Bài tập hình học không gian

Tìm thiết diện 3 tạo bởi mặt phẳng ABM với hình chóp... Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong mặtphẳng chứa hình bình hành a Tìm giao tuyến MAC và MBD b Gọi N là trung điểm B

Trang 1

$

% '

Trang 2

eeee

Trang 3

Lời mở đầu

• Quyển sách nhỏ này không cung cấp lại các kiến thức cơ bản về hìnhkhông gian Xuyên suốt tài liệu là các dạng bài tập và phương pháp đểgiải chúng 1 Đa phần là các dạng bài tập được biên soạn lại từ nhiềunguồn tài liệu khác nhau và bổ xung thêm một số vấn đề người soạncảm thấy cần thiết

• Tài liệu được soạn bằng LATEX phiên bản LATEX 2ε Muốn biết cụthể LATEX là gì các bạn lên google là có ngay kết quả, sau đây là một sốđiều mà tác giả tâm đắc 2 :

• Người soạn thảo văn bản không có kiếu thường mắc phải sai lầmnghiêm trọng vì quan điểm: “Nếu một tài liệu trông sắc sảo thì

nó đã được thiết kế tốt” Tuy nhiên các tài liệu được in ấn để đọcchứ không phải để trưng bày trong phòng triển lãm nghệ thuật

• Tính rõ ràng, dễ đọc, dễ hiểu của tài liệu phải được đặt lện hàngđầu LATEX làm rất tốt điều này, LATEX yêu cầu người soạn địnhnghĩa cấu trúc logic của tài liệu, và chương trình sẽ lựa chọn cáchtrình bày tốt nhất Nhờ đó tài liệu soạn thảo trông thật chuyênnghiệp Các bạn sẽ thấy một số trang trong tài liệu này có nhiềuphần trắng hơn các trang khác, tất cả đều do LATEX

• Tác giả gởi lời cám ơn đến tất cả mọi người đã giúp đỡ trong thờigian qua; nhờ có bạn Võ Nguyễn Hoàng Tâm và Lê Thanh Chung màtác giả bắt đầu học cách sử dụng LATEX và cảm thấy ngày càng hứngthú

Trang 4

2.1 Phương pháp giải 112.2 Bài tập 11

3 Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng 153.1 Phương pháp giải 153.2 Bài tập 17

4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng 194.1 Phương pháp giải 194.2 Bài tập 19

www.MATHVN.com

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm các tài liệu

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 5

MỤC LỤC MỤC LỤC

8.1 Phương pháp giải 29

8.2 Bài tập 30

9 Hai đường thẳng song song 31 9.1 Phương pháp giải 31

9.2 Bài tập 32

10 Bài toán thiết diện 1 33 10.1 Phương pháp giải 33

10.1.1 Bài toán 33

10.1.2 Phương pháp giải 34

10.2 Bài tập 34

11 Hai mặt phẳng song song 38 11.1 Phương pháp giải 38

11.2 Bài tập 38

12 Bài toán thiết diện 2 39 12.1 Phương pháp giải 39

12.1.1 Bài toán 39

12.1.2 Phương pháp giải 40

12.2 Bài tập 40

13 Hình lăng trụ - Hình hộp 41 14 Chứng minh 4 điểm đồng phẳng 44 14.1 Phương pháp giải 44

14.2 Bài tập 44

15 Chứng minh sự thẳng hàng của 3 điểm 45 15.1 Phương pháp giải 45

15.2 Bài tập 46

16 Chứng minh ba đường thẳng đồng qui 47 16.1 Phương pháp giải 47

16.2 Bài tập 47

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 7

1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

• Lưu ý:

1 “Mở rộng” bằng cách kéo dài các “đoạn thẳng giới hạn mặt phẳng”

2 Khi mở rộng ta nên tìm tất cả các giao điểm có thể có

3 Hai đường thẳng cắt nhau thì chúng phải đồng phẳng, tức chúngcắt nhau trong mp (α) nào đó

b α

a

Ví dụ: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình thang ABCD

(AB k CD, AB > CD) Tìm giao tuyến (SAD) và (SBC)

Trang 8

1.1 Mở rộng mặt phẳng 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

• Ta chọn (SAD) để “mở rộng” : nhận xét : nếu kéo dài SA, SDcũng chưa thấy giao điểm mới

• Kéo dài AD sẽ cắt BC (do cùng nằm trong (ABCD) và AD khôngsong song BC) nên giao điểm AD và BC là giao điểm thứ hai cầntìm Khi ta nối SI, BI thì DC bị khuất

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD; gọi I, J, K là các điểm trên cạnh AB, BC,

CD sao cho AI = 13AB, BJ = 2

3BC, CK = 4

5CD Tìm giao điểmcủa (IJK) với AD

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 9

1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN 1.1 Mở rộng mặt phẳngPhân tích

• Tỉ số CK

CD 6= CJ

CB (trong ∆CBD) nên JK không song song BD

• Kéo dài AD ta chưa thấy giao điểm mới Tránh nhầm lẫn ADcắt IK, các điểm A, D, I cùng thuộc mặt phẳng (ABD) nhưng Kkhông thuộc (ABD) nên AD và IK không đồng phẳng

J

K F

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD

Tìm thiết diện 3 tạo bởi mặt phẳng (ABM) với hình chóp

Trang 10

1.2 Bài tập 1 MỞ ĐẦU VỀ HÌNH KHÔNG GIAN

• Khi đó giao thiết diện là tứ giác AHKB

1 Cho tứ diện SABC Gọi M, N, P là điểm thuộc SA, SB, SC

(a) Kéo dài NM cắt AB ở H, H thuộc các mp nào?

(b) MP cắt AC không? Vì sao?

(c) MP có thể cắt đường thẳng nào? Gọi giao điểm (nếu có) là

J, J thuộc mp nào?

(d) HJ có thuộc mp(ABC), mp(MNP) không?

2 Cho hình chóp SABC, gọi M, N là các điểm thuộc SA, SB, P làđiểm nào trong mp(SBC)

(a) Các đường thẳng qua MN, MP, SP có thể cắt các đườngthẳng nào?

(b) MP cắt AB, BC không? Vì sao?

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 11

2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

2 Giao tuyến của hai mặt phẳng

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta tìm hai điểm chung phânbiệt của hai mặt phẳng Khi đó giao tuyến là đường thẳng đi qua haiđiểm chung đó

Trang 12

2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

(b) Gọi N là trung điểm BC Tìm giao tuyến mp(SAN) và mp(ACD)

4 Cho hình bình hành ABCD và điểm M không nằm trong mặtphẳng chứa hình bình hành

(a) Tìm giao tuyến (MAC) và (MBD)

(b) Gọi N là trung điểm BC Tìm giao tuyến của (AMN) và

i (ACD)

ii (MCD)

5 Cho hình chóp SABCD có hai cạnh đối diện không song song Lấyđiểm M thuộc miền trong tam giác SCD Tìm giao tuyến các mpsau:

Trang 13

2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG 2.2 Bài tập

6 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang nhận cạnh

AB làm đáy lớn Gọi E, F là trung điểm SA, SC M là một điểmtùy ý trên SD Tìm giao tuyến các mp sau:

(a) Xác định giao tuyến (MBC) và (DNA)

(b) Cho I, J lần lượt là hai điểm nằm trên AB và AC Xác địnhgiao tuyến (MBC) và (IJD)

10 Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong tam giác ACD.Gọi I, J tương ứng là 2 điểm trên cạnh BC và BD sao cho IJ khôngsong CD

(a) Tìm giao tuyến (IJM) và (ACD); (IJM) và (ACD)

(b) Lấy N thuộc miền trong tam giác ABD sao cho JN cắt ABtại L Tìm giao tuyến của (MNJ) và (ABC)

11 Cho hình chóp S.ABCD Đáy ABCD có AB cắt CD tại E, AC cắt

Trang 14

2.2 Bài tập 2 GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG

(a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD),(SAC) và (SBD)

(b) Tìm giao tuyến của (SEF) với các mặt phẳng (SAD), (SBC)

12 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với

AI = 12IB, AJ = 32J D Tìm giao tuyến của (CIJ) và (BCD)

13 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh

AB, BC và CD sao cho AI = 13AB, BJ = 23BC, CK = 45CD.Tìm giao tuyến của (IJK) với (ABD)

14 Cho hình bình hành ABCD và S không nằm trong mặt phẳng chứahình bình hành Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB,

BC, SD Tìm giao tuyến của (MNE) với các mp (SAD), (SCD),(SAB), (SBC)

15 Cho hình bình hành ABCD và điểm S không nằm trong mp chứahình bình hành Gọi M, E lần lượt là trung điểm các đoạn AB,

SD N là điểm đối xứng với B qua C Tìm giao tuyến (MNE) vớicác mp (SCD), (SBD), (SAD) và (SAB)

16 Cho một tứ giác lồi ABCD nằm trong mp(P) có các cạnh đốikhông song song M là một điểm không nằm trong (P) Tìm giaotuyến các cặp mp sau :

(a) (MAB) và (MCD)

(b) (MAD) và (MBC)

17 Cho tứ diện (ABCD) M là một điểm bên trong tam giác ABD,

N là một điểm bên trong tam giác ACD Tìm giao tuyến của cáccặp mặt phẳng (AMN) và (BCD), (DMN) và (ABC)

18 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm của AD, BC

(a) Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD)

(b) M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC.Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (DMN)

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 15

3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

19 Cho hình chóp SABC Gọi N là điểm nằm trên cạnh SB

(a) M là điểm nằm trên SA, P là điểm nằm trong (SBC) Tìmgiao tuyến của (MNP) với (SAC)

(b) M là điểm nằm trong mp(SAB), P là điểm nằm trong mp(SBC).Tìm giao tuyến của mp(MNP) với mp(SAC)

20 Cho hình chóp SABCD Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB BP.Tìm giao tuyến của mp(MNP) với:

(a) mp(ABCD)

(b) mp(SBC)

(c) mp(SCD)

(d) mp(SAD)

21 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành tâm

O M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, SO Tìm giaotuyến của mp(MNP) với các mặt phẳng (SAB), (SAD), (SBC) và(SCD)

Trang 16

3.1 Phương pháp giải3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

F Trong (α) không có sẵn đường thẳng cắt a ta thực hiện :

• Chọn mặt phẳng (β)4 chứa a

• Tìm giao tuyến c của (α) và (β)

• Tìm giao điểm I của a và c Khi đó I là điểm cần tìm

α

β

Ica

F Định lí Thalet: Trong tam giác ABC nếu M, N chia AB, ACtheo cùng tỉ lệ thì MN song song BC

Trang 17

3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 3.2 Bài tập

1 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là các điểm nằm trên AB, AD với

AI = 12IB, AJ = 32J D Tìm giao tuyến của IJ và (BCD)

2 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J và K lần lượt là các điểm trên cạnh

AB, BC và CD sao cho AI = 13AB, BJ = 23BC, CK = 45CD.Tìm giao tuyến của (IJK) với AD

3 Cho tứ diện ABCD có các điểm M, N lần lượt là trung điểm AC

và BC Lấy K thuộc BD (K không là trung điểm BD) Tìm giaotuyến của AD và (MNK)

4 Cho hình chóp S.ABCD Lấy M, N, P lần lượt là các điểm trên

SA, AB và BC sao cho chúng không trùng với trung điểm các đoạn

ấy Tìm giao điểm (nếu có) của mp(MNP) với các cạnh của hìnhchóp, với AC, BD

5 Cho hình chóp S.ABCD, M, N tương ứng là các điểm thuộc cáccạnh SC và BC Tìm giao điểm của SD với (AMN)

6 Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AC, CB, BD lần lượt lấy M,

N, P tùy ý Tìm giao điểm của CD, AB, AD với (MNP)

7 Cho tứ diện SABC Trên cạnh SA, SB lấy hai điểm M, N tùy ý.Gọi O là điểm thuộc miền trong tam giác ABC Tìm giao điểmcủa (OMN) với các cạnh của tứ diện

8 Cho 4 điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi M, N lần lượt làtrung điểm AC, BC Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD

(a) Tìm giao điểm của CD với (MNP)

(b) Tìm giao tuyến của (MNP) và (ABD)

9 Cho bốn điểm không đồng phẳng A, B, C, D Gọi I, K theo thứ

tự là hai điểm trong của các tam giác ABC và BCD Giả sử IKcắt (ACD) tại J Xác định J

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 18

3.2 Bài tập 3 GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

10 Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy M,

N, P Gọi O là điểm tùy ý trong tam giác BCD

(a) Tìm giao điểm BC và (ADO), giao tuyến (ABC) và (ADO)(b) Tìm giao điểm OA và (MNP), giao tuyến (MNP) và (ADO)

11 Cho hình bình hành ABCD và điểm S nằm ngoài mp(ABC)

(a) Trên SC lấy M Tìm giao điểm của AM và (SBD)

(b) Giả sử M là trung điểm SC Gọi G là trọng tâm tam giácSAD Tìm giao tuyến cảu MG và (ABCD), (SAB)

12 Cho hình chóp SABCD

(a) Trên SA lấy M Tìm giao điểm của BM và (SCD)

(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N Gọi G làtrọng tâm tam giác SAD Tìm giao điểm của NG với các mp(SCD), (SBD), (SAB)

13 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy I và lấy J, K lần lượt làcác điểm thuộc miền trong các tam giác BCD và BCD Gọi L làgiao điểm của JK và (ABC)

(a) Xác định điểm L

(b) Tìm giao tuyến (IJK) và các mặt của tứ diện ABCD

14 Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC).Gọi M là trung điểm AC, N là trung điểm SA, Glà trọng tâm tamgiác SBC

(a) Tìm giao điểm NG và (ABC)

(b) Tìm giao điểm NG với (SBM)

15 Trong mp(P) cho tứ giác lồi ABCD có các cặp cạnh đối khôngsong song và ngoài (P) cho điểm S

(a) Trên SA lấy M Tìm giao điểm BM và (SCD)

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 19

4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG

(b) Trên phần kéo dài của BC về phía C ta lấy N Gọi G là trọngtâm tam giác SAD Tìm giao điểm của đường thẳng NG vớicác mặt phẳng (SCD), (SBD), (SAB)

4 Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng

Trang 20

4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG

2 Cho tứ diện ABCD gọi E là điểm đối xứng của A qua C Xác địnhthiết diện khi cắt bởi mặt phẳng (BEF) troong các trường hợpsau :

(a) F nằm trên CD và không trùng với C và D

(b) F nằm trong tam giác ACD

(c) F nằm trong DD’ (D’ là trọng tâm tam giác ABC)

3 Cho hình chóp SABC Các điểm M, N, E lần lượt trên các cạnh

SA, BC, SC thỏa mãn SM = MA, BN = NA, SESC = 23 Tìm thiếtdiện tạo bởi (MNE) cắt hình chóp

4 Cho hình chóp SABC Các điểm M, N, E lần lượt trên cạnh SA,

BC, SC thỏa SM = MA, BN = NA và SESC = 13 Tìm thiết diện tạobởi (MNE) và hình chóp

5 Cho hình chóp SBCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M làtrung điểm SC, H là điểm trên đường chéo AC (không trùng vớigiao điểm các đường chéo hình bình hành), và N là trung điểm

SH Tìm thiết diện tạo bởi (BMN) và hình chóp

6 Cho hình chóp SABC gọi M, N là các điểm trên SA, SB, P là điểmtrong mp(SBC) Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) và hình chóp

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 21

4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG 4.2 Bài tập

7 Cho hình chóp SABC Gọi N là điểm trên cạnh SB, M, P là cácđiểm thuộc miền trong (SAB) và (SBC) Tìm thiết diện tạo bởi(MNP) với hình chóp

8 Cho hình chóp SABCD Gọi M, N, P là các điểm trên SA, SB,

BD Tìm thiết diện tạo bởi (MNP) với hình chóp

9 Cho hình chóp SABCD Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác SCD.Tìm thiết diện tạo bởi (ABM) và hình chóp

10 Cho hình chóp SABCD Trên cạnh SA, SB, SC, SD lấy các điểm

O, G, P tùy ý Tìm thiết diện tạo bởi (GOP) và hình chóp

11 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M,

N, E lần lượt là trung điểm AB, BC, SD Tìm thiết diện tạo bởi(MNE) và hình chóp

12 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M

là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD Tìm thiết diệntạo bởi (MGC) và hình chóp

13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H

là giao điểm các đường chéo đáy và M, N là trung điểm AH, BH.Gọi M’, N’ là trung điểm SM, SN Tìm thiết diện tạo bởi (AM’N’)cắt hình chóp

14 Cho hình chóp ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G làtrọng tâm tam giác SAD H là giao điểm các đường chéo đáy, M

là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG Tìmthiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp

15 Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC, lấy một điểm M.Trong tam giác SCD, lấy một điểm N

(a) Tìm giao điểm của MN và (SAC)

(b) Tìm giao điểm của SC với (AMN)

(c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AMN)

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 22

4.2 Bài tập 4 THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP VỚI MẶT PHẲNG

16 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M,

N, P lần lượt là trung điểm của SB, SD và OC

(a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC), và giao điểm của(MNP) với SA

(b) Xác định thiết diện của hình chóp với (MNP) và tính tỉ số

(c) Tìm thiết diện của hình chóp với (AGM)

18 Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là mộtđiểm trên cạnh SD

(a) Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN

20 Cho hình chóp SABC Gọi M, N, P lần lượt là các điểm nằmtrong các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SAC) Tìm thiết diện tạobởi (MNP) và hình chóp

21 Cho hình chóp SABC, các điểm A’, B’, C’ nằm trên SA, SB, SCnhưng không trùng với S, A, B, C XÁc định thiết diện của hìnhchóp khi cắt bởi mặt (A’B’C’)

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 23

5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

22 Cho hình chóp SABC D Gọi M là một điểm nằm trong tam giácSCD

(a) Tìm giao tuyến của (SBM) và (SAC)

(b) Tìm giao điểm của BM và (SAC)

(c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (AMB)

23 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N, E

là trung điểm của AB, Bc, SD Tìm thiết diện tạo bởi (MNE) cắthình chóp

24 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M

là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAD Tìm thiết diệntạo bởi (MGC) cắt hình chóp

25 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G

là trọng tâm tam giác SAD H là giao điểm các đường chéo đáy,

M là trung điểm BH, K là điểm trên SM, N là trung điểm AG.Tìm thiết diện tạo bởi (BKN) và hình chóp

Trang 24

5.2 Bài tập 5 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

1 Cho ba điểm A, B, C không thuộc mặt phẳng (Q) và các đườngthẳng BC, CA, AB cắt (Q) lần lượt tại M, N, P Chứng minh M,

N, P thẳng hàng

2 Cho tứ diện SABC Trên SA, SB, SC lấy D, E, F sao cho DE cắt

AB tại I, EF cắt BC tại j, cắt CA tại K Chứng minh I, J, K thẳnghàng

3 Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC và ngoài (P) cho điểm S.Giả sử A’, B’, C’ là các điểm nằm trên SA, SB, SC sao cho A’B’cắt AB tại M, A’C’ cắt AC tại N và B’C’ cắt BC tại E Chứngminh M, N, E thẳng hàng

4 Cho (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d Trong (α) lấy hai điểm

A và B sao cho AB cắt d tại I Điểm O nằm ngoài (α) và (β) saocho OA và OB cắt (β) tại A’ và B’

(a) Chứng minh I, A’, B’ thẳng hàng

(b) Trong (α) lấy C sao cho A, B, C không thẳng hàng Giả sử

OC cắt (β) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K.Chứng minh I, J, K thẳng hàng

5 Cho tứ diện SABC có D, E lần lượtlà trung điểm AC, BC và G

là trọng tâm tam giác ABC Mặt phẳng (α) qua AC cắt SE, SB

www.MATHVN.com

học tập khác

khongbocuoc.com

Trang 25

6 CHỨNG MINH BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI

7 Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm

S Gọi O là giao điểm hai đường chéo ABCD Trên đoạn SO lấyđiểm I Một đường thẳng đi qua I cắt SA, SC của tam giác SACtại A’ và C’ Một đường thẳng khác đi qua I cắt SB, SD của tamgiác SBD B’, D’ Giả sử A’B’ cắt AB tại M, C’D’ cắt CD tại N,A’C’ cắt AC tại K và B’D’ cắt BD tại H Chứng minh M, N, H,

K thẳng hàng

8 Trong mặt phẳng (P) cho tứ giác lồi ABCD và ngoài (P) cho điểm

S Giả sử C’, D’ là các điểm trên SD, SC sao cho hai đường thẳngAD’ và BC’ cắt nhau tại M Giả sử A’, B’ là hai điểm trên SA,

SB sao cho hai đường thẳng DA’ và CB’ cắt nhau tại N Chứngminh M, N, S thẳng hàng

9 Cho hình bình hành ABCD và tam giác ABM nằm trong hai mặtphẳng khác nhau Trên MA, MB, MC, MD lấy A’, B’, C’, D’ Gọi

I là giao điểm AC’ và A’C, K là giao điểm của BD’ và B’D Chứngminh I, K, M thẳng hàng

Cách 1: Chứng tỏ ba đừng thẳng đó cắt nhau từng đôi một và chúngkhông cùng nằm trong một mặt phẳng

Cách 2: Chỉ ra rằng hai trong ba đường thẳng đó cắt nhau tại M.Chứng minh M nằm trên đường thẳng còn lại, nghĩa là đường thẳngcòn lại là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng đi qua M

Ví dụ: Cho tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng khácnhau Gọi M, E là trung điểm của CA, CB Trên cạnh DB, DA của tamgiác ABD lấy N, F sao cho Mn và EF cắt nhau Gọi G là trọng tâmtam giác ABC Chứng minh MN, EF, DG đồng qui

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	585,69 KB