NỬA NHÓM TIẾN HÓA FREDHOLM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN GIẢI TÍCH

Kết quả chính, định lý lưỡng phân I, mô tả đặc trưng tính Fredholm của closure of the toán tử G trên L p, X và xác định chỉ số Fredholm của nó dựa theo các thành phần của phép lưỡng phâ

ĐINH NGUYỄN ANH TRUNG

NỬA NHÓM TIẾN HÓA FREDHOLM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:

PGS.TS LÊ HOÀN HÓA

TP HỒ CHÍ MINH - 2009

MỞ ĐẦU

Trong luận văn này ta trình bày dạng tổng quát của định lý Fedholm

vô hạn chiều cho các phương trình vi phân đặt tốt

( )Gu ( )t := −u'

t

( )+ A t( )u t( )= f t( ), t ∈ (*) trên không gian Banach X Các kết quả trong chương 1, 2, 3 và phần

chứng minh điều kiện cần của định lý I trong chương 4 được lấy trong [7], phần chứng minh điều kiện đủ của định lý I được lấy trong [8] Kết quả chính, định lý lưỡng phân I, mô tả đặc trưng tính Fredholm của (closure of

the) toán tử G trên L p(, X) và xác định chỉ số Fredholm của nó dựa theo các thành phần của phép lưỡng phân mũ trên các nửa đường thẳng của họ

tiến hóa là nghiệm của (*) Các toán tử tuyến tính A t( ), t∈ là không bị

chặn trên X , và ta chỉ yêu cầu bài toán gốc (***) tương ứng được đặt tốt

(theo nghĩa yếu) Ta chuyển bài toán về việc khảo sát một toán tử dịch

chuyển trên không gian các dãy có giá trị trong X và đưa ra một chứng

minh thuần lý thuyết toán tử cho định lý I dựa trên dạng rời rạc của phương pháp “input-output” từ lý thuyết phương trình vi phân

Với trường hợp hữu hạn chiều X =  d, các dạng của định lý lưỡng

phân đã được thiết lập trong nhiều bài báo Ở đó A t( ) là các ma trận và

G = − d

dt + A ( ) được định nghĩa trên không gian Sobolev W 1, p(,d)

Trong trường hợp này G là Fredholm khi và chỉ khi họ tiến hóa

U t,( )τ

{ }t≥τ nghiệm của bài toán (*) có các phép lưỡng phân mũ trên −

và + Tuy nhiên những áp dụng vào các phương trình đạo hàm riêng đòi

hỏi một dạng vô hạn chiều của định lý lưỡng phân với các toán tử A t( )không bị chặn Các nghiên cứu theo hướng này đã được thực hiện trong [2], [8], [9], … Ta nhấn mạnh rằng các chứng minh cho các dạng hữu hạn

và vô hạn chiều của định lý lưỡng phân là rất khác nhau bởi nhiều khó khăn nảy sinh trong trường hợp vô hạn chiều như đã được trình bày trong phần 1 và 7 của [8]

Vài tác giả đã nghiên cứu tính Fredholm của toán tử G và các vấn đề

liên quan trong những trường hợp vô hạn chiều đặc biệt Trong [12] một dạng phương trình vi phân của (*) trên khôn gian Banach X có tính chất

UMD đã được nghiên cứu, ở đó miền xác định chung của các toán tử A t( )

được nhúng compact vào X và A t( )→ A± khi t→ ±∞ Giả sử rằng phổ

của A± không giao i , ta chứng minh được G là Fredholm trên L p(, X)

với p∈ 1,∞( ), và chỉ số của nó được tính theo các thành phần của

the spectral flow của A ( ) Trong [7] những định lý dạng này đã được thiết lập cho bài toán parabolic đặt tốt tổng quát Hướng tiếp cận sau này xuất phát từ việc nghiên cứu chi tiết tính chính quy cực đại của nghiệm của

phương trình vi phân không thuần nhất Trường hợp toán tử A t( ) bị chặn được xem xét ở [1] trong mối liên kết với những áp dụng cho lý thuyết Morse vô hạn chiều Trong [11] và [13], điều kiện cần và đủ cho tính

Fredholm của toán tử G được thiết lập cho một lớp các phương trình vi

phân vô hạn chiều có tính chất backward uniqueness (được giới thiệu dưới đây) Công việc này có liên hệ với những nghiên cứu chi tiết về sóng lan truyền với bài toán elliptic trên hình trụ

Trong một hướng nghiên cứu khác, ta bắt đầu với họ tiến hóa tổng

quát U t,( )τ , t ≥τ và xây dựng một toán tử G trên L p(, X) như được mô

tả dưới đây Không có bất kỳ điều kiện thu hẹp nào trên tính chính quy hay

dáng tiệm cận của A ( ) Nếu (***) được đặt tốt theo nghĩa cổ điển thì G là

bao của G= − d

dt + A ( ) Trong [3] các tác giả giả sử thêm trước rằng

U t,( )τ có các phép lưỡng phân mũ trên các nữa đường thẳng Khi đó một

“toán tử nút” được giới thiệu và chứng minh được rằng G và toán tử nút là

Fredholm đồng thời với cùng các chỉ số Mặt khác, các tác giả trong [8]

yêu cầu X là phản xạ và đòi hỏi tính chất backward uniqueness cho họ tiến

hóa, với các giả thiết này, họ mô tả đặc trưng tính Fredholm của G như ta

làm dưới đây Trong luận văn này ta loại bỏ bất kỳ giả thiết thêm nào và thiết lập định lý sau

Định lý I Giả sử rằng A = U t,τ{ ( ):t ≥τ;t,τ ∈} là một họ tiến hóa bị

chặn mũ, liên tục mạnh trên một không gian Banach X và G là toán tử

sinh của nửa nhóm tiến hóa liên kết định nghĩa trên ε ( )= L p

, X

( ),

p∈ 1,∞[ ) hoặc trên ε( ) = C0(, X) Khi đó toán tử G là Fredholm khi

và chỉ khi tồn tại các số thực a ≤ b sao cho hai điều kiện sau thỏa:

(i) Họ tiến hóa A có các phép lưỡng phân mũ với họ các phép chiếu

P{ }t− t ≤a và P{ }t+ t ≥b trên (−∞,a] và [b,∞) tương ứng

(ii) Toán tử nút N b,a( ) đi từ ker P a− vào ker P b+ được định nghĩa bởi công thức N b,a( )= I − P( b+)U b,a( )ker P a− là Fredholm

Thêm nửa, nếu G là Fredholm thì ta có các đẳng thức

dim ker G = dim ker N b,a( ), codim imG = codimimN b,a( ) và

indG = indN b,a( ) Đặc biệt các tính chất Fredholm của G không phụ

thuộc vào cách chọn không gian hàm ε( )

Nửa nhóm tiến hóa T = T t{ } ( ) t≥0 đề cập trong định lý I được định nghĩa trên L p(, X) , p∈ 1,∞[ ) hoặc C0(, X) bởi công thức

T t( )f

( ) ( )τ = U(τ,τ − t)f(τ − t), τ ∈, t ≥ 0; xem [4] Đó là nữa nhóm

liên tục mạnh và ta ký hiệu toán tử sinh của nó bởi G Toán tử G có thể

được mô tả bởi các thành phần của nghiệm yếu của phương trình tiến hóa

không thuần nhất như được chỉ ra trong bổ đề sau, xem [4, proposition 4.32]

Bổ đề II Một hàm u thuộc miền xác định domG của toán tử G trên

L p(, X), p∈ 1,∞[ ) tương ứng trên C0(, X), khi và chỉ khi

u ∈L p(, X)∩ C0(, X) tương ứng u ∈C0(, X) , và tồn tại một hàm số

u t( )= U t,τ( )u( )τ − U t,∫τt ( )σ f( )σ dσ với mọi t ≥τ trong  (**)

Định lý I đã được chỉ ra trong [8, thoerem1.1] với giả thiết thêm rằng

X là phản xạ và A có tính chất backward uniqueness (BU)

(BU.1): nếu u ∈C0(, X), u t( )= U t,( )τ u( )τ với mọi t ≥τ trong  ,

và u( )τ = 0 với τ ∈ nào đó thì u = 0

(BU.2): nếu v ∈C b w,*(, X*) , v( )τ = U t,τ( )*

v t( ) với mọi t ≥τ

trong  , và v( )τ = 0 với τ ∈ nào đó thì v= 0

Ta làm rõ rằng những tính chất này không đúng cho những họ tiến hóa bất

kỳ là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng parabolic Vài điều kiện đủ cho (BU) được biết đến cho các lớp phương trình đạo hàm riêng đặc biệt Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát thì rất khó để kiểm tra được (BU)

Trong phần 4 ta sẽ chỉ ra hai ví dụ mà G là fredholm mà (BU) là sai

Chứng minh của ta cũng chỉ ra rằng nếu A thỏa tính chất backward

uniqueness (BU) thì có thể chọn a = b = 0 trong định lý I, xem mệnh đề 4.7

Sử dụng phương pháp sai phân, kết quả này đã được chứng minh trong

[8, theorem 1.2] cho trường hợp X phản xạ Như chỉ ra trong ví dụ 4.9, ở định lý I, trường hợp a = b = 0 là sai nếu bỏ qua điều kiện (BU)

Chứng minh phần “nếu” của định lý I đã được đưa ra trong [8] mà không cần giả thiết về tính phản xạ và tính chất backward uniqueness Phần chính của luận văn này là loại bỏ các giả thiết trên trong chứng minh phần

“chỉ nếu” Không có các giả thiết này bài toán trở nên rộng lớn và phức tạp, cho nên các phương pháp sử dụng trong luận văn này các rất khác so với trong [8] Ta sử dụng cách tiếp cận như của Daletskii và Krein trong [5],

và Levitan và Zhikov trong [10], mà đôi khi gọi là “input-output method”

Trong [5] kỹ thuật này được dùng để mô tả đặc trưng tính ổn định

mũ của một họ tiến hóa A Ý tưởng cơ bản là để giải phương trình

có thể thấy rằng u t( )= −ϕ( )t U t, s( )x Nếu G là khả nghịch trên + có thể suy ra các ước lượng mũ cần thiết từ tính bị chặn của G−1 Một biến thể của của khảo sát này chỉ ra rằng các không gian con ổn định và không ổn định của A yield a time tùy thuộc vào phép phân hoạch của X nếu G là

khả nghịch trên  , dẫn đến một mô tả đặc trưng của phép lưỡng phân mũ trên  cho trong [10] Ta làm rõ phương pháp “input-output” rất khác cách tiếp cận sử dụng trong [2] và [4], ở đó công cụ chính cho việc xây dựng

phép lưỡng phân mũ trên  là phép chiếu Riesz của nữa nhóm sinh bởi G

Trong luận văn này ta tập trung xử lý tính Fredholm của toán tử G

Và cũng chỉ đạt được các phép lưỡng phân mũ của A (có thể rời nhau) trên các nữa dòng (−∞,a], [b,∞) , xem ví dụ 4.9 Cho nên ta phải nắm được

hình dáng của U t, s( ) tại a, b và đoạn giữa Để đạt được điều này trước tiên ta chia nhỏ bài toán (xem chương 1) Trong chương 2 ta xử lý các không gian con ổn định trên + và không ổn định trên − Những không gian này thì tương đối dễ giải quyết do chúng đã được tìm hiểu chi tiết trong các thành phần của A, xem (2.1) và (2.2) Khó khăn chính là cấu trúc của phần bù của các không gian này Ở đây ta cần vài phép phân hoạch của

X được cho trong bổ đề 2.6 Trong chương 3 ta xây dựng các phép lưỡng

phân trên [b,∞) và (−∞,a] bằng cách di truyền các “vết” của ker và co-ker

của G tại các điểm a và b (bổ đề 3.2 và bổ đề 3.7) Trong chương 4 ta làm

việc với toán tử “nút” để chỉ ra điều kiện (ii) trong định lý I, và các công thức cho các số khuyết Cũng trong chương này ta mô tả backward

uniqueness property theo các thành phần của các vết của ker G và coker G

và chỉ ra ta có được a = b = 0 trong định lý I nếu tính chất backward

uniqueness là đúng, xem mệnh đề 4.7

Chương1:

KÝ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA, KẾT QUẢ SƠ LƯỢC

Ta đặt + = t ∈ :t ≥ 0{ }, − = t ∈ :t ≤ 0{ }, + = n ∈ :n ≥ 0{ },

− = n ∈ :n ≤ 0{ }, ta dùng a để ký hiệu các số thực và n, m, j, k để ký

hiệu các số nguyên Ta viết c chung cho các hằng số (dương), A*,

domA, ker A, imA là liên hợp, miền xác định, hạt nhân, ảnh của toán tử A

trên không gian Banach X với không gian đối ngẫu là X* và A Y là hạn

chế của A trên không gian con Y của X Tập hợp các toán tử tuyến tính bị

chặn từ không gian Banach X vào không gian Banach Y ký hiệu là

B X,Y( ); B X, X( )=: B X( ) Với không gian con Y* ⊂ X* ta đặt

Y*⊥ = x ∈X : x,ξ = 0 :∀ξ ∈Y{ *} Nếu P, Q là 2 phép chiếu liên tục trên X

gian Banach thành các không gian con đóng với phần giao rỗng Với phép

phân hoạch này, mỗi A ∈B X( ) có thể biển diễn qua ma trận cấp 2:

C0(, X) là không gian các hàm liên tục f : → X triệt tiêu tại ±∞ ;

C b w,*(, X*) là không gian các hàm liên tục yếu sao bị chặn f : → X*,

L p(, X) là không gian ( các lớp tương đương) các hàm p-khả tích

Bochner f : → X với p∈ 1;∞[ ) Ta ký hiệu χM là hàm đặc trưng của tập

M Nếu ϕ( )k k∈ là một dãy số và x ∈X thì ϕ ⊗ x là ký hiệu dãy các phần

tử lấy giá trị trong X : ϕ( )k x k∈

Định nghĩa Fredholm operator Cho X và Y là các không gian Banach

Một toán tử tuyến tính bị chặn T : X → Y gọi là toán tử Fredholm nếu

(i) dim kerT < ∞

(ii) imT là đóng

(iii) dim cokerT < ∞ (nhắc lại rằng cokerT ≡ Y imT )

Nếu T là toán tử Fredholm thì chỉ số của T là số nguyên

indT = dim kerT − dim cokerT

Một họ tiến hóa A = U t,τ( )t≥τ trên một tập J ⊂  là một họ các toán tử U t,( )τ ∈B X( ); t ≥τ ; t,τ ∈J , thỏa:

U t,( )τ U( )τ,σ = U t,( )σ với mọi t≥τ ≥ σ và t, τ,σ ∈J

Nó được gọi là liên tục mạnh nếu ánh xạ t,( )τ  U t,( )τ x là liên tục với

mọi x ∈X và t≥τ trong J Nếu U t,( )τ ≤ Me w t( ) −τ với hằng số M ≥ 1,

w ∈ nào đó và mọi t≥τ trong J, thì A là bị chặn mũ

Định nghĩa ED Một họ tiến hóa A có một phép lưỡng phân mũ trên

J ⊂  nếu tồn tại các họ không gian con đóng {X s( )t }t ∈J và {X u( )t }t ∈J

của X sao cho:

Ta ký hiệu P t là phép chiếu vào X s( )t song song với X u( )t Nếu

J = b;∞[ ) hoặc J =  ∩ b;∞[ ) ta viết X s, u+ ( )t và P t+ tương ứng cho không gian con lưỡng phân và phép chiếu lưỡng phân; và nếu J = −∞;a( ] hoặc

J = Z ∩ −∞;a( ] ta viết X s, u− ( )t và P t− tương ứng cho không gian con lưỡng phân và phép chiếu lưỡng phân Nếu A là liên tục mạnh và bị chặn mũ trên

một khoảng không bị chặn J và i( )j − iii( )j thỏa thì hàm t  P t liên tục

mạnh và bị chặn đều trên J

Để chứng minh định lý I, ta thay toán tử G trong phát biểu định lý I

bằng toán tử sai phân D định nghĩa bởi biểu thức

chú ý vào chứng minh điều kiện cần của định lý I, nên suốt các chương 1-3

ta giả sử rằng D là toán tử Fredholm

Sau đây ta xét vài tính chất cơ bản của các không gian sau:

X n = x ∈X :∃ x{ ( )k k∈ ∈ker D : sao cho x = x n} (1.2)

ker D = x{ ( )n n∈ ∈ε( ) : x n = U n,m( )x m for all n ≥ m} (1.4)

với mọi n ≥ m Do những đồng nhất trên và tính Fredholm của D ta có

0≤ dim X n+1≤ dim X n ≤ dim ker D < ∞ và

0≤ dim X n,* ≤ dim X n+1,* ≤ dim ker D* < ∞với mọi n ∈

Vậy có a, b ∈ : a ≤ b để dim X n và dim X n,* là hằng với n ≤ a và n ≥ b

Không mất tổng quát ta có thể giả sử a = 0 và b ≥ 1 theo lý luận sau: với a ∈ xét họ tiến hóa liên tục mạnh A a định nghĩa bởi

U a( )t,τ = U t + a,( τ + a) với t ≥τ trong  , và toán tử dịch chuyển Sa trên

ε( ) định bởi S a( )x n n∈ = x( )n +a n∈ Nếu D a là toán tử sai phân liên kết với Aa như ở (1.1) thì D a = S a DS a−1 và vì thế D a và D có cùng tính Fredholm Cho nên chọn a thích hợp ta có:

Bổ đề 1.1 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó dim X n ≤ dim ker D < ∞ và

dim X n,* ≤ dim ker D* < ∞ với mọi n ∈ và các khẳng định sau đúng:

(i) U n, m( )X m = X n với mọi n ≥ m

(ii) U n, m( )*

X n,* = X m,* với mọi n ≥ m

(iii) U n, m( )X m : X m → X n là khả nghịch nếu m ≤ n ≤ 0 hoặc

(vi) x ∈X m,*⊥ nếu và chỉ nếu U n, m( )x ∈X n,*⊥ , với n ≥ m trong 

Chứng minh Như ta đã xem xét, từ (1.4), (1.5) khẳng định đầu tiên và phát

biểu (i), (ii) là đúng Khẳng định (iii), (iv) là đúng do giả thiết 1 và các khẳng định trước Để chứng minh (v), lấy x = x( )k k∈ ∈ker D,

trên các không gian này các ánh xạ D0 := D F

0 và D b,*:= D F

b ,*

* có những tính

chất tốt hơn các ánh xạ D và D*,tương ứng, như phát biểu trong bổ đề sau

Bổ đề 1.2 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng:

(i) F là D -bất biến và D F : F → F là toàn ánh

cần chỉ ra rằng F ⊆ imD Do D là Fredholm nên miền giá trị của nó là

đóng Vì thế imD là tập các x ∈ε( ) sao cho x,ξ = 0 với mọi

ξ ∈ker D* Để chứng minh F ⊆ imD cần chứng minh x⊥ξ với mọi

x = x( )n n∈ ∈F và ξ = ξ( )n n∈ ∈ker D*.Điều này có do định nghĩa của X n,*

và F Tiếp theo, cố định y = y( )n n∈ ∈F ⊆ imD, ta lấyx = x( )n n∈ ∈ε , X( )

sao cho Dx = y , tức là sao cho với mọi n ∈, k ∈ đẳng thức sau là đúng:

với mọi n ∈ Cố định ξ∈X n,* và lấy dãy

ξ( )n n∈ ∈ker D* sao cho ξ =ξn Do (1.5) ta có U n,n( − k)*

ξn =ξn −k Do

y = y( )n n∈ ∈F, ta có U n,n( − j)y n − j ∈X n,*⊥ và U n,n( − j)y n − j,ξn = 0 Khi đó: x n,ξn = x n −k ,U n,n( − k)*

do x n −k → 0 khi k→ ∞ và A bị chặn mũ Suy ra (i)

(ii) Từ (i), mỗi z = z( )n n∈ ∈F tồn tại y = y( )n n∈ ∈F sao cho

Dy = z Do định nghĩa của F ta có y n ∈X n,*⊥ Sử dụng phân hoạch

X0,*⊥ = X0 + X0' được y0 = y + y' với y ∈X0 và y' ∈X0' Theo định nghĩa của

X0, tồn tại ( )w n n∈ ∈ker D sao cho w0 = y Lấy x n = y n − w n với mọi

n ∈ Do y n ∈X n,*⊥ và w n ∈X n ⊂ X n,*⊥ ta suy ra x = x( )n n∈ ∈F Và

x0 = y0 − w0 = y0 − y ∈X0

' nên x ∈F0 Do ( )w n n∈ ∈ker D, ta cũng có

Dx = Dy = z Lấy x ∈F0 và x ∈ker D Do định nghĩa của X n ta có

x n ∈X n với mọi n ∈ và đặc biệt x0 ∈X0 Nhưng do x ∈F0 nên x0 ∈X0

'

Suy ra x0 = 0 Do x ∈ker D , theo (1.4) ta có x n = U n,0( )x0 = 0 với mọi

n ≥ 0 Cũng từ (1.4) thì 0 = x0 = U 0,n( )x n với n< 0 Theo bổ đề 1.1(iii) thì U 0,n( )X n : X n → X0 với n < 0 là khả nghịch Suy ra x n = 0 với n < 0

Suy ra (ii)

(iii) Để chứng minh (iii) ta phải kiểm tra rằng D b,* : F b,*→ε ( )*

là đơn ánh và có miền giá trị đóng Nếu ξ = ξ( )n n∈ ∈ker D b,* thì

ξn = U b,n( )*

ξb = 0 với n ≤ b và U n,b( )*

ξn =ξb = 0 với n ≥ b bởi (1.5)

Từ bổ đề 1.1(iv) có ξn = 0 với n ≥ b , suy ra D b,* là đơn ánh Tiếp theo lấy

η= limn→∞D b,*ξn với ξn ∈F b,* Do D* là Fredholm, imD* là đóng nên ta có

ζ ∈ε ( )*

để η = D*ζ Hơn nữa tồn tại một toán tử D† ∈B( )ε ( )* và một

toán tử R có hạng hữu hạn sao cho D†D* = I + R và imR ⊆ ker D* Chú ý rằng D*(ζ − ξn)→ 0 khi n→ ∞, ta có được ζ −ξn + w n → 0 khi n→ ∞

với w n = R(ζ − ξn)∈ker D* Chuyển qua thành phần của dãy ta có

(i) Có x1, x2, , x d ∈X sao cho x i,ξj =δij với mọi i, j ∈ 1, ,d{ }

(ii) Cho v1,v2, ,v d ∈V thỏa v i,ξj =δij với mọi i, j ∈ 1, ,d{ } và lập W = span v{ 1,v2, ,v d} Khi đó: V = V ∩Y( *⊥)⊕W

(iii) codimY*⊥ = d < ∞

Chứng minh (i) Rõ ràng (i) là đúng nếu d= 1 Giả sử (i) đúng với

d ∈nào đó và lấy {ξ1, ,ξd,ξd+1} là hệ các vectơ độc lập tuyến tính Ta chứng minh bằng phản chứng rằng

Điều này vô lý nên (1.10) đúng Do đó tồn tại x d+1∈d i=1

W ⊆ V Nếu x ∈ V ∩Y( *⊥)∩W thì có λ1, ,λd ∈ sao cho x= d j=1λj

với mọi i ∈ 1, ,d{ } và do đó: (V ∩Y*⊥)∩W = 0{ } Nên (ii) đúng

(iii) Khẳng định (iii) có được do (i) và (ii) 

Bổ đề 1.4 Cho ( )a n n∈+là một dãy các số dương và ( )b n n∈+ ∈c0(+,+)

sao cho a n +m ≤ b n a m với mọi n, m ∈+ thì có N,v> 0 chỉ phụ thuộc vào

b n

( )n∈+ sao cho a n +m ≤ Ne −vn a m với mọi n, m ∈+

Chứng minh Lấy n0 ∈+ sao cho b n o < e−1, đặt N = e max b( { 0, ,b n o}+1),

Chương 2:

ƯỚC LƯỢNG LƯỠNG PHÂN TRÊN CÁC KHÔNG GIAN CON ỔN

ĐỊNH TRÊN + VÀ CÁC KHÔNG GIAN CON KHÔNG ỔN ĐỊNH

sau chỉ ra rằng trong trường hợp n= 0 , các không gian trên nói chung là

không tương thích với nhau

Bổ đề 2.1 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng:

(i) X s+( )0 + X u−( )0 = X0,*⊥

(ii) X s+( )0 ∩ X u−( )0 = X0

Chứng minh (i) Lấy

Cho k→ −∞ ta suy ra x ∈X0,*⊥ Vì vậy: X s+ + X u− ⊆ X0,*⊥

Giả sử x ∈X0,*⊥ thì dãy y= −χ{ }1 ⊗U 1,0( )x thuộc vào F theo (1.7)

và bổ đề 1.1(vi) Do bổ đề 1.2(i) có một dãy x = x( )n n∈ ∈F với Dx = y Đẳng thức này chứng tỏ x1−U 1,0( )x0 = y1 = −U 1,0( )x và

x n −U n,1( )x1= y n = 0 với n ≥ 2 Ta suy ra U n,0( ) (x − x0)= −x n với n≥ 1

( )n∈ + ∈ε( )+ theo (2.1); và có một dãy ( )x n n∈ − ∈ε( )− sao cho

x = x0và x n = U n,m( )x m với mọi m ≤ n ≤ 0 theo (2.2) Dễ kiểm tra rằng

x n = U n,m( )x m với mọi n ≥ m trong , và như thế x ∈X0 bởi (1.2) và (1.4) Vậy X s+( )0 ∩ X u−( )0 ⊆ X0 Bao hàm thức ngược lại có trực tiếp từ

định nghĩa của X0, X s+( )0 , X u−( )0 trong (1.2), (2.1), (2.2) 

Lưu ý 2.2 Sử dụng những ý tương tự trong chứng minh phần (i) của bổ đề

2.1, ta có X s+( )k ⊆ X k,*⊥ với mọi k≥ 0 và X u−( )k ⊆ X k,*⊥ với mọi k≤ 0 

Ta gới thiệu các dãy sau với n ∈+ và p∈ 1,∞[ )

Lưu ý 2.3 Ta nêu vài tính chất hiển nhiên của các dãy trên

(i) αnβn = n +1 với mọi n ≥ 0 ;

Bây giờ ta có thể thiết lập ước lượng lưỡng phân của U s+( )n, m cho

n ≥ m ≥ 0 cũng như tính khả nghịch của U u−( )n, m và ước lượng lưỡng

phân của U u−(n, m)−1

với m ≤ n ≤ 0

Bổ đề 2.4 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng:

(i) Có các hằng số N,v> 0 sao cho: U s+(n, m) ≤ Ne −v n−m( ) với mọi

n ≥ m ≥ 0

(ii) X s+( )m là không gian con đóng của X với mọi m≥ 0

Chứng minh (i) Cho m≥ 0 , x ∈X s

+( )m và

ϕ( )k k∈ là dãy số có giá hữu hạn ta định nghĩa dãy x = x( )k k∈ và y = y( )k k∈ bởi

lưu ý 2.2 và (2.3) chứng tỏ rằng x ∈F0, xem (1.8) Có thể kiểm tra trực tiếp

rằng y = Dx = D0x Trước tiên ta lấy ( )ϕk k∈ =χ{m+1} Bổ đề 1.2(ii) và tính

bị chặn mũ của họ tiến hóa A cho ta :

Tiếp theo ta lấy n > l > m và đặt ( )ϕk k∈ =χ{l, ,n} Với x và y định nghĩa

trong (2.5), từ ước lượng (2.6), lưu ý 2.3, và bổ đề 1.2(ii) ta có :

+( )m , với b0 = 1

và b j = c j + 2( )−1

; j ≥ 1 Do bổ đề 1.4 , có các hằng số N,v> 0 sao cho

U n, m( )x ≤ Ne −v n−l( ) U l, m( )x với mọi n ≥ l ≥ m ; x ∈X s+( )m , suy ra (i)

(ii) Khẳng định (ii) suy ra dễ dàng từ (i) và (2.1) 

Bổ đề 2.5 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng:

(iii) X u−( )k là không gian con đóng của X với k≤ 0

Chứng minh (i) Cố định m ≤ n ≤ 0 , tính toàn ánh của U u−( )n, m đã có ở (2.4) Lấy x ∈X u

−( )m với 0= U u

−( )n, m x = U n,m( )x Bởi (2.2) có một dãy

x = x( )k k∈− ∈ε( )− sao cho x k = U k, j( )x j với mọi j ≤ k ≤ 0 và x = x m

Ta mở rộng x thành dãy trong ε( ) bằng cách đặt x k = 0 với k > 0 Từ

x0 = U 0,n( )U n, m( )x = 0 ta có dãy x ∈ker D Cho nên x ∈X m bởi (1.2)

Bổ đề 1.1(iii) cho ta x= 0 ; nên (i) được chứng minh

(ii) Lấy w = w( )k k∈− ∈ε( )− với w k = U k, j( )w j với mọi j ≤ k ≤ 0 Cho

ϕ( )k k∈ ⊆  có giá hữu hạn Ta định nghĩa x = x( )k k∈ và y = y( )k k∈

(xem (1.8), (2.2), và lưu ý 2.2) hơn nữa, y = Dx = D0x Cho m ≤ n −1 < 0

và chọn ( )ϕk k∈ = χ{ }n Bổ đề 1.2(ii) cho ta:

w m = x m ≤ x ε ( ) ≤ c y ε ( ) = c w n (2.8) Tiếp theo lấy ( )ϕk k∈ =χ{m +1, ,n} Từ ước lượng (2.8), bổ đề 1.2(ii) và lưu ý 2.3 ta có :

m ≤ n ≤ 0 Vậy ta rút ra (ii) từ định nghĩa của w = w( )k k∈ và (i)

(iii) Do (i) và (ii) có thể coi k = 0 Lấy x ∈X và x( )n ∈X u−( )0 ,

n ∈+, với x( )n → x khi n→ ∞ Cho y( )n = y( )k( )n k∈ −

y( )n − y( )m

ε  ( ) ≤ c x( )n − x( )m với mọi n, m≥ 0 Tồn tại dãy y = y( )k k∈ − ∈ε( )− với y( )n → y trong ε ( )− khi n→ ∞ Điều đó kéo theo y k = U k, j( )y j với mọi j ≤ k ≤ 0 và y0 = x , nghĩa là

x ∈X u−( )0 

Để chuẩn bị cho phần sau ta xây dựng vài phép chia của X Nhắc lại

từ bổ đề 1.1 rằng X0,* là hữu hạn chiều, và gọi {ξ0( ) 1, ,ξ0( )d0 } là một cơ sở

của X0,* Bởi bổ đề 1.3 có một hệ các vectơ {x0( )1, , x0( )d0 }⊆ X sao cho

Để liên hệ các không gian này với X s+( )0 và X u−( )0 ta giới thiệu các không gian con :

Z1= X0' ∩ X s+( )0 và Z2 = X0' ∩ X u−( )0 (2.10)

Bổ đề 2.6 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng:

(i) X s+( )0 = Z1⊕ X0 và X u−( )0 = Z2 ⊕ X0

(ii) X0' = Z1⊕ Z2

(iii) X = X s+( )0 ⊕ Z( 2⊕Y)= X u−( )0 ⊕ Z( 1⊕Y)

Chứng minh (i) Ta đã thấy trong bổ đề 2.4(ii) và bổ đề 2.5(iii) rằng

X s+( )0 và X u−( )0 là các không gian con đóng của X Do X0' cũng là một

không gian con đóng của X , không gian Z1 và Z2 là đóng trong X Ta có

Z1∩ X0 = 0{ } và Z1⊂ X s+( )0 bởi (2.10) và (1.6) Bổ đề 2.1(ii) cho

(ii) Đồng nhất (2.10) , bổ đề 2.1(ii) và (1.6) cho ta

Z1⊆ X0

' , Z2 ⊆ X0

' và

Z1∩ Z2 = X0' ∩ X s+( )0 ∩ X u−( )0 = X0' ∩ X0 = 0{ } Cho x ∈X0

' thì từ (1.6) và bổ đề 2.1(i) ta có x ∈X0,*⊥ = X s+( )0 + X u−( )0 Nên

từ khẳng định (i) ta có z1∈Z1, z2 ∈Z2 và v1, v2 ∈X0 sao cho

x = z1+ z2 + v1+ v2 Sử dụng lại Z j ⊆ X0' ta được v1+ v2 = x − z1− z2 ∈X0

' Nên v1+ v2 ∈X0' ∩ X0 = 0{ } Ta đã chỉ ra X0' ⊆ Z1 + Z2 và sự phân hoạch thỏa

(iii) Không gian Z1⊕Y và Z2 ⊕Y là không gian con đóng của X

do Z1 và Z2 là đóng trong X bởi (i) và dimY < ∞ bởi (2.9) Ta suy ra

X = X0 ⊕ Z1⊕ Z2⊕Y từ (2.9), (1.6) và (ii) Nên (iii) rút ra từ (i) 

Chương 3:

PHÉP LƯỠNG PHÂN MŨ TRÊN Z+ ∩ b,∞[ ) VÀ Z−∩ −∞,a( ]

Khó khăn chính của việc thiết lập phép lưỡng phân trên Z+ ∩ b,∞[ )

là cấu trúc chính xác của phần bù của không gian con ổn định X s+( )k Nhằm mục đích này, trước tiên ta liên kết với “phần tốt” của X u+( )k bằng

cách di truyền không gian Z2 từ (2.10) Ta đặt

Z2( )k = U k,0( )Z2 với k ∈Z+ (3.1)

Chú ý rằng, theo (2.10), một vectơ x ∈Z2 có thể được di truyền về sau tới một phần tử ( )x n n∈− ∈ε( )− với x = U 0,n( )x n, nhưng dãy này không thể

mở rộng thành một phần tử khác không của ker D Những điều này được

thể hiện trong kết quả sau

Bổ đề 3.1 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đây đúng:

(i) U n, m( )Z2( )m là song ánh từ Z2( )m vào Z2( )n với mọi

n ≥ m ≥ 0

(ii) Có các hằng số N,v> 0 sao cho

U n, m( ( )Z2( )m )−1

≤ Ne −v n−m( ) với mọi n ≥ m ≥ 0 (iii) Z2( )k là không gian con đóng của X với mọi k ≥ 0

Chứng minh (i) Định nghĩa (3.1) kéo theo U n, m( )Z2( )m = Z2( )n với mọi

n ≥ m ≥ 0 Lấy x ∈Z2( )m với U n, m( )x= 0 Bởi (3.1) tồn tại một vectơ

z2 ∈Z2 sao cho x = U m,0( )z2 Bởi vì:

U j,0( )z2 = U j,n( )U n, m( )U m,0( )z2 = U j,n( )U n, m( )x= 0

với mọi j ≥ n , ta có z2 ∈X s+( )0 (xem(2.1)) Bổ đề 2.6(iii) chỉ ra rằng

z2 = 0 , và như thế x = 0 Cho nên U n,m( ): Z2( )m → Z2( )n là song ánh

(ii) Lấy z2 ∈Z2 \ 0{ } Bởi (2.10) và (2.2) nên ta có một dãy

w = w( )k k∈− ∈ε( )− sao cho w k = U k, j( )w j với mọi j ≤ k ≤ 0 và

w0 = z2 Cho ϕ( )k k∈ là một dãy số giá hữu hạn Định nghĩa x = x( )k k∈ và

x ∈ε( ) và w0 = z2 ∈X0' bởi (2.10), vectơ x thuộc vào F0 (xem (1.8))

