Tia Mx song song với AB cắt BC tại D, tia My song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F.. Hai đường tròn O1, O2 tiếp xúc ngoài nhau tại M, tiếp xúc với AB lần
Trang 1SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
PHÚ YÊN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Năm học : 2014 – 2015 Môn thi : Toán Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)
Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho x 0, y> x Chứng minh rằng:
2
2
P
a
Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
Câu 3: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác Tia Mx song
song với AB cắt BC tại D, tia My song song với BC cắt AC tại E và tia Mz song song với AC cắt AB tại F Chứng minh rằng:
3S DEF S ABC ( S ABC: diện tích tam giác ABC, S DEF : diện tích tam giác DEF )
Câu 4: (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R), một dây cung AB cách tâm O một khoảng d ( 0 < d < R) Hai đường tròn (O1), (O2) tiếp xúc ngoài nhau tại M, tiếp xúc với AB lần lượt tại C, D
và tiếp xúc trong với đường tròn (O) lần lượt tại các điểm E, F (O1; O2 và O cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB)
a) Gọi N là trung điểm của cung nhỏ AB Chứng minh: NC.NE = ND.NF
b) Khi hai đường tròn (O1), (O2) thay đổi, điểm M chạy trên đường nào?
Câu 5: (3,5 điểm) Gọi S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n Hãy tìm số tự nhiên
n biết S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) n
Hết
-Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh:………
Chữ kí giám thị 1: ……… Chữ kí giám thị 2: ………
Trang 2TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
Trang 3ĐÁP ÁN THAM KHẢO Câu 1: (5,0 điểm)
a) Cho x 0, y> x Chứng minh rằng: 2 2
Bình phương hai vế, ta có:
2
Chứng minh tương tự :
y y x y y x
y y x y y x
b) Rút gọn biểu thức: ĐKXĐ : 1 a 1
3 3 2
2
P
a
2
a
2
a
Suy ra : P2 1 1 a2 1 a 1 a 2 1 a2 2 1 1 a2 1 1 a2
2 1 1 a2 2a2
2 ; -1 a<0
a P
a
Câu 2: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 2
2 2
Trang 4R
P
F
E
D
A
M
TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
2 2
2 2
2 2
0
12 0
x y
2 2
2 2
0
hptvonghiem
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( -1; -1) và (1; 1)
Câu 3: (3,5 điểm)
Từ D, E và F lần lượt vẽ các đường thẳng
song song với MF, MD và ME cắt AB, BC và AC
lần lượt tại P, Q và R
Ta có : FR // BC nên AFR ABC
AF
2
R
ABC
S
Tương tự:
2
BDP ABC
2
CQE
ABC
Vì MDQE; MDPF là các hình bình hành
3
CQE
R BDP
ABC ABC ABC
S
Dấu “ = ” xảy ra khi AF = FP = PB = 1
3AB khi đó M là trọng tâm của ABC Nên AF
AF
R BDP CQE
R BDP CQE ABC ABC
S
3
DQERFP ABC
Mặt khác : MERF; MDQE; MDPF là các hình bình hành
Nên S MEF SREF ;S MDE SQDE ;S MDF SPDF
M MD MD DQERFP ABC
S S S S S S nên 3SDEF S ABC
Câu 4: (4,0 điểm)
a) Vì (O) và (O1) tiếp xúc ngoài tại E nên ba điểm O, O1 và E thẳng hàng
Ta có : ONE cân tại O nên 1800
2
NOE
0
Trang 5F
D
M
O1 E
N
B A
O C
M
O2
F
D
M
O1 E
N
B A
O C
M1
Suy ra : NEO CEO hay ba điểm N, C và E thẳng hàng
Tương tự : N, D và F thẳng hàng
Xét NCD và NFE có:
sd NB sd AE sd NA sd AE
Tương tự: EF
2
sd NBF
Nên NCD NFE (g-g)
NC NE ND NF
b)
Ta chứng minh MN là tiếp tuyến chung
của (O1) và (O2)
Giả sử NM không phải tiếp tuyến của (O1)
Suy ra : NM cắt (O1) tại điểm thứ 2 là M1
Ta có : NCM 1 NME (g-g)
1
1
NM
NC
Mà NC NE ND NF
1
MNF chung
Nên NDM 1 NMF (c-g-c)
1
1
Nên tứ giác MDFM1 nội tiếp
Suy ra: (O1) và (O2) cắt nhau tại
2 điểm M và M1 ( Mâu thuẫn giả thiết)
Vậy MN là tiếp tuyến của (O1)
Vì O1; M và O2 thẳng hàng
Nên MN là tiếp tuyến của (O2)
Vậy MN là tiếp tuyến chung của (O1) và (O2)
Suy ra : NM2 = NC.NE (1)
Mặt khác: NAC NEA (g-g)
(2)
Từ (1) và (2), suy ra: NM = NA cố định
Nên tập hợp điểm M thuộc cung tròn tâm A, bán kính NA phần nằm trong đường tròn (O)
Trang 6TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ QUANG TRUNG
Câu 5: ( 3,5 điểm)
* Nếu n = 2015 thì S(n) = 20152 – 2015.2015 + 8 = 8
nên 0 < S(n) = 8 2015 ( thỏa mãn
* Nếu n > 2015 thì S(n) = n2 – 2015n + 8 = n(n-2015) + 8
Vì n > 2015 nên n – 2015 1 n n 2015 8 n hay S(n) > n
Nên n 2015 không có giá trị n thỏa mãn yêu cầu bài toán
Nếu n < 2015:
S(n) = n2 – 2015n + 8 = n2 – 1 – 2015n + 2015 – 2006
= (n-1)(n+1) – 2015( n-1) – 2006 = (n-1)(n-2014) – 2006
+ n = 0 : S(n) = 8 > 0 ( = n) ( không thỏa mãn)
+ n = 2014: S(n) = - 2006 < 0 ( không thỏa mãn)
+ 0 < n < 2014 : n 1 0; n-2014<0
nên S(n) = (n-1)(n-2014) – 2006 < - 2006
Vậy 0 n 2015 :S n 0: nên không có giá trị n thỏa mãn yêu cầu bài toán Giá trị n thỏa mãn : S(n) = n2 – 2015n + 8 và 0 < S(n) n là n = 2015