Một số dạng toán liên quan đến định lý rolle đảo đối với đa thức và phân thức

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -Vũ Thị Phương một số dạng toán liên quan đến định lý rolle đảo đối với đa thức và phân thức Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-Vũ Thị Phương

một số dạng toán liên quan đến

định lý rolle đảo đối với đa thức và phân thức

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội – Năm 2015

Mục lục

1 Một số kiến thức bổ trợ 4 1.1 Tính chất của đa thức và phân thức 4 1.2 Định lý Rolle và một số tính chất liên quan 8 1.3 Định lý dạng Viète đối với đa thức 11

2.1 Định lý Rolle đảo đối với đa thức 17 2.2 Định lý Rolle đảo đối với phân thức 32 2.2.1 Định lý Rolle đảo đối với phân thức có mẫu bậc nhất 32 2.2.2 Định lý Rolle đảo đối với phân thức có mẫu bậc hai 41

3 Một số dạng toán liên quan 66

MỞ ĐẦU

Đa thức và phân thức là những đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đại số

có vị trí rất quan trọng trong toán học Vấn đề khảo sát số nghiệm thực của đa thức nhờ công cụ giải tích, cụ thể là định lý Lagrange và định lý Rolle nên việc khảo sát số nghiệm thực của đa thức đạo hàm trên một khoảng được tiến hành

dễ dàng Đó là, khi đa thức P (x) ∈R[x]có k nghiệm thực trong khoảng (a, b) thì

đa thức P0(x) sẽ có ít nhất k − 1 nghiệm thực trong khoảng đó

Một câu hỏi được đặt ra, khi nào thì một đa thức P (x) ∈R[x] với k nghiệm thực cho trước trong khoảng (a, b) sẽ cho ta một nguyên hàm

F (x) =

x

Z

x 1

P (t)dt

có đủ k + 1 nghiệm thực trên khoảng (a, b)

Tương tự, một phân thức có k nghiệm thực cho trước sẽ thỏa mãn điều kiện nào để nguyên hàm của nó có đủ k + 1 nghiệm thực

Luận văn "Một số dạng toán liên quan đến định lý Rolle đảo đối với đa thức

và phân thức" trình bày một số vấn đề liên quan đến các bài toán xác định số nghiệm thực của nguyên hàm của đa thức và nguyên hàm của phân thức hữu

tỷ với các hệ số thực

Luận văn gồm ba chương và mục tài liệu tham khảo

Chương 1 tóm tắt các khái niệm và tính chất của đa thức và phân thức Chứng minh các kết quả về nghiệm thực của đa thức đạo hàm trong một khoảng, mở rộng định lý Rolle cho phân thức hữu tỷ trên khoảng (a, b)

Chương 2 gồm hai phần, phần đầu đưa ra định lý Rolle đảo cho đa thức P (x)

cấpn có n nghiệm thực phân biệt, từ đó đưa ra các mở rộng của định lý cho đa thức có k nghiệm thực (k ≤ n) và l nghiệm bội xét trên khoảng (a, b) Phần tiếp theo cũng là phần chính của luận văn, tác giả khảo sát nghiệm của nguyên hàm của một số dạng phân thức hữu tỷ sơ cấp ở phổ thông và phân thức hữu tỷ có mẫu bậc hai Sau đó, tác giả đưa ra các bài toán tổng quát, phát biểu định lý Rolle đảo cho các trường hợp này

MỞ ĐẦU

Chương 3 trình bày một số bài toán áp dụng các định lý ở chương 2

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã giúp cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Toán học,

đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập từ khi còn

là sinh viên đến khi hoàn thành Luận văn này

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học Khoa Toán - Cơ - Tin học, các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp Cao học Toán niên khóa 2013 - 2015, các thầy cô và các anh chị của Semina "Phương pháp Toán sơ cấp" trường ĐH Khoa học Tự nhiên đã tạo điều kiện giúp đỡ cho tác giả trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường

Nhân đây tác giả cũng xin cảm ơn các anh chị em học viên cao học khóa 2013

- 2015, gia đình và bạn bè đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành khóa học và Luận văn này Mặc dù tác giả đã cố gắng rất nhiều nhưng kết quả đạt được trong luận văn còn khiêm tốn và khó tránh khỏi những khiếm khuyết Tác giả mong được sự đóng góp quý báu của các thầy cô và các độc giả để Luận văn được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 21 tháng 4 năm 2015

Học viên

Vũ Thị Phương

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

1.1 Tính chất của đa thức và phân thức

Định nghĩa 1.1 (xem [4]) Một đa thức bậc n của ẩn x là biểu thức có dạng

Pn(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0,

trong đó các hệ số an, an−1, , a0 là những số thực và an 6= 0, n ∈N.

Định nghĩa 1.2 (xem [4]) Cho đa thức

Pn(x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0,với an 6= 0,

α ∈R được gọi là nghiệm của đa thức Pn(x) nếu Pn(α) = 0.

Định lý 1.1 (xem [4]) Mọi đa thức hệ số thực đều có thể biểu diễn dưới dạng

Pn(x) = a0(x − α1)n1 (x − αr)nr (x2+ p1x + q1)m1 (x2+ psx + qs)ms

trong đó

r

X

i=1

n i + 2

s

X

i=1

m i = n, p2i − 4p i < 0, i = 1, s.

và α 0 , α 1 , , α r ; q 1 , p 1 , , q s , p s ∈R.

Hệ quả 1.1 Giả sử Pn(x) là đa thức bậc n có k nghiệm thực k ≤ n thì n và k

cùng tính chẵn lẻ

Bổ đề 1.1 Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệm thực

Định lý 1.2 (xem [4]) Cho đa thức P (x) ∈R[x] Khi đó P (x) có tập xác định

và liên tục trên R Ngoài ra, khi x → +∞ thì P (x) → d(an)∞.

Khi x → −∞ thì P (x) → (1)nd(an)∞, trong đó n = deg P, an là hệ số chính và

d(an) :=







+ khi a n > 0

− khi an < 0

0 khi an = 0

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.3 (xem [4]) Nếu đa thức Pk(x) ∈ R[x] có k nghiệm dương (k ∈ N∗)

thì tồn tại s ∈N để đa thức Qk(x) dạng Qk(x) = Pk(x)(x + 1)s có dãy hệ số đỏi dấu đúng k lần

Hệ quả 1.2 (xem [4]) Nếu đa thức P (x) ∈ R[x] chỉ có các nghiệm thực thì số nghiệm dương của đa thức bằng số lần đổi dấu của dãy hệ số

Chứng minh Giả sửdeg P (x) = n, n ∈ N∗, do đa thức P (x) chỉ có nghiệm thực nên P (x) có tất cả n nghiệm đều thực và viết được dưới dạng sau

P (x) = (α1+ x)(α2+ x) (αr+ x)xm(β1− x)(β2− x) (βp− x), (r + m + p = n),

trong đó r, m, p ∈N, αi > 0, ∀i ∈ 1, 2, , r, βj > 0, ∀j ∈ 1, 2, , p

Xét đa thức

Q(x) = (α1+ x)(α2+ x) (αr + x)

có αi > 0, ∀i ∈ 1, 2, , r nên sau khi khai triển Q(x) có dạng

Q(x) = E r + E r−1 x + E r−2 x2+ · · · + E 1 xr−1+ xr

trong đó Ei (i ∈ 1, 2, , r) là các đa thức đối xứng Viète bậc i của các số thực dương α1, α2, , αr Nhận xét rằng, Ei > 0, ∀i ∈ 1, 2, , r nên dãy hệ số của đa thức Q(x) không đổi dấu

Xét tích

Q1(x) := (β1− x)Q(x)

= (β1− x)(Er+ Er−1x + Er−2x2+ · · · + E1xr−1+ xr).

Thay x bởi β 1 x ta thu được

Q1(x) = (β1− β1x)(Er + Er−1β1x + Er−2β12x2+ · · · + E1β1r−1xr−1+ β1rxr).

= Erβ1+ (Er−1β1− Er)β1x + (Er−2β1− Er−1)β12x2

+ · · · + (E1β1− E2)β1r−1xr−1+ (β1− E1)β1rxr− β1r+1xr+1

là đa thức có dãy hệ số như sau

Erβ1, (Er−1β1− Er)β1, (Er−2β1− Er−1)β12, , (E1β1− E2)β1r−1, (β1− E1)β1r, −β1r+1.

Ta thấy dãy hệ số

E r , E r−1 , E r−2 , , E 1 , 1

có cùng vị trí đổi dấu với dãy hệ số

Erβ1, (Er−1β1− Er)β1, (Er−2β1− Er−1)β12, , (E1β1− E2)β1r−1, (β1− E1)β1r.

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ

Suy ra dãy hệ số

E r β 1 , (E r−1 β 1 − E r )β 1 , (E r−2 β 1 − E r−1 )β12, , (E 1 β 1 − E 2 )β1r−1, (β 1 − E 1 )β1r.

không đổi dấu và đều là các số thực dương

Mặt khác, −β1r+1 < 0 nên dãy hệ số của đa thức Q1(β1x) đổi dấu 1 lần Do hai

đa thứcQ1(x)và Q1(β1x)có cùng vị trí đổi dấu nên dãy hệ số của đa thức Q1(x)

đổi dấu một lần Không giảm tính tổng quát, ta giả sử

Q1(x) = a0+ a1x + a2x2+ · · · + arxr− ar+1xr+1

trong đó ai > 0, ∀x ∈ 1, 2, , r, r + 1

Xét tích

Q2(x) := (β2− x)Q1(x)

= (β 2 − x)(a0+ a 1 x + a 2 x2+ · · · + a r xr− ar+1xr+1).

Thay x bởi β 2 x ta được

Q 2 (x) = (β 2 − β 2 x)(a 0 + a 1 β 2 x + a 2 β22x2+ · · · + a r β2rxr − a r+1 β2r+1xr+1).

= a0β2+ (a1β2− a0)β2x + (a2β2− a1)β22x2+ · · · + (arβ2− ar−1)β2rxr

− (a r+1 β 2 + a r )β2r+1xr+1+ a r+1 β2r+2xr+2.

Để ý rằng, dãy hệ số a 0 , a 1 , a 2 , , a r , a r+1 của đa thức Q 1 (x) có cùng vị trí đổi dấu như đối với dãy hệ số

a 0 β 2 , (a 1 β 2 − a 0 )β 2 , (a 2 β 2 − a 1 )β22, , (a r β 2 − a r−1 )β2r, −(a r+1 β 2 + a r )β2r+1.

Suy ra dãy

a0β2, (a1β2− a0)β2, (a2β2− a1)β22, , (arβ2− ar−1)β2r, −(ar+1β2+ ar)β2r+1.

đổi dấu một lần, trong đó hệ số của tất cả các hạng tử có bậc nhỏ hơn r + 1

đều dương, hệ số của hạng tử bậc r + 1 âm Do hệ số của hạng tử bậc r + 2 là

ar+1β2r+2 > 0 nên dãy hệ số của đa thức Q2(β2x) đổi dấu hai lần

Mặt khác, hai đa thứcQ2(x)và Q2(β2x)có cùng vị trí đổi dấu nên dãy hệ số của

đa thức Q2(x) đổi dấu hai lần

Tiến hành tương tự như trên sau p bước, ta được đa thức Qp(x) có dãy hệ số đổi dấu p lần Do đa thứcP (x) có p nghiệm dương nên số nghiệm dương của đa thức bằng số lần đổi dấu của dãy hệ số

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ

Định lý 1.4 (Phân tích phân thức hữu tỷ ra thừa số) Giả sử x = x0 là nghiệm của P (x)

Q(x) = 0 (P, Q nguyên tố cùng nhau) thì

P (x) Q(x) −P (x0)

Q(x0) = (x − x0)

P1(x) Q(x),

trong đó deg P1= deg P − 1.

Hệ quả 1.3 Nếu x = 0 là nghiệm của P (x)

Q(x) = 0 thì

P (x) Q(x) −P (0)

Q(0) = x

P1(x) Q(x),

trong đó deg P1= deg P − 1.

Bài toán 1.1 Cho hàm phân thức hữu tỷ

f (x) = 1

ax + b ∈Q với mọi x ∈Z.

Chứng minh rằng a, b ∈Q.

Lời giải Do f (x) = 1

ax + b ∈Q với mọi x ∈Z, nên

ax + b = 1

f (x) với mọi x ∈Z.

Vậy ax + b ∈Q[x] hay a, b ∈ Q.

Bài toán 1.2 Cho hàm phân thức hữu tỷ

ax + b

cx + d ∈Q với mọi x ∈Z.

Chứng minh rằng f (x) có thể biểu diễn được dưới dạng

Ax + B

Lời giải Nếu ad − bc = 0 thì f (x) = const thì biểu diễn (1.1) là hiển nhiên Xét trường hợp ad − bc 6= 0.

Nếu c = 0 thì biểu diễn (1.1) là hiển nhiên

Nếu c 6= 0 thì sử dụng phân tích

f (x) − f (0) = 1

αx + β

ta sẽ thu được biểu diễn (1.1)

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ

Bài toán 1.3 Cho hàm phân thức hữu tỷ

f (x) = P (x)

Q(x) ∈Q, ∀x ∈Z, (P (x), Q(x)) = 1.

Chứng minh rằng f (x) có thể biểu diễn được dưới dạng phân thức của hai đa thức với hệ số nguyên

Lời giải Giả sử

P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x2+ · · · + a m xm, Q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x2+ · · · + b n xn.

Tại x = j, (j = 0, 1, , m + n) hàm f (x) nhận các giá trị hữu tỷ tương ứng là c j Khi đó ta có hệ phương trình tuyến tính với m + n + 2 ẩn dạng

a 0 , a 1 , , a m , b 0 , b 1 , , b n

a 0 + a 1 k + · · · + a m km− b 0 ck − b 1 ckk − · · · + b n ckkn = 0, k = 0, 1, , m + n

Hai nghiệm của hệ này cho ta hai cặp đa thức tương ứngP (x), Q(x)vàP 1 (x), Q 1 (x)

có tính chất

P (k) − cQ(k) = 0, P1(k) − ckQ1(k) = 0, ∀k = 0, , m + n.

Hai cặp nghiệm này cho ta đa thức

g(x) = P (x)Q1(x) − P1(x)Q(x), deg g(x) ≤ m + n

nhận giá trị 0 tại m + n + 1 điểm nên g(x) ≡ 0. Do P (x) và Q(x)nguyên tố cùng nhau nên

P (x) = cP1(x), Q(x) = cQ1(x).

Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm với sự sai khác một tỷ lệ và như vậy tồn tại

ma trận cấp m + n + 1 trong ma trận hệ số của hệ phương trình để định thức của nó khác 0 và nghiệm nhận được là các số hữu tỷ

Ta có điều phải chứng minh

1.2 Định lý Rolle và một số tính chất liên quan

Định lý 1.5 (Định lý Rolle cho khoảng hữu hạn, [4]) Giả sử hàm sốf : [a, b] →R

liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b) Nếu f (a) = f (b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f0(c) = 0

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ

Hệ quả 1.4 Giả sử f (x) là hàm số khả vi trên (a, b) (bị chặn hoặc không bị chặn) và x1 < x2 < · · · < xn là nghiệm của phương trình f0(x) = 0

1 Nếu hai số hạng liên tiếp của dãy Rolle, tức là dãy

f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)

trái dấu nhau thì giữa hai giá trị liên tiếp tương ứng của dãy đối số sẽ tìm được một và chỉ một nghiệm của phương trình f (x) = 0.

2 Nếu hai số hạng liên tiếp của dãy Rolle, tức là dãy

f (a), f (x1), f (x2), , f (xn), f (b)

cùng dấu nhau thì giữa hai giá trị liên tiếp tương ứng của dãy đối số không

có nghiệm của phương trình f (x) = 0, ở đây ta quy ước

f (a) = lim

x→a + f (x), f (b) = lim

x→b − f (x)

Bổ đề 1.2 Nếu x0 là nghiệm bội bậc s, (s ∈N) của đa thức P (x) ∈R[x] thì x0

cũng là nghiệm bội bậc s − 1 của đa thức P0(x)

Chứng minh Thật vậy, x0 là nghiệm bội bậc s(s ∈ N) của đa thức P (x) thì

P (x) được viết dưới dạng

P (x) = (x − x 0 )sQ(x), Q(x 0 ) 6= 0.

Suy ra

P0(x) = s(x − x 0 )s−1Q(x) + (x − x 0 )sQ0(x)

= (x − x0)s−1[sQ(x) + (x − x0)Q0(x)].

Vì Q(x0) 6= 0 nên x0 không là nghiệm của đa thức sQ(x) + (x − x0)Q0(x)

Vậy x0 là nghiệm bội bậc k − 1 của đa thức P0(x)

Định lý 1.6 (xem[4]) Nếu đa thứcP (x) ∈ R[x]có k nghiệm thực trong khoảng

(a, b) thì đa thức P0(x) có ít nhất k − 1 nghiệm thực trong khoảng đó

Chứng minh

1 Nếu đa thức P (x) có k nghiệm thực phân biệt x1, x2, x3, , xk, không giảm tính tổng quát, ta giả sử x1< x2 < x3 < · · · < xk

Suy ra P (x 1 ) = P (x 2 ) = P (x 3 ) = = P (xk)

Theo định lý Rolle, trong khoảng (x 1 , x 2 ) tồn tại ít nhất một điểm x 1 sao cho

P0(x 1 ) = 0, trong khoảng (x 2 , x 3 ) tồn tại ít nhất một điểm x 2 sao cho P0(x 2 ) = 0,

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Thị Thanh Bình, 2007, Luận văn "Đặc trưng nghiệm của đa thức nguyên hàm và áp dụng", trường ĐH Khoa học Tự nhiên, ĐH Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu, 2002, Đa thức đại số và phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục

[3] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất,

2008, Chuyên đề chọn lọc về đa thức và áp dụng, NXB Giáo Dục

[5] Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam, 1990 - 2014, NXB Giáo Dục

[6] Tạp chí toán học và tuổi trẻ, 2013, NXB Giáo Dục