Hơn nữa y = Dx = D0x Cho n > m ≥ 0 Trước tiên chọn ( )ϕk k∈ =χ{ }n Thì bổ đề 1.2(ii) cho ta

U m,0( )z2 = x m ≤ x ε ( ) ≤ c y ε ( ) ≤ c U n,0( )z2 (3.2) Tiếp theo, lấy ( )ϕk k∈ = χ{m +1, ,n} trong trường hợp này, ước lượng (3.2), lưu ý 2.3 và bổ đề 1.2(ii) cho ta

≤ cα n −m−1βn −m−1 U n,0( )z2 = c n − m( ) U n,0( )z2

Cho nên U m,0( )z2 ≤ c

n − m +1 U n,0( )z2 , đặc biệt U n,0( )z2 ≠ 0 với

mọi n ≥ m ≥ 0 Áp dụng bổ đề 1.4 cho các dãy a n = U n,0( )z2 −1 và

b n = c n +1( )−1 ta có các hằng số N,v> 0 (không phụ thuộc z2) sao cho

U m,0( )z2 ≤ Ne −v n−m( ) U n,0( )z2 với mọi n ≥ m ≥ 0 Sử dụng (i), ta có

thể tính được (ii) đúng

(iii) Bởi U k,0( )Z2( ) 0 : Z2( )0 → Z2( )k đẳng cấu do (i) và (ii), khẳng

định cuối cùng có được do (3.1) và tính đóng của Z2 được chứng minh trong bổ đề 2.6(i) 

Tiếp theo ta giới thiệu phần bù còn lại của không gian con không ổn định Cho {ξb( ) 1, ,ξb( )d b } là một cơ sở của X b,* (xem bổ đề1.1) Bởi bổ đề 1.3(i) có các vectơ x b( )1 , , x b( )d b trong X sao cho x b( )i ,ξb( )j =δij với mọi

Do đó Z2( )b ∩Y+( )b = 0{ } Hơn nữa Z2( )b là đóng bởi bổ đề 3.1(iii) nên

ta có thể định nghĩa một không gian con đóng của X bởi :

X u+( )b = Z2( )b ⊕Y+( )b (3.5) Dưới đây ta sẽ thấy rằng X u+( )b thật sự là không gian con không ổn định

Ta di truyền các không gian này bởi họ tiến hóa Ta đặt

X u+( )k = U(k,b)X u+( )b và Y+( )k = U k,b( )Y+( )b (3.6)

với mọi k ≥ b Cuối cùng ta đặt U u+( )n, m = U n,m( )X u+( )m với n ≥ m ≥ b Ở đây lấy k ≥ b theo thứ tự để đảm bảo rằng dim X k,* và như thế dimY+( )k

là hằng số

Bổ đề 3.2 Cho giả thiết 1 thỏa, khi đó các khẳng định sau đúng:

(i) X u+( )k là đóng trong X và X u+( )k = Z2( )k ⊕Y+( )k với mọi

k ≥ b

(ii) X u+( )n, m là khả nghịch từ X u+( )m vào X u+( )n và U n, m( )Y+( )m

là khả nghịch từ Y+( )m vào Y+( )n với mọi n ≥ m ≥ b

(iii) X = Y+( )k ⊕ X k,*⊥ với mọi k ≥ b

Chứng minh (i) Cho w ∈Z2( )k ∩Y+( )k với k ≥ b nào đó Thì

w = U k,b( )x với một vectơ x ∈Z2( )b ∩Y+( )b theo bổ đề 3.1(i) và (3.6)

Nên đẳng thức (3.5) suy ra x = 0 và vì thế w = 0 Hơn nữa Z2( )k ⊕Y+( )k

là đóng bởi Z2( )k là đóng theo bổ đề 3.1(iii) và Y+( )k là hữu hạn chiều bởi (3.3) Khẳng định (i) là hệ quả của (3.6), (3.5) và bổ đề 3.1(i)

(ii) Cho n ≥ m ≥ b Tính toàn ánh của U n, m( ): X u+( )m → X u

+( )n và của U n, m( ):Y+( )m → Y+( )n ta có được từ (3.6) Lấy x ∈X u+( )m thỏa

U u+( )n, m x = 0 Bởi định nghĩa (3.6), (3.5) và (3.1) có các z2 ∈Z2 và

y b ∈Y+( )b sao cho x = U m,b( ) (U b,0( )z2 + y b) Cho nên ta có được

0= U n,m( )x = U n,0( )z2 +U n,b( )y b Mặt khác U n,0( )z2 ∈X n,*⊥ bởi (3.4) Với ξ = ξ( )k k∈ ∈ker D* đẳng thức (1.5) cho

y b,ξb = y b ,U n,b( )*

ξn = U n,b( )y b,ξn = − U n,0( )z2,ξn = 0