − 1− x d) Lim n →0 x c) Lim Gi i a) b) c) Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p d) b) Gi i h n m t phía Mathematica có th tính gi i h n m t phía L nh : Limit[f[x],x->a,Direction ->1] dùng tính gi i h n lim f ( x) l nh + x −>a Limit[f[x],x->a,Direction-> -1] dùng tính lim f ( x) − x −> a Ví d 1.2: Tính : x →0 x b) lim+ x →0 x a) lim − Gi i a) b) Tuy nhiên Mathematica ph i bi t lim x →0 + x x = lim− x→0 x x u hàng trư c nhi u ví d Ch ng h n ta ã = −1 Mathematica khơng th tính dư c c cgi i h n Chú ý : Các k t qu c a lênh Limit nhi u c n ph i t câu h i Trong m t s trư ng h p Mathematica cho ta câu tr l i ng c nhiên ho c th m chí tr l i khơng chu n xác Ví d Mathematica có th tính c Lim xe − x = x → +∞ Nhưng khơng th tính c gi i h n c a Lim x e − x = x → +∞ ex =0 x → +∞ x! Hơn n a Mathematica khơng th tính c gi i h n ki u Lim Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Trong trư ng h p l nh Nlimit ch a gói Nlimit n m ngăn NumericalMath có th c s d ng tính gi i h n Trong m i trư ng h p ta phiên d ch k t qu gi i nghĩa r ng giá tr c a m i gi i h n b ng Các phép tính o hàm Cho hàm kh vi f(x) Mathematica có th tính c o hàm c a f(x) nh t theo cách n u f(x) ã c nh nghĩa theo ki u c a Mathematica L nh f’[x] tính f’(x) L nh D[f[x],x] tính f’(x) L nh D[f[x],{x,n}] tính f(n)(x) L nh D[bi u th c, bi n] tính o hàm c a bi u th c theo m t bi n ó L nh D[ bi u th c, {bi n,n}] tính o hàm c p n c a bi u th c theo m t bi n ó Ví d 2.1: Tính o hàm hàm s sau ây : a) x2 - x -4 b) Sinx c) (3 x + 4)2 ( x +5)2 d) x + 2x + x + 3x e) F(x) =x3 e-2x f) X arctg x Gi i a) b) c) d) Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p e) Ví d 2.2: Tính o hàm c p cao a) x4-2x3-36x2+162x+24 b) x2 + 2cosx c) h(x)=(2x+1)(3x2-4x+2) Gi i: V th hàm s v th hàm m t bi n o n [a, b] ta dùng l nh: Plot[F[x], [x, a, b]] Ví d 3.1: V th hàm f(x) = 4x3 + 6x2 + 2, g(x) = 12x2 + 12x + 9, h(x) = 24x + 12 Gi i V m t th f(x) Trang 10 ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p tìm nh ng i m c c i c c ti u ta ph i tính o hàm c p v a f g áp d ng nh lý Lagrange Do v y ta nh nghĩa eq1, eq2, eq3 phương trình ∂f ∂g ∂f ∂g =λ , =λ g(x,y) =0 Sau ây o n chương trình: ∂x ∂x ∂y ∂y Trang 56 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Dùng l nh Solve tìm x, y λ t h phương trình nói g i tên k t qu extpoints Nghi m c a h b ba (x, y, λ ) ương nhiên (x,y) b ba i m c c tr T v i l nh: ây thay vào f ta c giá tr c c i c c ti u c a f Ch ng h n Ta có th tính c c b n giá tr c a f t i b n i m t i h n ch b ng m t l nh Khi ó l nh TableForm c dùng tính giá tr c a f t i i m ã cho extpoints K t qu s c hi n th m t b ng: Trang 57 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p 1/2 Ta th y c c t t i i m (0,1/2) Ph n : MÔN i c a f t t i i m (-1,0) (1,0), c c ti u IS Các phép tính v ma tr n Trong Mathematica mu n t o m t ma tr n : a1n  a  A = (aij ) =  11 a   m1 a mn  Ta dùng l nh sau : A = {{a11,a12,….,a1n},{a22,a23, ….,a2n}, …., {am1,am2, … ,amn}} Mathematica ta có th coi m t vector m t Mathematica tr n Ta có th t o m t vector t o m t ma tr n t o m t Mathematica tr n ơn v ta dùng l nh IdentityMatrix[n] v i n c p c a ma tr n Mathematica có th c ng hai ma tr n A B b ng l nh (A+B) tính tích kA b ng l nh (kA) L nh Transpose[A] cho ta Mathematica tr n chuy n v c a A N u A ma tr n vng ta có th tính giá tr nh th c c a A b ng l nh Det[A] Và n u t n t i A-1 l nh Inverse[A] cho phép tính A-1 Ví d 1.1 : Cho ma tr n 3 −  10 − −  8 − 3 , B =  − −  A=    5 10 12  1     Trang 58 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p a) b) c) d) e) Tính A + B A – 4B (A.B)-1 [(A – 2B).B]T DET(A) Gi i T o hai ma tr n : L nh MatrixForm[A] hay //MatrixForm dùng ma tr n a) Tính A+B : Hay ta có th hi n th hi n th ma tr n A dư i d ng d ng b ng b ng l nh //TableForm b) A – 4B : Trang 59 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p c) (A.B)-1 : d) [(A – 2B).B]T e) Det(A) Trong phép nhân ma tr n ta dùng có th dùng d u ch m ( ) Ví d 1.2 : Tính A*B B*A v i  − − − − 4 A = − − 2   − 4 − 3   thay cho *  − 2 −   : B=  − 4    − − 3 Gi i Trang 60 ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p Ví du 1.3 :  0        5   Cho v =   w =        2  − 2     a) Tính v – 2w, v*w b) Tìm vector ơn v c a v w Gi i: a) b) Vector ơn v c a v Vector ơn v c a w H phương trình n tính 2.1) Tìm nghi m c a h phương trình n tính gi i h phương trình n tính A.x = B v i A ma tr n h s , B c t v ph i, x côt n ta ti n hành sau : N u t n t i A-1 ta có : x = A-1.B Trang 61 ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p Ví d 2.1 : Gi i h  x           − 2  y  =  − 1  − 3  z         Gi i Trong Mathematica không phân bi t hàng c t c a m t vector Do ó v i ta có th vi t sau : Ví d 2.2 : Gi i h :  x − y + z = −4  3x + y − z = − x + y + z =  Gi i Cách 1: Trang 62 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Cách : 2.2)Phương pháp kh Gause-Jordan Cho h phương trình n tính d ng ma tr n Ax = b, v i  a11 a1n  A=   am1 amn  , x =     x1      , b =  xn     b1       bm     a11 a1n b1   g i ma tr n b sung c a h   am1 amn bm  A ma tr n h s cịn (A/b) =   Ta có th xây d ng ma tr n b sung c a h m t cách tr c ti p ho c dùng gói MatrixManipulation ngăn LinearAlgebra Ví d 2.3 : Gi i h dùng phương pháp Gauss – Jordan  x − y − z = −3  4 x − z = 2 x − y − z =  Gi i Trang 63 ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p V y ta có nghi m (2,-5,5) Ki m tra kêt qu : Không gian s liên k t v i m t ma tr n NullSpace[m] : Cho ta vector s c a không gian m (H ng c a ma tr n) RowReduce[m] : Cho ta s hàng khác c a m Ví d 3.1 : − 1 −1 −1 − 2 0 − 2   Cho A =  − − 1    2 −1 −1  −2 −2    Vi t A v d ng chu n t c Tím h ng r(A) c a A Tìm s c a khơng gian hàng c a A Gi i r(A) = có hàng ma tr n khác M t s c a không gian hàng c a ma tr n A: Trang 64 ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p Ví d 3.2 : Tìm m t s c a khơng gian vector c t c a ma tr n : −2 −2 1 −2 −2 B= 0 0 −2 −2 2 −2 Gi i M t s c a không gian c t c a B s c a khơng gian hàng c a ma tr n chuy n v c a B Xây d ng ma tr n tB ma tr n chuy n v c a B : Dùng l nh RowReduce[tB] tam giác hóa ma tr n tB gán cho rrtB Sau ó chuy n v rrtB R i dùng l nh Take[rrtB,4] l y c s c a không gian vector c t Trang 65 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Thu t toán Gram – Schmidt Ví d 4.1 : Dùng phương pháp Gram-Schmidt tr c chu n hóa h  − 2          − ,  − 1,   R  − 2    − 2     Gi i L nh Gramschmidt[{v1,v2,v3,….}] {v1,v2,v3,…} Trư c s d ng l nh tr c chu n ta hóa ph i h vector n p gói LinearAlgebra`Orthogonalization` Ki m tra s v a nh n c : Trang 66 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Ánh x n tính Ví d 5.1 : Gi s T = R5 → R5 ánh x n tính c nh nghĩa b i  − − − − 1   T ( x) =  − 3 − − − 1.x  2 −1 2   a) Tìm m t s c a Ker T             b) Hãy xác inh xem vector    −  có thu c Ker T không ?        − 2      − 6   Gi i a) Xác nh s c a Ker T b) Ta th y vector thư nh t thu c KerT, vector th hai không thu c KerT Giá tr riêng, vector riêng Mathematica có nhi u l nh có th tính ma tr n c trưng c a m t ma tr n m (t c ma tr n m - λ I), a th c c trưng, vector riêng, giá tr riêng c a ma tr n m c p n Sau ây m t s l nh b n nh t Trang 67 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p CharacteristicPolynomial[m,x] : tính a th c c trưng ma tr n m a th c bi n x Eigenvalie[m] tính giá tr riêng c a ma tr n vng m Eigenvectors[m] tính vector riêng c a ma tr n m Eigensystem[m] cho ta m t b ng g m giá tr riêng vector riêng tương ng c a ma tr n vng m Ví d 6.1 : Cho  − 4   A =  −  Tính a th c  −1 −1 5   ng trưng c a A v i bi n x Gi i V y a th c c trưng c a A : -54 – z + 6x2 – x3 Ví d 6.2 : Cho  −4  3  −1 − −1  6  −1 −1 −1 A= 4  1  2  −1 0   −1 −1 6   −4 −4   23     − −1    19  6 a) Tìm giá tr riêng vector riêng c a A     b) Cho B =  − −  Tìm giá tr riêng ( úng x p x ) c a B −    Gi i a) Trang 68 ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p b) Tính xác Tính x p x D ng chu n t c Jordan L nh JordanDecomposition[m] t o nên m t danh sách ma tr n [s, j] cho m = s.j.s-1 j d ng chu n t c Jordan c a m Ví d 7.1 : Tìm d ng chu n t c Jordan JA c a 2 − 9   A =  − 6 0 − 7   Gi i Trang 69 ng D ng Mathematica Vào D y H c Tốn Cao C p Ma tr n ma tr n Jordan Trang 70 ... D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p II GI I THI U SƠ LƯ C V CÁCH S MATHEMATICA Các phép tính toán b n D NG PH N M M Các phép toán c ng, tr , nhân, chia c th c hi n m t cách thu n ti n nhanh... Ví d : tính ∑k k =1 ∞ Hay tính ∑3 k k =1 Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p III NG D NG MATHEMATICA VÀO D Y VÀ H C TOÁN CAO C P PH N : MƠN GI I TÍCH Phép tính gi i h n a) Tính gi... x ∈ [0,2 π ] Và ph c t p hàm Ln(x) v i x ∈ [0.001, 4] Trang ng D ng Mathematica Vào D y H c Toán Cao C p Phép tính bi u th c hàm Mathematica h tr bi u di n tính tốn bi u th c m t cách khoa h c