Tìm m để điểm I3;2 thuộc đường thẳng Δ, biết rằng Δlà đường thẳng đi qua điểm cực đại, và điểm cực tiểu nằm phía bên trái trục Oy của đồ thị hàm số 1.. Đường phân giác của góc BAC!. cắt
Trang 1Khoá giải đề đặc biệt – Thầy : Đặng Thành Nam
Đề 050 +4/2015 Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= 1
4x
4 − 2x2+ m −1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m= 1
2 Tìm m để điểm I(3;2) thuộc đường thẳng Δ, biết rằng Δlà đường thẳng đi qua điểm cực đại, và điểm cực tiểu nằm phía bên trái trục Oy của đồ thị hàm số (1)
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho tan a= 2 2, π < a < 3π
2
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ Tính A=1+ cotcos a2
a
b) Cho số phức z thoả mãn z + 2i = (3− i)2 Tìm phần ảo của z2
Câu 3 (0,5 điểm). Giải bất phương trình 32 x+1− 3x+2+ 6 < 0
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x(1+ cos2
x)dx
0
π 4
Câu 5 (0,5 điểm) Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để chọn được một số có tổng các chữ số là một số chẵn
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2 = 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;1
2;0)vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3y − 2z +1 = 0, và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,AB = 2a, AD = a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AC, góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600
Gọi M là trung điểm của SA Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn, AC > AB Đường phân giác của góc BAC! cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm E(-4;-4) (E khác A) Gọi D(1;1) là điểm
trên cạnh AC sao cho ED = EC , tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai
F(4;0) Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
(2x − y2
)3 + 1
(5x − y2
)3 = 9
8y3
x3− 3y2
(x + 2) +17 = 13− 3x2
⎧
⎨
⎪
⎩
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực x,y,z khác 0 thoả mãn x − y ≥ 0 , và x(yz + 4z − 4y) = 4yz Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x − y) 1+ 16
x2
y2 + z2+16
z2 − 7 2(x − y − z)
Trang 2PHÂN TÍCH BÌNH LUẬN ĐÁP ÁN Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số y= 1
4x
4 − 2x2+ m −1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m= 1
2 Tìm m để điểm I(3;2) thuộc đường thẳng Δ, biết rằng Δlà đường thẳng đi qua điểm cực đại, và điểm cực tiểu nằm phía bên trái trục Oy của đồ thị hàm số (1)
1 Học sinh tự giải
2 Ta có: y' = x3− 4x; y' = 0 ⇔ x= 0
x= ±2
⎡
⎣
Suy ra điểm cực đại A(0;m-1), điểm cực tiểu B(-2;m-5) hoặc C(2;m-5) Vậy đường thẳng Δlà hoặc
AB
Ta có, AB
! "!!
= (−2;−4) / /(1;2) ⇒ Δ :2x − y + m −1 = 0
Vì I(3;2) thuộc Δnên 2.3− 2 + m −1 = 0 ⇔ m = −3
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Cho tan a= 2 2, π < a < 3π
2
⎛
⎝⎜ ⎞⎠⎟ Tính A=1+ cotcos a2
a
b) Cho số phức z thoả mãn z + 2i = (3− i)2 Tìm phần ảo của z2
a) Ta có: cos2
1+ tan2
a= 1
9, vì π < a < 3π
2 ⇒ cosa < 0 ⇒ cosa = −1
3⇒ A = −1 / 3
1+1 8
= − 8
27
b) z + 2i = (3− i)2 = 8 − 6i ⇒ z = 8 − 8i ⇒ z2= 64(1− i)2= −128i
Vậy z2 có phần ảo bằng -128
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình 32 x+1− 3x+2+ 6 < 0
Bất phương trình tương đương với: 3.32 x − 9.3x + 6 < 0 , đặt t = 3 x > 0 Bất phương trình trở thành:
3t2− 9t + 6 < 0 ⇔ 1 < t < 2 ⇔ 1 < 3 x < 2 ⇔ 0 < x < log32
Vậy tập nghiệm S= (0;log32)
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I = x(1+ cos2
x)dx
0
π 4
I = x(1+ cos2
x)dx
0
π
4
0
π 4
2 x(3 + cos2x)dx
0
π 4
Đặt u = x
dv = 3+ cos2x
⎧
⎨
du = dx
v = 3x +1
2sin 2x
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Suy ra: I= 1
2x(3x+1
2sin 2x)
π 4 0
−1
2 (3x+1
2sin 2x)dx
0
π 4
64 +1
8
Câu 5 (0,5 điểm) Gọi M là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Chọn ngẫu nhiên một số từ M, tính xác suất để chọn được một số có tổng các chữ số là một số chẵn
Trang 3Không gian mẫu là số các chữ số có 5 chữ số khác nhau thành lập từ tập E= 1,2,3,4,5,6,7,8,9{ } có
n(Ω) = A9
5
Gọi A là biến cố số được chọn có tổng các chữ số là một số lẻ, để tính số kết quả thuận lợi cho A ta tìm
số các số có 5 chữ số mà tổng các chữ số của nó là số lẻ Vậy các số này sẽ có 1 hoặc 3 hoặc 5 chữ số
lẻ
+) Số có 5 chữ số khác nhau, gồm 1 chữ số lẻ thành lập từ E là C51
.C44.5!= 600
+) Số có 5 chữ số khác nhau, gồm 3 chữ số lẻ thành lập từ E là C53
.C42
.5!= 7200
+) Số có 5 chữ số khác nhau, gồm 5 chữ số lẻ thành lập từ E là C55
.5!= 120
Vậy n(A)= 600 + 7200 +120 = 7920
Xác suất cần tính P(A)= n(A)
n(Ω)=
7920
A95 =11
21
Câu 6 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2 = 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1;1
2;0)vuông góc với mặt phẳng (Q) : 3y − 2z +1 = 0và tiếp xúc với mặt cầu (S)
+) Giả sử (P) có véc tơ pháp tuyến n
!
= (a;b;c),a2+ b2+ c2> 0, mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến là (0;3;-2)
Do (P) vuông góc với (Q) nên 3b − 2c = 0 ⇒ c = 3
2b ⇒ n!(a;b;3
2b) +) Phương trình của (P) có dạng: a(x −1) + b(y −1
2)+ 3
2bz = 0 ⇔ (P) :2ax + 2by + 3bz − 2a − b = 0 +) Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), bán kính bằng 1
Do (S) tiếp xúc với (P) nên
d(O;(P))= 1 ⇔ −2a − b
4a2+ 4b2+ 9b2 = 1
⇔ (2a + b)2 = 4a2+13b2 ⇔ 4b(a − 3b) = 0 ⇔ b= 0
a = 3b
⎡
⎣
⎢
+) Nếu b= 0, chọn a=1 ta có (P) : x−1 = 0
+) Nếu a = 3b, chọn a = 3,b = 1ta có (P) : 6x + 2y + 3z − 7 = 0
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,AB = 2a, AD = a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AC, góc giữa mặt bên (SAD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600 Gọi M là trung điểm của SA Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
từ điểm M đến mặt phẳng (SBC)
Ta có: S ABCD = 2a2 , và gọi N là trung điểm AD, suy ra HN//CD nên
HN ⊥ AD Lại có, AD ⊥ SH ⇒ AD ⊥ (SHN) ⇒ SNH! = 600 Tam giác vuông SHN có, HN =CD
2 = a ⇒ SH = HN 3 = a 3
Vì vậy V S.ABCD =1
3SH S ABCD = a 3
3 .2a
2 =2a3 3
3 (đvtt)
+ Tính d(M;(SBC)
Trang 4Gọi I là trung điểm BC, kẻ HK ⊥ SI (K ∈SI)
Ta có, BC ⊥ HI, BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ (SHI) ⇒ BC ⊥ HK
Do đó HK ⊥ (SBC) ⇒ HK = d(H;(SBC))
Tam giác vuông SHI có, HK= SH HI
SH2+ HI2 = a.a 3
3a2+ a2 =a 3
2
Vậy d(M;(SBC))= a 3
2
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC nhọn, AC > AB Đường phân giác của góc BAC! cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm E(-4;-4) (E khác A) Gọi D(1;1) là điểm
trên cạnh AC sao cho ED = EC , tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai
F(4;0) Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C
Vì E là điểm chính giữa cung nhỏ BC nên EB = EC Mặt khác theo giả thiết có, ED = EC
Từ đó suy ra EB = ED (1)
Tam giác ECD cân có,
ECD ! = EDC ! ⇒ ADE! = 1800− ECD! = 1800− ACE! Lại có tứ giác ABEC nội tiếp nên
ACE ! + ABE! = 1800⇒ ABE! = 1800− ACE! Suy ra: ADE ! = ABE! (2)
Từ (1),(2) suy ra AE là trung trực của AD, AE ⊥ BD (3)
Xét tam giác DCF có, DCF ! = ABF! (cùng chắn cung AF)
Và CDF ! = ADB ! (đối đỉnh), và ADB ! = ABF! (tam giác ABD cân tại A)
Từ đó suy ra: DCF ! = CDF ! ⇒ ΔCDF cân tại F, vì vậy FD = FC , lại có: ED = EC
Nên EF là trung trực của CD, suy ra EF ⊥ AD (4)
Từ (3),(4) suy ra D là trực tâm tam giác AEF
Áp dụng giải tích
Phương trình đường thẳng AC qua D vuông góc EF là 2x + y − 3 = 0
Phương trình đường thẳng AE qua E vuông góc DF là 3x − y + 8 = 0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ 2x + y − 3 = 0
3x − y + 8 = 0
⎧
⎨
Gọi H là giao điểm của EF và AD, thì H là trung điểm của CD
Toạ độ điểm H là nghiệm của hệ 2x + y − 3 = 0
x − 2y − 4 = 0
⎧
⎨
⎩ ⇒ H(2;−1) ⇒ C(3;−3)
Phương trình đường thẳng BF qua D,F là x + 3y − 4 = 0
Gọi G là giao điểm của BF và AE thì G là trung điểm của BD, toạ độ G là nghiệm của hệ
x + 3y − 4 = 0
3x − y + 8 = 0
⎧
⎨
⎩ ⇒ G(−2;2) ⇒ B(−5;3)
Vậy A(-1;5), B(-5;3) và C(3;-3)
Trang 5Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
1
(2x − y2
)3 + 1
(5x − y2
)3 = 9
8y3
x3− 3y2
(x + 2) +17 = 13− 3x2
⎧
⎨
⎪
⎩
Điều kiện: 0< y < x
2 ≤1 2
13
3 Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: y
6
(2x − y2
)3 + y6
(5x − y2
)3 = 9
8
Đặt t= y2
x > 0 , phương trình trở thành: t3
(2− t)3 + t3
(5− t)3 =9
8 (*) Xét hàm số f (t)= t3
(2− t)3 + t3
(5− t)3 , với t>0, ta có:
f (t) = u + v,u = t3
(2− t)3 > 0,v = t3
(5− t)3 > 0
Ta có: u '= 6t2
(2− t)4 > 0,v' = 15t2
(5− t)2 > 0 ⇒ f '(t) = u '
2 u + v'
2 v > 0
Vì vậy f(t) đồng biến trên (0;2) Do đó (*)⇔ f (t) = f (1) ⇔ t = 1 ⇔ x = y2
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:x3− 3x2− 6x +17 = 13− 3x2
Nhận thấy x=2 là nghiệm kép của phương trình nên tiến hành liên hợp nghiệm kép như sau:
(−6x +13− 13− 3x2
)+ (x +1)(x − 2)2= 0
−6x +13+ 13− 3x2 + x +1
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟= 0
−6x +13+ 13− 3x2 + x +1 > 0,∀x ∈ 0; 13
3
⎛
⎝⎜
⎤
⎦
⎥
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
Vậy x = 2 ⇒ y = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y)= (2; 2)
Bình luận: Ta có thể tìm được x = y2, bằng các cách sau:
Cách 2: ghép liên hợp: ( 1
(2x − y2
)3 − 1
y3)+ ( 1
(5x − y2
)3 − 1
8y3)= 0
Cách 3: Sử dụng đánh giá:
Nếu x > y2⇒ VT < 9
8y3 = VP Nếu x < y2 ⇒ VT > 9
8y3 > VP Nhận thấy x = y2⇒ VT = VP Vậy phương trình đầu của hệ tương đương với: x = y2
+ Dấu hiệu ghép liên hợp nghiệm kép là f (x0)= 0
f '(x0)= 0
⎧
⎨
⎩ Ngoài ra hoàn toàn có thể ghép liên hợp số như sau:
Trang 6(x3− 3x2− 6x +16) + (1− 13− 3x2
)= 0
⇔ (x − 2) x2− x − 8 + 3(x+ 2)
1+ 13− 3x2
⎡
⎣
⎦
⎥ = 0
⇔ (x − 2) x⎡ 2+ 2x − 2 + (x2− x − 8) 13− 3x2
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực x,y,z khác 0 thoả mãn x − y ≥ 0 , và x(yz + 4z − 4y) = 4yz Tìm
giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x − y) 1+ 16
x2
y2 + z2+16
z2 − 7 2(x − y − z)
Xét hai véc tơ u!
= (x − y;4 1
y−1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟);v
!
= (−z;−4
z)
Sử dụng bất đẳng thức: u!
+ v! ≥ u!+ v! (*), ta có:
(x − y) 1+ 16
x2
y2 + z2+16
z2 = (x − y)2+16 1
y−1
x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ z2+16
z2
≥ (x − y − z)2+16 1
y−1
x−1
z
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= (x − y − z)2+16 xz − y(x + z)
xyz
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= (x − y − z)2+1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x − y
−z =
1
y−1
x
−1
z
= z(y − x)
xy (1)
Đặt t = x − y − z , ta có: P ≥ f (t) = t2+1 −7 2
10 t ≥ f (7) = 2
10
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x − y − z = 7 (2)
Từ (1),(2) kết hợp với x(yz + 4z − 4y) = 4yz , ta có (x;y;z) = (4;−1;−2)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2
10
Bình luận:
+ Bất đẳng thức (*) phát biểu dưới dạng đại số như sau:
Với mọi số thực p,q,m,n ta có
p2+ q2 + m2+ n2 ≥ (m + p)2+ (q + n)2