Bài 8: Cho biểu thức... c Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó... DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT... b Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m... c Tìm hệ t
Trang 1DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức
2 2 a a 1 2
1 a
1 2
1
−
+
−
−
+ +
a) Rút gọn P
b) Tìm Min P
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
Tính giá trị biểu thức : P = x2+xy y2-1+xy
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = xx+-yy
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P =
3 x
3 x 2 x -1
2 x 3 3 x 2 x
11 x 15
+
+
−
− +
−
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
2 1
b) Chứng minh P ≤ 32
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a
2 a 2 a
1 a 2
a a
3 9a 3a
1 −
− + ++
−
−
+
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên
Bài 6: Cho biểu thức
P =
2 a
16 a
8 -1
4 -a 4 a 4 -a 4 a
+
− + +
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên
Bài 7: Cho biểu thức
−
− +
−
−
2 1 a
1 : a a
1 1
a a
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0
Bài 8: Cho biểu thức
Trang 2P =
−
−
−
−
−
2 x 2 x
1 x : x 4
8x x
2
x 4
a) Rút gọn P
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1
Bài 9: Cho biểu thức
−
+ + +
−
xy
y x x xy
y y
xy
x : y x
xy
-y x
a) Tìm x, y để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
Bài 10: Cho biểu thức
P =
x
2007 x
1 x
1 4x x
1 x
1 -x 1 x
1 x
2
−
−
− + +
−
−
+
a) Tìm x để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên
Bài 11: Rút gọn P.
2 2 4 2
2
2 2 2
2
2 2
b
b a a 4 : b a a
b a a b a a
b a
− +
−
−
−
−
−
− +
Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
2
x 1 1 x 2 x
2 x 1
x
2 x
+ +
+
−
−
−
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0
c) Tìm GTLN của P
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6 x 5 x
10 x 3
x 4 x
1 x 5 2 x 3 x
2x
+ +
+ +
+ +
+ +
+
+
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x x
+ +
−
− +
− +
5 2 5 4 9
3 4 7 3 2
4
6 3
Không phụ thuộc vào biến số x
Bài 15: Cho biểu thức
1 x x
x x 1 x x
x
+ + +
− +
− + + −
Trang 3Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1
Bài 16: Cho biểu thức
P =
1 x
) 1 2(x x
x 2x 1 x x
x
x2
−
− +
+
− +
+ −
a) Rút gọn P
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
P x
Bài 17: Cho biểu thức
P =
1 x 2
x 1
x 2x
1 x 1
x
x x 1
x x
x x x 2x
−
+
− + −
⋅
−
+
−
−−
+
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5 3 10
5 3 5
3 10
5 3
− +
−
− + +
+
Bài 19: Rút gọn biểu thức
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P = x+ 24 + 7 2x − 1 + x+ 4 − 3 2x− 1
Với 2
1 ≤ x ≤ 5
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
2 6
48 13
5 3 2
+
+
− +
là một số nguyên
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
1 2
3 1 1
2
3 1 2
3 1 1
2
3 1
=
−
−
− + + + +
Bài 23: Cho x = 35 2 + 7 −35 2 − 7
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
Bài 24: Cho E = 1x++xyy −1x−−xyy
Tính giá trị của E biết:
Trang 4x = 4 + 8 2 + 2 + 2 2 − 2 + 2
y =
45 27
2 18 3
20 12
2 8 3
+
−
+
−
2008
2 2007 2
2007
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
P = 1+1 5 + 51+ 9+ + 2001+1 2005
Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x = 33+2 2 + 33−2 2
y = 317 + 12 2 +317 − 12 2
−
+ +
−
−
−
+
a a a a
a a
4 1
1 1
1
a) Rút gọn A
b) Tính A với a = (4 + 15)( 10 - 6) 4 − 15
Bài 29: Cho biểu thức
−
−
⋅
−
−
− +
+
−
−
1
1 1 1
4
1 4 1
4
x
x x
x x
a) x = ? thì A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 30: Cho biểu thức
P =
x x
x
x x
x
x
+
+ + + +
+
− +
− +
−
− +
1
1 1
1
1 1 1
1
1 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với
2
2
Bài 31: Cho biểu thức
+
−
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1
Bài 32: Cho biểu thức
P =
a
a a
a a
a
a
−
+
−
−
+
− +
−
−
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a) Rút gọn P
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên
Bài 33: Cho biểu thức
−
−
−
− +
−
1 2
2
2 2
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Trang 5Bài 34: Cho biểu thức
P = xy x− y−x+ x− x xy− y −1 −−x x
1 2
2
2 2
a) Rút gọn P
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0
Bài 35: Cho biểu thức
P =
y x xy
y y x x y x y x y x y
3 3
: 1 1 2 1
1
+
+ + +
+ + +
+
a) Rút gọn P
b) Cho xy = 16 Tìm Min P
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab
b a
b
a
+− Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy
Tính giá trị biểu thức E = x x+−y y
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
Trang 6M = 2 2 2
z
xy y
xz x
Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:
+
+
+
a
c c
b b
a
1 1 1
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1
Tính giá trị của biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức:
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
b
y a
x
ab
xy
Tính 33 33
b
y a
x
+
Bài 9: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức
1 1
1
c b a b c a a c
Bài 10: Cho
b a b
y a
x
+
=
4
; x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng:
a) bx2 = ay2;
2008 1004
2008
) (
2
b a b
y a
x
+
= +
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
+ +
+ +
1 1
1 1
1
= 1 Bài 12: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau Tính giá trị của biểu thức:
P = (a b a)(2a c) (b c b)(2b a) +(c−b c)(2c−a)
−
−
+
−
−
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
a b b a c c b c c b b a c a a c b b a b b c+c−a
−
+
−
=
−
−
− +
−
−
− +
−
−
) )(
( ) )(
( ) )(
(
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng: p1a p1 b p1 c−1p = p(p−a)(abc p−b)(p−c)
−
+
−
+
−
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh :
Trang 7) 2 ( 2 1
−
=
−
+
ab a
b b
a
c
z b
y a
x
z
c y
b x a
Tính giá trị biểu thức A = 22 22 22
c
z b
y a
x
+ +
−
+
−
+
c a c
b c b a
Tính giá trị của P = ( ) 2 ( ) 2 (a c) 2
c a
c
b c
b
a
−
+
−
+
−
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2
Tính giá trị biểu thức: A = x x+−y y
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy
6
2
y xy x
xy
+ +
−
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007
2 2 2
) ( ) ( ) (y z ac x z ab x y bc
cz by ax
− +
− +
−
+ +
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008
Tính giá trị biểu thức:
P = (x y x)(3x z) (y x y)(3y z) +(z−y z)(3z−x)
−
−
+
−
−
= + +
= + +
= + +
1 1 1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
z y x
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Tính giá trị của biểu thức:
[ 2 2]
2 2
) ( ) (
) (
) (
b c a c b a
c b a c b a
−
− +
+
− + +
−
Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
Trang 8
= + +
= + +
= + +
15 8 3
z x zx
z y yz
z y xy
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
= + +
= +
+
1
1
3 3 3
2 2 2
z y x
z y x
Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P = 2 23 36 48 4
+ +
+ + + +
b) Tính giá trị biểu thức: Q = x x+−y y
Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0 (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2
a) So sánh a và b + c
b) So sánh a3 và b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
2) Tính A = 3 20 + 14 2 + 3 20 − 14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện 2
1
2
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )
− +
<
+
>
ac bc ab a c
c
2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm
Trang 9Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
=
−
=
−
35
5
3 2
3 1
2 1
x x
x x
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm nếu 2 ≥ + 4
a
c a b
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
1
2
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m
Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức:
2
3 1
1 1
x
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3x + 1 = 0 Có hai nghiệm là x1,x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3 1
3 2 1
2 2 2 1
2 1
4 4
3 5
3
x x x x
x x x x
+
+ +
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6
3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m
b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1)
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Trang 10Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
1 1
1 + =
b a
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 ≥ 10
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương
CMR: a2 + b2 là một hợp số
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2
Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7: a) (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
Trang 11b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 Bài 10: x− 85 +x− 93 = 1
2 5 3
7 2
3
2
2
+ +
− +
x x
x x
4
2
2
= +
x x
1
4 48 1
2 5 1
2
2 2 2
2
=
−
− +
−
+
−
+
−
x
x x
x x
x
1
7 1 3
3
2
+ +
+ +
x x
x x
b)
15 12
4 15
6
15 10
2 2
2
+
−
= +
−
+
−
x x
x x
x
x x
c)
4
1 5 6
5 5 5
4
5 3
2
2 2
2
−
= +
−
+
−
− +
−
+
−
x x
x x x
x
x x
81
2
2
= +
x x
b) x2 + ( 1)2 15
2
= +
x x
−
− +
−
x
x x
x
1
4 2
5 1
2 1
2
2 2 2 2
=
−
−
−
−
− +
+
+
x
x x
x x
x
1
8 1
8
=
−
−
−
−
−
x
x x
x x
−
x
x
= 8( Đề thi HSG V1 2004) Bài 18: x− 1 − 5x− 1 = 3x− 2
Bài 19: 3 x+ 1 + 3 7 −x = 2
Bài 20: x+ 2 x− 1 + x− 2 x− 1 = 2
Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 x2 + 7x+ 7 = 2
Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
Trang 12Bài 27: 4 0
3 10
48
2
=
−
− +
x
x x
x
Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x3 + 1
( Đề thi HSG 1998)
5 3
14
− +
−
−
−
x
x x
Bài 30: x4 - 4 3x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
2
4
2
4
=
−
−
x
Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0
Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2x+ 3
b) 3 x3 + 8 = 2x2 - 6x + 4
3 2
4
+
− +
−
x x
Bài 35: 3 x+ 1 + 3 x+ 2 + 3 x+ 3 = 0
Bài 36: Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt
Bài 37: Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c Tìm điều kiện của a, b, c để phương trình có nghiệm
Bài 38: Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0
Bài 40: x2 + 9x+ 20 = 2 3x+ 10
Bài 41: x2 + 3x+ 1 = (x + 3) x2 + 1
Bài 42: x2 + x+ 2006=2006
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì a+b≥ ab
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
≥ +
y x b
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0 Cm: ab+ cd ≤ (a+c)(b+d)
Bài 4) CM bất đẳng thức:
2 2 2
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
2
2 2
b a
c a c
b c
b
+
+ +
+ +
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
2
1 2
1
2
1 1
+
+
n
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2 Cmr: a + b ≤ 2
Trang 13Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn −3 ;0
4
khi biễu diễn trên trục số
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5
CMR: 2a2 + 3b2 ≥ 5
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1
CM: a2 + 4b2 ≥ 51 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003)
2 2 2 2
2 2 2 2 2
<
+ +
−
+ + +
−
(Đề thi HSG 2001)
Bài 12) Chứng minh:
a) (a2 +b2 )(x2 +y2 ) ≥ (ax + by)2
b) 0 < x− 2 + 4 −x ≤ 2
Bài 13) Cho a, b, c > 0 Cm:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
3
1 2
1
=
CMR: S không là số tự nhiên
Bài 15) a) Cho x, y dương CMR: 1x+1y≥x+4y Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Tam giác ABC có chu vi
2
c b a
P= + +
+ +
≥
−
+
−
+
p
1 1 1 2 1 1
1
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
1 ≥
−
x x
b) Cho a > 1, b > 1 Tìm GTNN của:
1 1
2 2
−
+
−
=
a
b b
a P
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 1 1 1 ≥ 9
+ +
c b
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005)
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b ≤ 10 Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab
3
8 ≤a2 +b2 ≤ Dấu bằng xảy ra khi nào?