CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN 1/ Chứng minh dãy số u n có giới hạn 0... BÀI TẬP Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B.. * Bài 2: Cho hình chóp
Trang 1TRƯỜNG THPT PHAN BỘI CHÂU
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2015 - 2016
A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (u n ) có giới hạn 0
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |u n | ≤ v n , n và lim v n = 0 thì limu n = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim1 0
1
1
n
q với |q| < 1
2/ Tìm gi ới hạn của dãy s ố, của hàm số.
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limun = + thì lim 1 0
n
u
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:
0
lim
x x f x
0
xx f x
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1 xlimx0C C (C = const)
limun limvn = L lim(unvn)
vn
lim n n
u v
L >0
0
)
(
lim
0
x
f
x
0
x g x
0
x g x f x x
) ( lim
0
x f x
0
x g x x
Dấu của
) ( lim
0 g x
x f
x x
L > 0
0
Giáo viên : HỒ MẠNH TIẾN
Trang 22 Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì lim ( )0 ( )0
x x f x f x
3
0
1
xx x (với n > 0)
- Khử dạng vô định 0
0;
;
Ghi chú: * Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
3 3 a b là 3 a2 3a b b 2 4 3 a b là 3 a2 3 a b b 2
Bài toán 1 Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
2
8n 3n
lim
n
2/ lim2n2 23n 1
n 2
3/ lim n 1 n 2 1 4/ lim 3 4 1
n n
n n
Giải:
2
n n
2
2
2/
2
2
3 1 2
n
n n
n n
=lim
2 1 2
1 2
4
1 1 4
3
n
n n
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: u 1
S ,| q | 1
1 q
Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Ví dụ: Tính tổng S 1 1 12 1n
Giải: Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1
2
và u 1 1 Vậy: 1
1
1 q 1
2
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
1) Lim
3
3
) 3 2 )(
2 1 (
n
n n
3
3 1
2
n
n n
4) lim
2 5 2
3
3
3 2
n n
n n
7 5
3 3 4 2
3
2 3
n n
n n n
3
) 1 3
(
) 2 3 ( )
1
(
n
n n
n n
5 3 2
5 4
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
3
3 2
a
n n
3 2
) lim
b
n
) lim
n c
5
) lim
n n d
2
) lim
1 2
n n
e
n
) lim
n n
n n
) lim
n n
n n
) lim
2
h
n
) lim n
i u với
n
u
n n
ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25 e) -1 f) -2/3 g) -1/2 h) 1 i) 1
Bài 4 : Tính các giới hạn sau:
Trang 3a n n b) lim( 2 n4n2 n3) c) lim 3 n2nsin 2n d) lim 3n2 n 1
) lim 2.3n 5.4n
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) - g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3
1
n n
3/
n 1 n
1
Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
a)
1
n
1
n
ĐS: a) 2/3 b) 3/2
Bài 7: Tính các giới hạn sau:
2
x x
3
1 lim
2
x
x x
3
lim
3
x
x x
1 lim
x
x x
5, xlim ( x3x2 x1) 6,
2 2 1
lim
x
x x
7 3
x
x x
3
3 2
lim
1
x
x x
x
x
0
1
x x x
x x x x
x x x x
1
3 lim
x
x
3
lim
x
15,
3
0
lim
x
x
x
16,
2
2 2 lim
7 3
x
x x
7
lim
49
x
x x
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
):
a)
3
lim
x
3
lim
x
x x
3 2 2
lim 3
x
x x
x x
d)
lim
x
2
) lim
x
x e
2 5
x
x
ĐS: a) -1/2 b) - c) - d) - e) 0 f) -1/5 Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a) xlim ( 2 x3 x2 3x1) b) xlim ( x4x35x 3) c) lim 4 2 2
x x x
x x x
x x x x
x x x x
ĐS: a) + b) - c) + d) + e) - f) + Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
a)
3
1
lim
3
x
x
x
2
4
1 lim
4
x
x x
c)
3
lim
3
x
x x
d)
2
lim
2
x
x x
0
2 lim
x
x x
x x
f)
1
lim
1
x
x x
ĐS: a) - b) - c) + d) + e) 1 f) +
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0
0):
Trang 4a/ 2
3
9
lim
3
x
x
x
1
lim
1
x
x
3
3 lim
x
x
1
1 lim
1
x
x x
1
lim
x
x x
f) lim2 2
7 3
x
x
x
g)
2
3
9 lim
1 2
x
x x
h)
4
lim
2
x
x x
i)
1
2 1 lim
5 2
x
x x
k)
2
2
lim
2
x
x
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0
Bài 12 *: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0 ):
1
x
x x
x
3
3
x
x x
x
2 2
2
x
x x
x
ĐS: a) -1 b) 0 c) + d) 0 Bài 13 *: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng - ):
a) lim 2 1
b) lim 2 2 2 1
x x x x
x x x x
x x x x
ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2
4/ Xét tính liên tục của hàm số
* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
( ) ( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); lim ( )
0
x f x x
B3: lim ( )
0
x
f
x
x = f(x0) KL liên tục tại x0
( ) ( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0 Để c/m PT có k nghiệm trên a b :;
B1: Tính f(a), f(b) f(a).f(b) < 0
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên a b;
