Một số dạng toán tổ hợp luận văn toán hockj

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT Các ký hiệu trong khóa luận là các ký hiệu thông dụng được dùng trong sách giáo khoa: k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử.. Lý do chọn đề tài Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu nhà trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, thầy cô giáo trong tổ Đại số khoa Toán đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn cô giáo ThS Nguyễn Thị Bình

đã nhiệt tình hướng dẫn em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình làm khóa luận nhưng do sự hạn chế về thời gian và trình độ kiến thức nên bản khóa luận không tránh được những thiếu sót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

để bài khóa luận của em được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện

Lô Thị Ngân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô

giáo ThS Nguyễn Thị Bình cùng với sự cố gắng của bản thân

Em xin cam đoan bản khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện

Lô Thị Ngân

BẢNG CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Các ký hiệu trong khóa luận là các ký hiệu thông dụng được dùng trong sách giáo khoa:

k n

A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử

k n

C là số các tổ hợp chập k của n phần tử

n

P là số các hoán vị của n phần tử

CMR: Chứng minh rằng

Đpcm: Điều phải chứng minh

Trong khóa luận nếu không có điều kiện của n m p k x y thì ta hiểu , , , , ,chúng thuộc 

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 2

1.1 Tập hợp 2

1.1.1 Tập hợp con 2

1.1.2 Tập hợp sắp thứ tự 2

1.1.3 Số phần tử của một số tập hợp 2

1.2 Quy tắc cộng và quy tắc nhân 3

1.2.1 Quy tắc cộng 3

1.2.2 Quy tắc nhân 3

1.3 Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp 5

1.3.1 Hoán vị 5

1.3.2 Chỉnh hợp 5

1.3.3 Tổ hợp 5

1.4 Nhị thức Newton 6

1.4.1 Nhị thức Newton 6

1.4.2 Tam giác Pascal 6

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP 7

2.1 Rút gọn biểu thức tổ hợp 7

2.2 Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức tổ hợp 9

2.3 Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp 14

2.3.1 Giải phương trình 14

2.3.2 Giải bất phương trình 18

2.3.3 Giải hệ phương trình 20

2.4 Các bài toán liên quan đến nhị thức 24

2.4.1 Tính tổng tổ hợp 24

2.4.2 Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 28

2.4.3 Tìm giá trị của hệ số trong khai triển nhị thức NewTon

( )n

ab 30

2.5 Các bài toán đếm số phương án 35

2.5.1 Bài toán lập số 36

2.5.2 Bài toán chọn vật, chọn người, cách sắp xếp 41

2.5.3 Các bài toán khác 45

KẾT LUẬN 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO 51

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong nội bộ toán học cũng như trong các ngành khoa học khác Trong toán học những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình học,…

Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống Các bài toán tổ hợp luôn là một nội dung quan trọng trong các đề thi đại học và cao đẳng, mặc dù mức độ không khó nhưng các thí sinh thường gặp khó khăn khi giải các bài toán này Là người yêu thích toán tổ hợp và nhờ sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Nguyễn Thị Bình,

vì vậy em lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán tổ hợp”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết tổ hợp từ đó xây dựng một cách có hệ thống,

có sáng tạo các bài toán tổ hợp

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng toán tổ hợp trong chương trình toán phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tổng kết và phân dạng các bài tập tổ hợp

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận này gồm có: Chương 1: Cơ sở lý thuyết về tổ hợp

Chương 2: Một số dạng toán tổ hợp

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP

1.1 Tập hợp

1.1.1 Tập hợp con

Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B Nếu mọi phần tử của tập hợp

B đều thuộc tập hợp A thì ta nói tập hợp B là một tập hợp con của tập hợp A và ký hiệu B Ahoặc là AB

Một tập hợp hữu hạn có m phần tử được gọi là sắp thứ tự nếu với mỗi

phần tử của tập hợp đó ta cho tương ứng một số tự nhiên từ 1 đến m , sao

cho với những phần tử khác nhau ứng với những số khác nhau

Khi đó bộ sắp thứ tự m phần tử là một dãy hữu hạn m phần tử và hai

bộ sắp thứ tự a a1, , ,2 a m và b b1, , ,2 b m bằng nhau khi mọi phần tử tương ứng bằng nhau

Tổng quát: Cho A A1, 2, , An là n tập hợp hữu hạn (n 1)

Khi đó:

1

1 1

Và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, khi đó sẽ có n  m

cách làm một trong hai việc trên

H có thể làm bằng n2 cách, sau khi đã hoàn thành công việc H1

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n n1 2. cách

Quy tắc nhân dạng tổng quát:

Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ Hcần thực hiện k công việc nhỏ

H có thể làm bằng nk cách, sau khi đã hoàn thành công việc H k1

Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n n1 2 nk cách

1.3 Hoán vị, Chỉnh hợp và Tổ hợp

1.3.1 Hoán vị

Định nghĩa: Cho tập hợp A, gồm n phần tử ( n 1).Mỗi cách sắp thứ

tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

Kí hiệu: Pn là số các hoán vị của n phần tử

Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1) Kết quả của việc

lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Định nghĩa: Giả sử tập A có n phần tử ( n 1) Mỗi tập con gồm k

phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho

Kí hiệu: Ck n (0 k n)là số các tổ hợp chập k của n phần tử

k n

- Số các số hạng của sự khai triểna 1nlà n  1

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng của sự khai triển bằng

số mũ n

- Số hạng tổng quátT k1của khai triển làT k1C a n k n k b k k( 0,1, , ).n

- Các hệ số nhị thức cách đều hai đầu của sự khai triển thì bằng nhau

doC n k C n n k (0 k n)

1.4.2 Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển Newton của nhị thức abn có thể được sắp

xếp thành tam giác sau đây (gọilà tam giác Pascal)

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN TỔ HỢP 2.1 Rút gọn biểu thức tổ hợp

Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức tổ hợp:

k k

!2!( 2)!

!1!( 1)!

n n

n

n n

n n n n

C n

n C

n n k

n n k

đại số thông thường

Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra điều phải chứng minh

Bài 1 Chứng minh rằng: Với k n, N,3 k n, ta có:

2 2

11.2.3

n n

212( 1)

2

1

2

1( 1)2

211

2

n

n

n n

n

n n

2.3 Giải phương trình; bất phương trình tổ hợp

Định nghĩa: Phương trình, bất phương trình tổ hợp là phương trình,

bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: n P A C!, n, n k, n k

 Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình tổ hợp sang phương

trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp:

Vậy phương trình có nghiệm x  4

Bài 2 Giải phương trình:1 31 30 3 12 5 (1)

3 1

Vậy phương trình có 2 nghiệm x 3 hoặc x 4

Vậy nghiệm ( , )k x của phương trình là  1,3 ,(0,3),(2,3),(3,3)

Bài 4 Giải phương trình: 0 2 2 4 4 2

n

n i

Điều kiện: 4

0

n

n x

143( 1)4

n n

n

A

P C

A A y C

Vậy nghiệm của hệ là( ; )x y (7;3)

Bài 2 Giải hệ phương trình: 2 5 90

y x

! 20( )!

20

1010

2.4 Các bài toán liên quan đến nhị thức

a Ta có

10 10

* Lấy đạo hàm hai vế một lần nữa, ta có:

HD: Khai triển: ( 3x + 4)17, cho x =1

* Viết công thức của số hạng tổng quát:

Số hạng thứ k  trong khai triển (1 )n

Bài 1: Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: (x xy)

Bài 5.Tìm hệ số của số hạng chứa 8

x trong khai triển thành đa thức

1

x x

Bài 4

1 Trong khai triển

12

33

x x

2.5 Các bài toán đếm số phương án

Bài toán đếm là bài toán đặc trưng trong các dạng bài toán đại số tổ hợp và là bài toán thường xuất hiện trong cuộc sống thực tiễn

A Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án: Thực hiện các bước:

 Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp:

 Bước 3: Khi đó ta có tất cả n n1 2 n k cách để thực hiện hành động H

B Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án:

Ta thực hiện theo các bước:

 Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau:

C Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm:

Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử,

chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:

 Tất cả n phần tử đều có mặt

 Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần

 Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử

 Gọi P n là số hoán vị của n phần tử, ta có:P n n!

D Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm:

Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần

tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:

a) Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

b) Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

E Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm:

Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử,

chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:

 Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước

 Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn

2.5.1 Bài toán lập số

Bài 1 Cho tập hợp các chữ số X 0, 1, 2,,7 Từ tập hợpX có thể

lập được:

a) Bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau từng đôi một

b) Bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từng đôi một và là số tiến (chữ

số sau lớn hơn chữ số đứng trước nó)

Bài giải

Vậy có 5

7 21

C  số thỏa mãn điều kiện

Bài 2 Cho tập hợp các chữ số X 0, 1, 2,,7 Từ tập hợp X có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt đúng 2 lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần

Bài giải

a) Bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9

b) Bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ

Bài giải

a) Các số gồm 6 chữ số và chia hết cho 9 là 100008,100017, 100026,

100035, …, 999999

Trong đó các số lẻ là 100017, 100035, …, 999999 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u1 = 100017, công sai d 18,u n 999999

Vậy có tất cả 9.10.10.10.5=45000 số thỏa mãn điều kiện

Bài 4 Cho A 0, 1, , 5, có bao nhiêu số có 6 chữ số mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần Tính tổng tất cả các số đó

10 1



Bài tập áp dụng

Bài 1 Có 5 số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số

đôi một khác nhau tạo thành từ 5 số đã cho?

Bài 2 Tìm tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số và chữ số đứng sau bé

hơn chữ số đứng trước

Bài 3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số thỏa mãn

a) Là số đối xứng

b) Chữ số 3 xuất hiện đúng 3 lần, chữ số 4 xuất hiện 2 lần và các chữ

số khác xuất hiện không quá 1 lần

Bài 4 Từ A {1, 2, , 9} được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác

nhau và không lớn hơn 789

2.5.2 Bài toán chọn vật, chọn người, cách sắp xếp

Bài 1 Một thầy giáo có 20 cuốn sách đôi một khác nhau Trong đó có

5 cuốn sách văn học, 4 cuốn sách âm nhạc và 3 cuốn sách hội họa Ông muốn lấy ra 6 cuốn và đem tặng cho 6 học sinh A B C D E F, , , , , mỗi

em một cuốn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba thể loại văn học, âm nhạc và hội họa đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách tặng ?

Bài 2 Đội thanh niên xung kích của trường A có 12 học sinh, gồm 5 học sinh khối lớp 10, 4 học sinh khối lớp 11 và 3 học sinh khối lớp 12 a) Có bao nhiêu cách chọn ra 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho học sinh thuộc không quá 2 khối lớp

b) Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 6 người sao cho tổ nào cũng có học sinh khối lớp 12 và có ít nhất hai học sinh khối lớp 10

C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 3 học

sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12

Có 2 2 2

5 4 3

C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 2 học sinh khối lớp 10, 2 học

sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12

Có C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 2 học 5 4 3

sinh khối lớp 11, 1 học sinh khối lớp 12

Có 3 1 2

5 4 3

C C C cách chọn tổ 1 trong đó có 3 học sinh khối lớp 10, 1 học

sinh khối lớp 11, 2 học sinh khối lớp 12

 Vậy có C C C52 43 51C C C52 42 32C C C53 42 31C C C53 14 32 600cách chia tổ thỏa mãn đề bài

Bài 3 Có n nam, n nữ Có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:

a) 2n người ngồi quanh một bàn tròn

b) 2n người ngồi vào hai dãy ghế đối diện sao cho nam nữ ngồi đối

n cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau

Bài 4 Một hộp đựng 2 viên bi đỏ, 3 viên bi trắng, 5 viên bi vàng

Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên b i lấy ra không đủ cả 3 màu, biết rằng các viên bi là khác nhau

Bài giải

 Có 4

5

C cách chọn 4 viên chỉ có màu vàng

 Có C cách chọn 4 viên không có màu vàng 5

b) Có bao nhiêu cách xếp thành một hàng dọc sao cho Lan đứng đầu

và các bạn nam luôn đứng cạnh nhau nhưng Tí và Nam không đứng cạnh nhau

Bài 2 Một hộp đựng 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ

đánh số từ 1 đến 5, 4 quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 4

a) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu cùng màu? 3 quả cầu cùng số b) Có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu khác màu? 3 quả cầu khác màu

và khác số?

Bài 3 Trong kỳ thi kết thúc môn toán học rời rạc có 10 câu hỏi Có bao

nhiêu cách gán điểm cho các câu hỏi nếu tổng số điểm là 100 và mỗi câu

hỏi ít nhất 5 điểm

Bài 4 Một bàn dài có 2 dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy gồm 6 ghế

Người ta muốn sắp chỗ ngồi cho 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp trong mỗi trường hợp sau: a) Bất kỳ hai học sinh ngồi cùng nhau hoặc đối diện nhau đều không cùng giới tính

b) Bất kỳ hai học sinh ngồi đối diện nhau đều không cùng giới tính

2.5.3 Các bài toán khác

Bài 1 Cho p điểm trong không gian trong đó có q điểm đồng phẳng

Số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong p điểm đó

a) Có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau?

b) Có bao nhiêu tứ diện

Bài giải

a) Mỗi mặt phẳng được xác định bởi 3 điểm không đồng phẳng Trong

p điểm sẽ có C3p mặt phẳng (nếu p điểm này không có 4 điểm nào

b) Một tứ diện có 4 đỉnh tương ứng với 4 điểm không đồng phẳng trong

Bài 2 Trong mặt phẳng cho 3 điểm A B C, , Từ A dựng m đường

thẳng, từ B dựng n đường thẳng, từ C dựng p đường thẳng Trong đó

các đường thẳng vừa dựng không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có cặp đường thẳng nào song song Tìm số các tam giác tạo bởi các giao điểm của các đường thẳng trừ 3 điểm A B C, ,

Bài giải

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ A là n p

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ B là m p

Số các giao điểm nằm trên 1 đương thẳng xuất phát từ C là nm

Mỗi bộ 3 giao điểm không thẳng hàng sẽ tạo ra 1 tam giác

 Số tam giác tạo ra là C mn np pm3   mC n p3 nC m p3  pC m n3

Bài 3 Cho tập X có n phần tử, tập Y có m phần tử Có bao nhiêu: