Trên đường về còn cách A 32km thì ca nô gặp bè nứa trôi.. Tìm vận tốc riêng của ca nô và của dòng nước.. Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I.. Dây CM cắt dây AB tại K.. MK
Trang 1TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI THỬ CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
ĐÔNG HÒA NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: 1 4 1
2
x
4
x≥ − )
b) Tính giá trị biểu thức: 3 84 3 84
c) Cho x + y = 1 và x y ≠0 Chứng minh rằng : ( )
2
0
x y
−
Câu 2:(2 điểm) : Một ca nô và một bè nứa trôi tự do cùng rời bến sông để xuôi dòng
sông Ca nô xuôi dòng được 96km thì trở về A, cả đi lẫn về mất 10h Trên đường về còn cách A 32km thì ca nô gặp bè nứa trôi Tìm vận tốc riêng của ca nô và của dòng nước
Câu 3:( 4 điểm)
a) Cho một hình vuông và 4n + 1 đường thẳng Mỗi đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2 : 3 Chứng minh trong 4n + 1 đường thẳng
có ít nhất n + 1 đường thẳng cùng đi qua 1 điểm
b) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
A
Câu 4: ( 2 điểm)Giải phương trình: 2x2+ + +x 9 2x2 − + = +x 1 x 4
Câu 5: ( 4 điểm) Cho đường tròn (O; R) với dây AB cố định sao cho khoảng cách từ O
tới AB bằng
2
R
Gọi H là trung điểm của AB, tia HO cắt đường tròn (O; R) tại C Trên cung nhỏ AB lấy M tùy ý ( khác A, B) Đường thẳng qua A và song song với MB cắt CM tại I Dây CM cắt dây AB tại K
a) So sánh : ·AIM với ·ACB b) Chứng minh: .
MK
1 MB
1 MA
c) Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAK và tam giác MBK, hãy xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AB để tích R1.R2 đạt giá trị lớn nhất
Câu 6:( 3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a cố định
M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC tại P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM tại Q
a) Chứng minh ·QAB = ·BAP
b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC tại
H Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a
-HẾT -ĐỀ 1
Trang 2TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
Câu 1:(5 điểm)
2
2
b) (3 điểm) Tính giá trị biểu thức: A = 3 84 3 84
Suy ra :
3
−
2 2
3 1
x y
+
+
Câu 2:(3 điểm) Giải: Gọi x, y lần lượt là vận tốc riêng của ca nô và của dòng nước.
ĐK : x> 4; y > 0; x > y
Vì ca nô đi và về mất 10 giờ, ta có phương trình : + =
96 96 10
x y x y
Vì ca nô khi trở về gặp bè nứa trôi cách A 32 km, ta có phương trình: + − =
96 96 32 32
Trang 34 2
K
3
E
M
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
Ta có hệ PT:
96 96 10 (1)
x y x y
96 96 32 32 (2)
Từ (2), ta có: + − =
96 96 32 32
⇒ 96y x y 64y x y − + + = 32 x 2 − y 2 ⇔ 160xy 32x = 2 ⇔ = x 5y
Thay vào (1), ta có: 96 96+ = 10 ⇔16 24 10y+ = ⇔ = y 4
Vậy hệ có nghiệm x = 20; y = 4 ( tm)
Câu 3:( 4 điểm)
a)Giải: Để chia hình vuông thành 2 tứ giác thì đường thẳng
phải cắt hình vuông ở 2 cạnh đối diện
Đặt tên như hình vẽ: Với EF là đường đoạn thẳng
Nối trung điểm của 2 cạnh đối diện
3 2
B C
IADJ
BI CJ
BC
AI JD
+
×
g
Vậy điểm M là điểm cố định vì tỉ số 2
3
EM
MF = cố định
Trong hình vuông, có 2 đoạn nối trung điểm nên ta xác định được 4 điểm thỏa mãn tính chất trên
Vì có 4n + 1 đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm trên nên tồn tại ít nhất 1 điểm có n+1 đường thẳng đi qua ( theo nguyên lí Đirichle)
b) Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 3 3 3 3 3
A
Ta có : ( )2 2 2
0
x y− ≥ ⇔ x − +xy y ≥xy
Vì x, y > 0 nên (x y x+ ) ( 2 − +xy y2)≥xy x y( + ) ⇔x3 +y3 + ≥ 1 xy x y( + +) xyz
⇔x3 +y3 + ≥ 1 xy x y z( + + )
Tương tự: y3 + + ≥z3 1 yz x y z( + + ); ⇔x3 + + ≥z3 1 xz x y z( + + )
A
Mà xy x y z( 1 ) yz x y z( 1 ) zx x y z( 1 ) xyz x y z x y z( ) xyz1 1
+ +
Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 1 khi x = y = z = 1
Câu 4: ( 2 điểm)Giải phương trình sau : 2x2 + + +x 9 2x2 − + = +x 1 x 4
Giải: Ta thấy : (2x2 + + −x 9) (2x2 − + =x 1) 2(x+ 4)
+ x= − 4 không phải là nghiệm
Trang 4K I J
C
H O M
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
+ Xét x≠ − 4Trục căn thức ta có :
x
+
Vậy ta có hệ:
2
0
x
x
=
Thử lại thỏa; vậy phương trình có 2 nghiệm : x=0 và x=8
7
Câu 5: ( 5 điểm)
a) Xét∆AOH có CosAOH = 1 · 0
60 2
OH
AOH
OA = ⇒ =
·AOB 120 0 sđ AB» 120 0 ·ACB 60 0
+ ∆ABC có đường cao CH đồng thời là trung tuyến
Vậy ∆ABC đều =>·ACB= 60 0
Vì AI // MB
AIM =CMB CAB= = ( góc nội tiếp chắn »BC)
Vậy ·AIM = ·ACB
b) ∆AIM đều vì ·AIM =·AMI = 60 0
=> AM = MI
AIC AMB (c-g-c)
Vì AC = AB; · · s »
2
đ MB
CI MB
MKA
∆ ∆MBC( g-g) nên
MC
MB MA
MK
=
MKB
∆ ∆MAC ( g-g) nên
MC
MA MB
MK
=
MC
MA MB MC
MA MC
MB MB
MK MA
MK
=
+
= +
=
MK
1 MB
1 MA
1
= +
c) Bổ đề: Trong ∆ABC, ta có : 2 R
C sin
c B sin
b A sin
a
=
=
=
Áp dụng bổ đề ta được:
Trong∆AKM:
3
AK 60
sin 2
AK M
sin 2
AK
Trong ∆BKM:
3
BK 60
sin 2
BK M
sin 2
BK
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm R1, R2 có:
1 2
1 2
3
( Không đổi) Dấu bằng xảy ra khi R1=R2 ⇔ AK = BK ⇔ M là điểm chính giữa của »AB
Trang 5H
Q
P
A
N
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
Vậy R1R2 max =
4
2
R khi M là điểm chính giữa của cung AB
Câu 6:( 2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, cạnh AB = a cố định
M là trung điểm AB, trên BC lấy điểm N, đường thẳng AN cắt đường thẳng DC tại P, đường thẳng PB cắt đường thẳng DM tại Q
a) Chứng minh ·QAB = ·BAP
b) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng CM cắt đường thẳng BC tại H Tính giá trị nhỏ nhất của diện tich tam giác AHC theo a
GIẢI:
a) Qua M, vẽ đường thẳng song song với AD cắt AQ tại K
Áp dụng định lí Talet, ta có:
Suy ra: QK QB KB//AP
QA =QP ⇒ ( Định lí Talet đảo)
Nên ·BAP ABK= · ( cặp góc so le trong) (*)
Mà MK // AD; AD ⊥ AB
;
Suy ra : ∆AKBcân tại K
·ABK QAB=· (**)
Từ (*) và (**), suy ra ·QAB = ·BAP
b) Ta có : ∆ABH ∆CBM ( g – g)
Vì ·ABH CBM=· = 90 ; 0 BAH· =BCM· ( cùng phụ với µH)
BH BC a× = × = ( cố định)
2
AHC
Dấu “ = ” xảy ra khi BC = BH hay ∆AHC cân tại A
2
a
AHC