Ví dụ:CMR phương trình x73x5 2 0 có ít nhất một nghiệm Xét hàm số f x x73x5 2 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1] Và
f
f
Nên phương trình f x có ít nhất một nghiệm 0 x 0 0;1, vậy bài toán được chứng minh
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
1,
2 4
2
x
voi x
f x x
voi x
tại x = -2 2, f(x) =
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3
tại x = 3
3,
( )
x voi x
f x
x voi x
2 2 1 )
(
x
x x
f ,, 11
x
x
tại x = 1
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
Trang 5a)
2 4
-2
4 -2
x
khi x
f x x
khi x
khi x<3
5 khi 3
x
tại x0 = 3
c)
2
1
7 1
khi x
khi x
3
3 3
x
khi x
khi x
tại x0 = 3
e/
2 2
2 2 2
x
khi x
f x x
khi x
tại x0 = 2 f)
2
3 4 2
x
khi x
tại x0 = 2
ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 3: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0
a)
1 1
1
x x
khi x
f x x
a khi x
với x0 = -1 b)
2
1 ( )
2 3 1
x khi x
f x
ax khi x
với x0 = 1
c)
7 3
1 2
x
khi x
với x0 = 2 d)
2
3 1 1 ( )
2 1 1
x khi x
f x
a khi x
ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2 Bài 4:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 3
2x 10x 7 0 b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: 3
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2)
d) Chứng minh phương trình x2sinx x cosx có ít nhất một nghiệm 1 0 x00;
e) Chứng minh phương trình m x 1 3 x 22x 3 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 8:
a) x4 5x có ít nhất một nghiệm.2 0 b) x5 3x 7 0 có ít nhất một nghiệm
c) 2x3 3x2 có ít nhất một nghiệm5 0 d)2x310x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm
g) x33x21 0 có 3 nghiệm phân biệt
h) 1 m2 x13x2 x 3 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m
i) m x 13x2 4x4 3 0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m
Trang 6CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
sè )
n
2
(x0)
2
(U 0)
)
x
2
2 U
x gx
x tg x
tgx
x x
x x
2 2
/
2 2
/
/ /
cot 1 sin
1 cot
1 cos 1
sin cos
cos sin
2 /
/ 2 /
/ /
/ /
sin
1 cot
cos
1
sin cos
cos sin
U U gU
U U tgU
U U U
U U U
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
U V U V UV U V UV (k.U) k.U (k là hằng số)
2
- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g'x = f ' u U x
- Đạo hàm cấp cao của hàm số Đạo hàm cấp 2 : f "(x) = f(x)' '
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x 0 ) (x – x 0 ) + f(x 0 )
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df x( )0 f x'( ).0 x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f x( 0 x)f x( )0 f x'( )0 x
- Vi phân của hàm số: df x( )f x dx'( ) hay dyy dx'
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x2 + x ; x0 = 2 b) y =
x
1
1
1
x
x
; x0 = 0 d) y = x - x; x0 = 2
e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y =
1
1 2
x
x
; x0 = 3 g) y = x.sinx; x0 = π
3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 = π
3 i) Cho f(x) 3x1, tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(π)
m) Cho f x x 10 6. TÝnh f '' 2 l)f x sin 3x Tính ; 0
f '' f '' f ''
Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
Trang 71 3 2 1
2
2 5
x
10
x x
y
y 6.y (x2 5 ) 3 7.y (x2 1 )( 5 3x2 ) 8
1
2
2
x
x
y 9
4 2
5 6
2 2
x
x x
1
3 5
2
x x
x
1 2
3 2
2
x
x x
y 15)y (x 7x)2 16) y x 2 3x 2
1 x
18) y 1
x x
1 x 20/ y=
x
x
1
1
21/ y= (2x+3)10 22/ y= x(x2- x+1) 23/ y= (x2+3x-2)20
Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y = 5sinx - 3cosx 2) y = x.cotx 3) y cosx sin 2 x 4) y = cos ( x3 ) 5)y 3 sin 2 x sin 3x
6)
2
sin 4 x
y 7) y cot (2x3 )
4
8) y 2 tan x 2 9) y = sin4 p- 3x
10) 1 cos2
2
x
y 11)y ( 1 cotx) 2 12) y cot 1 x 3 2 13) y= sin(sinx)
14) y sin (cos3x) 2 15)
x x
x x
y
cos sin
cos sin
x
x y
sin 2
sin 1
1
x
y
18) y xsin x
1 tan x
19) y sin x x
x sin x
20) y tanx 1
2
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
d
cx
b
ax
y
e dx
c bx ax y
2
p nx mx
c bx ax y
2
Áp dung:
1 2
4 3
x
x
1 2
2
2
x
x x
3 2
4 3
2 2
x x
x x y
Bài 5: Cho hai hàm số : f x( ) sin 4xcos4 x và ( ) 1cos 4
4
g x xChứng minh rằng:f x'( )g x'( ) ( x )
Bài 6: Cho 3 3 2 2
y Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3
ĐS: a) 0
2
x x
Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
Bài 8: Cho hàm số f(x) 1 x Tính : f(3) (x 3)f '(3)
2
x 3
y ; CMR :2y' (y 1)y"
x 4 b) y 2x x ; CMR : y y" 1 0 2 3 c) Cho hàm số y =
x cos x sin 1
x cos x
; CMR: y’' = - y d) Cho y = x 4
3 x
; CMR: 2(y’)2 =(y -1)y’’
x sin 1
x cos
2 2
3 ) 4
(
'
f
3
)
4
g) Chứng tỏ hàm y = acosx + bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
h) Cho hàm số:
2
2 2
2
Bài 10: Chứng minh rằng '( ) 0 f x x , biết:
Trang 8a/ ( ) 2 9 6 2 3 3 2 6 1
3
f x x x x x x b/ ( ) 2f x xsinx
Bài 11: Cho hàm số 2
2
x x y
x
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = - 1
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1
Bài 12: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2
Bài 13: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x 3 5x22 Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2)
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =1
7x – 4.
Bài 14: Cho đường cong (C): 2
2
x y x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng 1
3
c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 15: Tính vi phân các hàm số sau:
2 sin 4 x
y d) y cosx sin 2 x e) y ( 1 cotx) 2
Bài 16: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
2
x
y
x
2) 22 1
2
x y
x x
3) 2
1
x y x
4) y x x 2 1 5) y x 2sinx 6) y (1 x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x
ĐS: 1)
3
6 ''
2
y
x
3 2
''
2
y
x x
2
3 2
''
1
x x y
x
3
''
y
5) y''2 x2sinx4 cosx x 6) y'' 4 sin x x(x2 3)cosx 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Trang 9B HÌNH HỌC
I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 900
Phương pháp 2: a b u v 0 (u v , lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
Phương pháp 3: Chứng minh a ( ) b hoặc b ( ) a
Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a b a b ' với b’ là hình chiếu của đt b lên mp chứa đt a)
Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
Phương pháp 1: Chứng minh: d a và d b với a b = M; a,b (P)
Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a (P)
Phương pháp 3: Chứng minh: d (Q) ) (P), d a = (P) (Q) )
Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ) (R) và (Q) ) (P), (R) (P).
Dạng 3 : Chứng minh hai mp (P) và (Q) ) vuông góc.
Phương pháp 1: Chứng minh (P) a (Q) ).
Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) (Q) ).
Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a (Q) ).
Dạng 4 : Tính góc giữa 2 đt a và b.
Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’)
Dạng 5 : Tính góc giữa đt d và mp(P).
Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là
+) Nếu d (P) thì = 900
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó: = (d,d’)
Dạng 6 : Tính góc giữa hai mp (P) và (Q) ).
Phương pháp 1:
- Xác định a (P), b (Q) )
- Tính góc = (a,b)
Phương pháp 2: Nếu (P) (Q) ) = d
- Xác định a = (R) (P)
- Xác định b = (R) (Q) )
- Tính góc = (a,b)
Dạng 7 : Tính khoảng cách.
Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d M a ( , ) MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
Tính khoảng giữa đt và mp (P) song song với nó : d(, (P)) = d(M, (P))(M là điểm thuộc )
Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a b :
Trang 10- Dựng (P) a và (P) b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P) a và (P) // b
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P) b’ // b, b’ a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 3:
- Dựng đt (P) a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O)
- Kẻ IK b’ tại K
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
II BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA (ABC)
a) Chứng minh: BC (SAB)
b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH SC
* Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông SA (ABCD) Chứng minh rằng:
a) BC (SAB) b) SD DC c) SC BD.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC Gọi I là trung điểm của BC
a) Chứng minh: BC AD
b) Gọi AH là đường cao của ADI Chứng minh: AH (BCD)
* Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2
a) Chứng minh SO (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB CD, BC AD Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD b) AC BD.
* Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3, SA (ABCD)
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
* Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA (ABCD) Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên SB, SD
a) Chứng minh BC (SAB), BD (SAC).
b) Chứng minh SC (AHK) c) Chứng minh HK (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA (ABC) Gọi I là trung điểm BC
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B SA (ABC) và SA = a, AC = 2a
a) Chứng minh rằng: (SBC) (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC