Bài tập lớn lý thuyết độ tin cậy

Xuất phát từ đó có thể chia ra các công đoạn tính toán như sau: ư Xác định phổ sóng; ư Tính tải trọng sóng tác động lên trụ; ư Qui đổi tải trọng và khối lượng về nút; ư Xác định độ lệch

A Số liệu đề bài

Sơ đồ 8.b

1 Sơ đồ tính

Công trình là trụ thép tiết diện hình vành khuyên được ngàm thẳng đứng vào nền đất, chịu tải trọng sóng tác động theo phương vuông góc

Hình1: Sơ đồ tính

2 Số liệu công trình

30 14 6 0.04

3 Số liệu tải trọng

25000 70

4 Số liệu sóng

Hs, m To, s

8.5 8.4

5 Yêu cầu

Tính độ tin cậy theo cường độ tại chân trụ

B Phương pháp tính

Định hướng chung:

Việc xác định độ tin cậy theo cường độ tại chân trụ dựa trên quan điểm coi tương tác giữa sóng – trụ là động ngẫu nhiên Xuất phát từ đó có thể chia ra các công đoạn tính toán như sau:

ư Xác định phổ sóng;

ư Tính tải trọng sóng tác động lên trụ;

ư Qui đổi tải trọng và khối lượng về nút;

ư Xác định độ lệch chuẩn của ứng suất chân trụ;

ư Tính độ tin cậy;

ở đây xoay quanh vấn đề xét bài toán dao động ngẫu nhiên một bậc tự do Ta lần lượt giải quyết từng vấn đề như sau:

1 Xác định phổ sóng

Gọi η là độ lệch của mặt nước so với mực nước tĩnh

Xét phổ sóng thông dụng Pierson – Moskowitz:

) exp(

* )

ω ω

ω

ηη

B A

trong đó:

ω – tần số vòng của sóng;

A, B là các thông số của phổ được xác định như sau:

4 0

2 4

0

2

3* 124* 4

T

H T

H

4 0

4 0

* 496

16

T T

B= π =

Hs – chiều cao sóng ý nghĩa;

T0 – chu kỳ sóng;

2 Xác định tải trọng sóng

∗ Công thức Morison tính tải trọng sóng:

Xét cột thẳng đứng có đường kính D Gọi q là tải trọng sóng trên đơn vị chiều dài của cột

Công thức Morison:

i x x

c q

4 2

trong đó:

ρ – mật độ nước biển;

cd, ci – các hệ số;

D – đường kính trụ;

vx, ax – vận tốc và gia tốc theo phương ngang của phần tử nước do sóng gây nên;

Công thức Morison được tuyến tính hóa dưới dạng:

x I x v

C q

π

8

trong đó:

CD – hằng số cản vận tốc được xác định như sau:

D c

C D ρ d 2

1

CI – hằng số quán tính được xác định như sau:

4

2

D c

I

π ρ

x

v

σ – độ lệch chuẩn của quá trình ngẫu nhiên vx;

∗ Xác định độ lệch chuẩn của vận tốc theo phương ngang:

Trong công thức của Morison có chứa thành phần vận tốc và gia tốc theo phương ngang của phần tử nước do sóng gây nên Sử dụng lý thuyết sóng Airy ta có:

ư Vận tốc phần tử nước theo phương ngang:

η ω

) (

) (

*

kd sh

kz ch

ư Gia tốc phần tử nước theo phương ngang:

η ω

) (

) (

*

2

kd sh

kz ch i

trong đó:

k – số sóng được tính từ công thức:

)

tanh(kd

gk

=

z – cao độ của phần tử nước;

d – độ sâu nước tĩnh;

η – độ lệch của phần tử nước so với mực nước tĩnh;

Từ công thức tính vx ta xác định được mật độ phổ của vận tốc theo phương ngang như sau:

ηη

kd sh

kz ch

) (

) (

*

2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

Từ đây xác định được độ lệch chuẩn theo công thức sau:

ω ω ω

kd sh

kz ch

x

) (

) (

*

0

2 2

∫

∞

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∗ Cách tính gần đúng giá trị độ lệch chuẩn của vận tốc theo phương ngang:

Việc tính σvx có thể tính một cách gần đúng theo công thức sau:

=

≈

) ( )

i

i

x

i e g x w dx

x

Với n = 10 ta có bảng số liệu sau:

i x i

i

x

W *

1 0.13779 0.354009

2 0.72945 0.319202

3 1.80834 1.330289

4 3.40143 1.863064

5 5.55249 2.450256

6 8.33015 3.122764

7 11.84379 3.934153

8 16.27926 4.992415

9 21.99659 6.572202

10 29.92069 9.784696

Bảng 1: Bảng tính gần đúng tích phân với n = 10

∗ Xác định giới hạn tính tải trọng sóng:

Tiến hành xác định giao điểm của sóng với trụ, và chỉ tính tải trọng sóng từ điểm này xuống chân trụ

Công thức xác định cao độ của giao điểm so với chân trụ:

trong đó:

d – độ sâu nước tĩnh;

ν – hằng số (ν = 0.5 nếu tính với sóng Airy; ν = 0.7 với sóng Stoke);

H1% – chiều cao sóng đảm bảo 1%, được tính theo công thức sau:

s

H

trong đó:

Hs – chiều cao sóng đáng kể;

∗ Cách xác định gần đúng tải trọng sóng:

Trên thực tế thì tải trọng sóng phân bố trên cột có dạng là đường cong (Hình2)

Tuy nhiên việc xác định đúng dạng của đường tải trọng sóng khá

phức tạp Do đó ta dùng phương pháp tính gần đúng sau:

ư Chia đoạn cột chịu tải trọng sóng thành các đoạn nhỏ, trên mỗi

đoạn này coi tải trọng sóng là phân bố đều

ư Xác định tải trọng phân bố đều theo công thức Morison với

điểm cần xét là trung điểm của các đoạn

3 Qui đổi khối lượng và tải trọng về nút

Việc qui đổi tải trọng và khối lượng về nút dựa trên phương pháp

phần tử hữu hạn Coi vật thể liên tục là một tập hợp nhiều phần tử

nhỏ hơn, có số lượng, kích thước hữu hạn Giả thiết rằng các phần tử

chỉ liên kết với nhau ở các nút Khi đó các tải trọng (trong và ngoài)

cùng với khối lượng (bản thân ống, nước kèm, nước trong ống ) sẽ

được qui đổi về các nút này

Đối với mỗi phần tử riêng biệt, tải trọng nút được xác định dựa

trên sự phấn bố tải trọng theo chiều dài phần tử hoặc các đoạn của

phần tử đó Tương tự đối với khối lượng cũng theo chiều dài phần tử (khối lượng bản thân) hoặc theo các đoạn của phần tử đó (khối lượng nước kèm, nước trong ống ) khi phần tử nửa chìm Cuối cùng, tải trọng nút và khối lượng nút được tính như tổng các lực nút và khối lượng nút của các phần tử qui tụ tại nút đang xét

∗ Qui đổi khối lượng về nút

Xét một phần tử i – j dạng thanh có chiều dài l, tiết diện A không đổi, khối lượng riêng là ρ

Hình2: Tải trọng sóng thực tế.

Hình 3: Sơ đồ qui đổi khối lượng về nút

Khi đó khối lượng qui đổi về đầu i và đầu j sẽ là:

ρ

lA m

j

qd i

2

1

=

∗ Qui đổi tải trọng về nút

Xét một phần tử i – j có tải phân bố như bên dưới

Hình 4: Sơ đồ qui đổi tải trọng về nút

Khi qui đổi tải về nút ta được các lực quy đổi là Fi, Mi tại đầu i và Fj, Mj tại đầu j Các tải trọng nút này có thể xác định theo nguyên tắc của sức bền vật liệu Giả sử cần xác định Fj ta làm như sau: xác

định mômen tại đầu i, đem chia cho cánh tay đòn l ta được Fj

l

c b a c q

b a b q

a a q

F j

) 2 (

) 2

(

4 Xác định độ lệch chuẩn ứng suất chân trụ

Xét dao động của cột là của hệ một bậc tự do với điểm khối lượng đặt tại đỉnh cột

∗ Phương trình vi phân mô tả dao động ngẫu nhiên 1 bậc tự do của cột:

td

F ku u c u

trong đó:

m – khối lượng của nút;

c – hệ số cản của môi trường;

k – độ cứng của cột;

Ftd – lực tập trung đặt tại nút;

u – chuyển vị của nút;

Nếu bỏ qua ảnh hưởng cản kết cấu và môi trường ta có phương trình:

td

F ku u

∗ Biểu thức phổ của chuyển vị nút:

td

td F F

trong đó:

H(iω) – hàm truyền được xác định như sau:

2 2 0

2 2

1

1

*

1 ) (

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ư

=

ω ω

ω

k i

trong đó:

ω – tần số vòng của sóng;

ω0 – tần số vòng dao động riêng;

∗ Xác định phổ mômen chân cột:

Xét lực Ftd đặt tại đỉnh cột (Hình 4c) Cột làm việc như một dầm consol Theo

lý thuyết cơ kết cấu thì chuyển vị u tại đỉnh cột sẽ là:

EJ

l F

u td

3

3

= ; (4.5) Mặt khác ta có mômen tại chân cột là:

l F

Từ đây ta có mối quan hệ giữa M0 và u:

u l

EJ

Suy ra phổ mômen chân cột:

uu M

l

EJ

2 2

0

Hình 5:

Kết hợp với (4.3) ta được:

td

td F F M

l

EJ

2 2

0

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∗ Xác định độ lệch chuẩn của ứng suất chân trụ:

Biểu thức xác định ứng suất chân cột σ0 do mômen chân cột M0 gây ra:

W

M0

0 =

trong đó:

W – mômen kháng uốn tại chân cột;

Suy ra:

0 0 0

2

M M

S W S

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

σ

Phương sai của ứng suất chân cột là:

ω ω ω

ω

W d

0

2 0

2

0 0 0

0

5 Xác định độ tin cậy

Vì coi sóng là quá trình ngẫu nhiên dừng, chuẩn và êgôđic nên các giá trị trung bình của sóng là bằng không Từ đó suy ra giá trị trung bình của mômen chân cột M =0, suy tiếp ra ứng suất do mômen gây ra này cũng bằng không

Gọi β là chỉ số độ tin cậy thì ứng suất tính toán chân cột là:

0

A

N

tt

trong đó:

N – lực dọc tập trung tại đỉnh cột;

A – tiết diện cột;

Xác định β theo điều kiện bền:

R

tt ≤

0

suy ra:

;

A

trong đó:

R – cường độ cho phép của vật liệu;

Xác định được β, tra bảng sẽ tìm được độ tin cậy của ứng suất tại chân cột

Đến đây bài toán được giải quyết xong !

C Thực hiện tính

1 Xác định phổ sóng

Tính các thông số phổ của sóng theo (1.2) và (1.3):

1.8;

4 8

5 8

*

2

=

=

A

0.1;

4 8

1

*

=

B

Thay vào (1.1) đ−ợc biểu thức xác định phổ sóng:

);

0.1 exp(

*

1.8 )

ω ω

ω

S

2 Tính tải trọng sóng

∗ Xác định giới hạn tính tải trọng sóng:

Sử dụng lý thuyết sóng Airy:

Tính H1% theo (2.2):

);

( 13 5 8

* 5175 1

%

Thay vào (2.1):

);

( 5 36 13

* 5 0

Nh− vậy ta sẽ tính tải trọng sóng từ độ cao 36.5 (m) trở xuống chân cột

∗ Xác định tải trọng sóng:

Một cách gần đúng có thể chia đoạn cột cần tính tải trọng sóng thành

các đoạn nhỏ (Hình 6) để tính

− Cho Ci = 2, Cd = 1;

81 9

10

4

2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

=

m

KNs g

γ

ρ

4

6

* 14 3

* 2

* 02

2 2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

m

KNs

C I

2

1

3

2

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

=

m

KNs

tải trọng sóng

Sử dụng bảng tính gần đúng tích phân với n = 10 để tính độ lệch chuẩn của vận tốc phần tử nước theo phương ngang ta có bảng kết quả sau:

z 1 = 5.875 z 2 = 17.625 z 3 = 30

i ωi W i*eωi Sηη k

g 1i W i e i g i

1

*

2

*

3

*

* ω

1 0.1378 0.35401 1E-116 0.0081 1.55E-116 1.34E-117 1.6E-116 1.37E-117 1.6E-116 1.42E-117

2 0.7295 0.3192 6.1221 0.0577 0.4877098 0.155651 1.064715 0.3398003 3.693831 1.1788745

3 1.8083 1.33029 0.0922 0.3333 3.248E-08 4.328E-08 7.87E-05 0.0001049 0.301085 0.4011594

4 3.4014 1.86306 0.004 1.1794 8.816E-27 1.645E-26 9.6E-15 1.791E-14 0.045631 0.0851513

5 5.5525 2.45026 0.0003 3.1427 1.468E-68 3.603E-68 1.74E-36 4.273E-36 0.010497 0.0257617

6 8.3302 3.12276 4E-05 7.0735 1.86E-151 5.82E-151 2.89E-79 9.043E-79 0.003109 0.009724

7 11.844 3.93415 8E-06 14.2992 2.5E-303 9.86E-303 2.2E-157 8.52E-157 0.001082 0.0042624

8 16.279 4.99242 2E-06 27.0147 0 0 0 0 0 0

9 21.997 6.5722 3E-07 49.3221 0 0 0 0 0 0

10 29.921 9.7847 8E-08 91.2587 0 0 0 0 0 0

Bảng 2: Bảng tính các độ lệch chuẩn vận tốc của phần tử nước theo phương ngang

Từ các biểu thức (2.2) – (2.6) cùng với kết quả ở bảng trên ta xác định được:

η ω

) 30

* (

) 5.875

* (

* ) i

* 57.65

* 1.93

1

k sh

k ch

η ω

) 30

* (

) 17.625

* (

* ) i

* 57.65

* 2.85

k ch

η ω

) 30

* (

) 0

* (

* ) i

* 57.65

* 6.38

3

k sh

k ch

3 Qui đổi tải trọng và khối lượng về nút

∗ Qui đổi khối lượng về nút

Xét hệ một bậc tự do, điểm khối lượng tập trung tại đỉnh cột Bỏ qua khối lượng nước kèm và coi trong cột không có nước

Khối lượng bản thân qui đổi theo (3.1):

81 9

5 78

* 4

) 96 5 6 (

* 14 3

* 44

* 2

=

ư

=

qd

Suy ra khối lượng tập trung tại đỉnh cột:

m = 70 + 66 11 = 136 11 (tấn);

∗ Qui đổi tải trọng về nút

Sử dụng (3.2) xác định tải trọng tương đương qui đổi tại đỉnh cột:

;

*

) 30

* (

) 0

* (

* ) i

* 510.99

* 56.55

(

) 30

* (

) 17.625

* (

* ) i

* 271.34

* 13.41

(

) 30

* (

) 5.875

* (

* ) i

* 90.45

* 3.03

(

2 2

2

η ω

ω

ω ω

ω ω

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

+ +

+

=

k sh

k ch

k sh

k ch

k sh

k ch

F td

Như vậy sơ đồ tương đương sẽ như Hình 7

4 Xác định độ lệch chuẩn ứng suất chân công trình

∗ Xác định các đại lượng trong phương trình dao động hệ một bậc tự do:

Giả sử đặt một lực P=1KN đặt tại đỉnh cột (Hình 8) Cột làm việc như một

dầm consol, theo lý thuyết cơ học kết cấu ta tính được chuyển vị tại đỉnh cột:

EJ

l P

3

* 3

11=

trong đó:

[6 6 0.04 ] 3.36( );

* 32

14

36 3

* 10

* 1 2

* 3

44

8

3

δ

Từ đây suy ra:

ư độ cứng:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

m

KN

10

* 44 0

1 1

5

11

ư tần số vòng dao động riêng:

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

=

=

=

s m

13.51 11

136

24849.7

0

∗ Xác định phổ mômen chân trụ:

Xác định hàm truyền theo (4.4):

Hình 7: Quy đổi tải

trọng về nút

Hình 8:

2 2 2

2

13.51 1

1

* 24849.7

1 )

(

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

=

ω

ω

i

Xác định phổ của lực tương đương:

;

* ) 30

* (

* ) 30

* (

* 510.99 )

625 17

* (

* 271.34 )

875 5

* (

*

90.45

) 30

* (

* ) 30

* (

* 56.55 )

625 17

* (

* 13.41 )

875 5

* (

*

3.03

2 2

2

ηη

ω

ω

S k

sh k

ch k

ch k

ch

k sh k

ch k

ch k

ch

S FtdFtd

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+ +

+

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

=

Thay vào (4.9) được phổ của mômen chân cột:

FtdFtd M

13.51 1

1

*

2

0 0

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

=

∗ Xác định độ lệch chuẩn của ứng suất chân cột:

Mômen chống uốn của cột:

);

0.5596(m 6

96 5 1

* 6

* 32

14 3

1

*

* 32

3

3 3

4 3

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

=

d

D D

Suy ra:

;

* ) 30

* (

* ) 30

* (

* 510.99 )

625 17

* (

* 271.34 )

875 5

* (

*

90.45

) 30

* (

* ) 30

* (

* 56.55 )

625 17

* (

* 13.41 )

875 5

* (

*

3.03

* 13.51 1

1

* 6182.33

2 2 2

2 2

0

0

ηη

σ

σ

ω ω ω

S k

sh k

ch k

ch k

ch

k sh k

ch k

ch k

ch

S

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+ +

+

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+ +

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ư

=

Sử dụng phương pháp tính tích phân gần đúng với n=10 ta tính được:

1

*

* ω

Σ = 28653749266

Bảng 3: Bảng tính độ lệch chuẩn ứng suất tại chân trụ

Từ bảng tính suy ra:

; m

KN

σ σ

5 Xác định độ tin cậy

Theo (5.2):

; 420000 169274.18

* 0.375544

25000

σtt

Tính được:

; 2.09

= β Tra bảng ta được Độ tin cậy P=99.81%

D Nhận xét

Độ Tin Cậy và Tuổi Thọ Mỏi của kết cấu là nhưng thông số quan trọng cần được xác định ngay

trong giai đoạn thiết kế công trình Từ hai thông số này giúp ta đánh giá được được độ ổn định và độ bền của công trình trước những tải trọng do gió, sóng tác động trong thời gian tồn tại của công trình

ở trên ta đã xét một ví dụ đơn giản là cột trụ ngàm vào đất chịu tải trọng do sóng được thể hiện theo phổ Pierson – Moskowitz

Xác định được Chỉ số độ tin cậy là β = 2.09 tương ứng cho Độ tin cậy là 99.81%

Nhận thấy rằng độ tin cậy của công trình cũng chưa phải là cao Để đảm bảo điều kiện bền và ổn

định của công trình ta cần có một số biện pháp nâng cao Độ tin cậy hay cũng đồng nghĩa với việc nâng chỉ số β lên Theo qui tắc 3σ thì cần nâng β lên các giá trị lớn hơn 3

Xét cùng số liệu đầu bài về sóng, kích thước, vật liệu thép làm công trình thì về cơ bản ta chỉ cần thay đổi tiết diện cột trụ là giải quyết được vấn đề Sau đây đề xuất một số phương án:

Từ các phương án trên ta thấy chọn phương án 3 là hợp lý hơn cả !

Thật ra việc thay đổi này chỉ hợp lý trong điều kiện ta đã giả thiết:

ư Bỏ qua ảnh hưởng cản nhớt của môi trường;

ư Bỏ qua lượng nước kèm;

ư Bỏ qua lượng nước có trong ống;

trong khi chúng có liên quan rất nhiều đến tiết diện của cột