Một số dạng toán tổ hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --- PHÙNG THẾ TÚ MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC... LỜI NÓI ĐẦU Toán tổ hợp – là một ngành toán học nghiê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHÙNG THẾ TÚ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

PHÙNG THẾ TÚ

MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Nguyễn Vũ Lương

Hà Nội – Năm 2015

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ……… 3

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản ……… 5

1.1 Một số quy tắc cơ bản của phép đếm ……… 5

1.2 Nguyên lý Dirichlet ……… 10

1.3 Hoán vị ……… 12

1.4 Chỉnh hợp ……… 17

1.5 Tổ hợp ……… 20

1.6 Nhị thức Newton ……… 24

Chương 2 Một số cách tiếp cận tới bài toán tổ hợp ……… 29

2.1 Sử dụng phương pháp liệt kê ……… 29

2.2 Đếm các phần tử của phần bù ……… 34

2.3 Sử dụng nguyên lý bao gồm và loại trừ ……… 36

2.4 Sử dụng cách xây dựng phần tử đếm ……… 44

2.5 Sử dụng các công thức tổ hợp ……… 45

2.6 Sử dụng nguyên lý phân phối các đồ vật vào hộp ……… 48

2.7 Sử dụng công thức truy hồi ……… 52

2.8 Sử dụng phương pháp đánh số ……… 54

2.9 Phương pháp xây dựng song ánh ……… 57

2.10 Sử dụng phương pháp đếm bằng hai cách ……… 61

Chương 3 Kỹ năng giải toán bằng phương pháp bất biến ……… 66

3.1 Một số bài toán mở đầu ……… 66

3.2 Tìm đại lượng không thay đổi sau mỗi phép biến đổi ……… 71

3.3 Tìm tính chất của một đại lượng không thay đổi sau các phép biến

đổi ……… 73

3.4 Nguyên lý bất biến ……… 74

3.5 Một số bài tập vận dụng ……… 80

2

KẾT LUẬN ……… 88

Tài liệu tham khảo ……… 89

LỜI NÓI ĐẦU

Toán tổ hợp – là một ngành toán học nghiên cứu các tổ hợp, hoán vị của các

phần tử Trong một thời gian dài, mảng khoa học này nằm ngoài hướng phát triển

cơ bản của toán học và các ứng dụng của nó Trong thời gian khoảng hai thế kỷ rưỡi, ngành giải tích đã đóng vai trò chủ yếu trong việc nghiên cứu bản chất tự nhiên Hiện trạng này đã thay đổi sau khi các máy tính và máy tính cá nhân ra đời Nhờ chúng người ta có thể thực hiện việc sắp xếp, phân loại mà trước đây cần hàng trăm đến hàng ngàn năm Ở thời buổi sơ khai của toán học rời rạc, vai trò của lĩnh vực cổ xưa nhất của toán học rời rạc là toán học tổ hợp cũng đã được thay đổi Từ lĩnh vực mà phần lớn chỉ những người biên soạn những bài toán thú vị quan tâm đến và phát hiện ra những ứng dụng cơ bản trong việc mã hóa và giải mã các văn tự

cổ, nó đã được chuyển thành lĩnh vực nằm trong trục đường chính của sự phát triển khoa học

Ở nước ta hiện nay, chương trình giảng dạy toán tổ hợp, lý thuyết xác suất và thống kê đã bắt đầu từ chương trình toán học phổ thông Trước hết cần khẳng định rằng hướng này của Bộ Giáo dục và Đào tạo đòi hỏi phát triển các kiểu tư duy chuyên biệt về tổ hợp và xác suất thống kê, vốn rất cần thiết đối với thế hệ hiện tại Bởi thế, trong nhiều kì thi tuyển sinh vào đại học, thi học sinh giỏi, các bài toán tổ hợp cũng hay được đề cập và thường thuộc loại rất khó Bằng cái nhìn tổng quan, luận văn này cũng đã nêu ra một số ví dụ điển hình trong các kì thi tuyển sinh vào đại học, thi học sinh giỏi thời gian qua Cụ thể, luận văn được chia thành các chương:

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản trong tổ hợp gồm: Các quy tắc đếm cơ bản, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và nhị thức Newton Ngoài ra, nguyên lý Dirichlet được đề cập tới như một công cụ đắc lực trong việc giải quyết các bài toán

tổ hợp ở chương sau

4

Chương 2 Một số cách tiếp cận tới bài toán tổ hợp

Chương này ta sẽ tiếp cận tới bài toán tổ hợp nhờ một số phương pháp cơ bản như: Phương pháp liệt kê, phương pháp đếm các phần tử của phần bù, sử dụng nguyên lý bao gồm và loại trừ, sử dụng các công thức tổ hợp, sử dụng nguyên lý phân phối các đồ vật vào hộp, sử dụng công thức truy hồi, phương pháp đánh số, phương pháp xây dựng song ánh và phương pháp đếm bằng hai cách

Chương 3 Kỹ năng giải toán bằng phương pháp bất biến

Chương này trình bày ba bài toán gồm: Bài toán về tính chất hữu hạn hoặc

vô hạn của dãy lặp, bài toán về tính chất tuần hoàn của dãy lặp, bài toán về sự tồn tại của dãy lặp mà trạng thái cuối cùng thỏa mãn một số tính chất cho trước Ngoài

ra, rèn luyện kỹ năng phát hiện ra các đại lượng, tính chất của một đại lượng không đổi sau các phép biến đổi Cuối cùng, trình bày nguyên lý bất biến và một số bài tập vận dụng

Để hoàn thành được luận văn này, trước nhất tôi xin được gửi lời cảm ơn

sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Vũ Lương đã dành thời gian hướng dẫn, đánh giá, chỉ

bảo, tận tình giúp đỡ trong quá trình xây dựng đề tài cũng như hoàn thiện khóa luận Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành các thầy cô đã đọc, kiểm tra, đánh giá và cho những ý kiến quý báu để luận văn được đầy đủ hơn, phong phú hơn Cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán-Cơ-Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn

đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày Mong được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà nội, ngày 15 tháng 01 năm 2015

Học viên

Phùng Thế Tú

Chương 1

Một số kiến thức cơ bản

1.1 Một số quy tắc cơ bản của phép đếm

Phép đếm có vai trò rất quan trọng trong đời sống cũng như trong khoa học Trong đời sống, hàng ngày ta thường xuyên phải đếm các đối tượng nào đó và vì thế phép đếm dường như quá quen thuộc và không có gì phải bàn đến Tuy nhiên, trong các kì thi đại học và thi học sinh giỏi, bài toán đếm đã gây ra không ít khó khăn cho các thí sinh

Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày các quy tắc đếm cơ bản, nhờ đó có thể tính chính xác và nhanh chóng số phần tử của một tập hợp mà không cần đếm trực tiếp bằng cách liệt kệ

1.1.1 Quy tắc cộng

Nếu A A1, 2, , Aklà các tập hợp hữu hạn đôi một rời nhau, tức là

A A   nếu i  j Khi đó

A A  A  A  A   A (1.1) với A là số phần tử của tập hợp i A i i, 1, 2, 3, , k

1.1.2 Quy tắc nhân

Nếu A A1, 2, , Ak là các tập hợp hữu hạn và A1A2  Ak là tích Descartes của các tập đó thì

A1A2  A k  A A1 2 A k

(1.2) Quy tắc cộng và quy tắc nhân cũng thường được phát biểu dưới dạng tương ứng dưới đây:

Quy tắc cộng: Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong k

phương án A A1, 2, ,A k Phương án A i có n i cách thực hiện i   1, 2, 3, , k Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1 n2    n k cách

6

Quy tắc nhân: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k công đoạn A A1, 2, ,A k Nếu công đoạn A1 có thể làm theo n1 cách Với mỗi i  và với mỗi cách thực hiện 2 các công đoạn A A1, 2, ,A i1 thì công đoạn A i có thể thực hiện theo n i cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n n1 2n k cách

1.1.3 Quy tắc bù trừ

Cho X là tập hữu hạn và AX Gọi AX A\ Khi đó, ta có

A  X  A

(1.3)

1.1.4 Số phần tử của hợp hai hoặc ba tập hợp hữu hạn bất kì

Định lí 1.1.1 (Công thức tính số phần tử của hợp hai tập hợp bất kì) Cho A và B

là hai tập hợp hữu hạn bất kì Khi đó, ta có

A B  A  B  A B (1.4)

Chứng minh

Ta có B và A B \ là hai tập hợp không giao nhau và A B BA B\ 

nên

\

A B  B  A B (1.5)

Mặt khác A và B A B là hai tập hợp không giao nhau và \ 

   \ 

A A B  A B nên A  A B  A B\ , do đó:

A B\  A A B (1.6) Thay (1.6) vào (1.5) ta được (1.4)

Định lí 1.1.2 (Công thức tính số phần tử của hợp ba tập hợp bất kì) Cho A B C, , là

ba tập hợp hữu hạn bất kì Khi đó, ta có

A B C   A B C  A B  B C C A  A B C  (1.7)

Chứng minh

Theo định lí 1.1.1 ta có

A B C   AB C   AB C  A B C  (1.8)

Mặt khác cũng theo định lí 1.1.1

B C  B C B C (1.9)

và

A B A C A B C

       Thay (1.9) và (1.10) vào (1.8) ta được công thức (1.7)

1.1.5 Ví dụ áp dụng một số quy tắc đếm cơ bản

Ví dụ 1.1.1 Từ ba chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ

số, trong đó có đủ cả ba chữ số nói trên?

Lời giải

Gọi số cần tìm có dạng a a a a a Bởi số tạo thành phải có đủ cả ba chữ số 1 2 3 4 5

2, 3, 4 nên ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Số tạo thành gồm ba chữ số 2, một chữ số 3 và một chữ số

4 Ta xếp chữ số 4 có 5 cách chọn một trong các ví trí a a a a1, , ,2 3 4 hoặc a5 Xếp chữ số 3 vào một trong bốn vị trí còn lại có 4 cách Ba vị trí còn lại xếp ba chữ số 2

có 1 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.4.1 = 20 số

Trường hợp 2: Số tạo thành gồm ba chữ số 4, một chữ số 2 và một chữ số 3

Tương tự trường hợp 1 có 20 số

Trường hợp 3: Số tạo thành gồm ba chữ số 3, một chữ số 2 và một chữ số

4 Tương tự, ta có 20 số

Trường hợp 4: Số tạo thành gồm hai chữ số 2, hai chữ số 3 và một chữ số 4

Chọn một trong năm vị trí để xếp chữ số 4 có 5 cách Lấy ra hai vị trí từ bốn vị trí còn lại và xếp hai chữ số 2 có 6 cách Hai chữ số 3 xếp vào hai vị trí còn lại có 1 cách Theo quy tắc nhân, ta có 5.6.1 = 30 số

Trường hợp 5: Số tạo thành gồm hai chữ số 2, hai chữ số 4 và một chữ số 3

Tương tự trường hợp 4 có 30 số

Trường hợp 6: Số tạo thành gồm hai chữ số 3, hai chữ số 4 và một chữ số 2

Tương tự, ta có 30 số

8

Vậy theo quy tắc cộng có tất cả 20 + 20 + 20 +30 + 30 +30 = 150 số

Ví dụ 1.1.2 (Đề thi tuyển sinh ĐHQG TP HCM – 1999) Một bàn dài có 2 dãy ghế

đối diện nhau, mỗi dãy 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A

và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi trong các trường hợp sau:

(i) Bất kì hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường; (ii) Bất kì hai học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường

Lời giải

Đánh số các ghế theo hình vẽ

(i) Theo yêu cầu của bài toán, ta có số cách chọn như sau:

Ghế 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Số cách xếp chỗ

ngồi 12 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 Theo quy tắc nhân, ta có 12.6.5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 1036800 cách

(ii) Theo yêu cầu của bài toán, ta có số cách chọn như sau:

Ghế 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7

Số cách xếp chỗ

ngồi 12 6 10 5 8 4 6 3 4 2 2 1 Theo quy tắc nhân, ta có 12.6.10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 = 33177600 cách

Ví dụ 1.1.3 Xét tập hợp X 1, 2, 3, , 2009 Đặt

Tài liệu tham khảo

[1] Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng

(2014), Tài liệu chuyên toán Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo Dục,

Việt Nam

[2] Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Nguyễn Văn Mậu, Đặng Huy Ruận,

Đặng Hùng Thắng (2008), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc,

NXB Giáo Dục, Việt Nam

[3] Nguyễn Văn Nho, Vũ Dương Thụy (2003), 40 năm Olympic Toán học

Quốc tế, NXB Giáo Dục, Việt Nam

[4] “Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên Trường THPT

Chuyên môn Toán”, Hà Nội 7/2012

[5] Arthur Engel (1998), Problem – Solving Strategies, Springer-Verlag

New York, Inc

[6] Website: www.htttp://mathscope.org