các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong đề thi đại học

bất đẳng thức sẽ là cơ có thêm điểm nó sẽ không còn là bài toán quá khó với chúng ta

Trang 1

GTLN-GTNN VA CHUNG MINH BAT DANG THUC

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

(y+zz+ zx) >3(Äy.yz + yz.zx+ zxay) = 3xyz(x+y+z)

BAI TAP MAU

Dang Thanh Nam

Trang 2

Ta có điều phải chứng minh

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y=z

Bài 3 Cho 2 số thực x # 0, y # 0 thay đôi vào thỏa mãn điều kiện:

Ay(x+y)= x +y? xy

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

~ A3

Theo giả thiết ta có

(x+y)=x?+y°-ay =(œ+yŸ —3xy 2 (x+y) -30+ y) =.(xtz} >0

Trang 3

3TLN-GTNN VA CHUNG MINH BAT DANG THUC

Dang Thanh Nam

Trang 4

Dang Thanh Nam

Trang 5

› il

Từ đó suy ra GTLN của P bang a khi x=l;y=0

ý 1 : GTNN cua P bang “7 khi x=0;y=1

Trang 6

Dat a=x+lb=y+hco=z+I1 dé ching ta tận dụng tích xyz >0

Nếu không zbesê rất khó đánh giá

Cách 2 : Xem phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Bai 12 Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x? +y?+z?=5 và x-y+z =3 Tìm giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 6- 597 Dang Thanh Nam

Trang 7

Cộng theo về các bât đăng thức trên ta suy ra

1 = | >a+b+c>3Ñabc >3abe do abe<]

ab+l be+l cat+1 (ab+T be+l ca+l

Cộng theo về các bât đăng thức trên ta suy ra đpcm

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi ø= b =I,c= 0hoặc các hoán vị

Trang 8

©(I-⁄2)#+:+42~2>0 ¡ với =a+be(L2 ]

(Vì (a+b) =a? +b? +2ab>a° +b? =1> atb>1

va (a+b) <2(4°+b?)=2=a+b<2

Suy ra :e(bx2 } Bắt đẳng thức (*) luôn đúng với :e(bx?]

Bài 16 Cho øz,b,c>0 Chứng minh rằng (@ +b? +0?)24(a+b+c)(a—b)(b—c)(c-a)

Trang 9

a+b+c—(ab+be+ca)<1

Lam ta nghidén :

(I-a)(I-b)(I-c) 20 1-(a+b+c)+(ab+be+ca)—abe 20

=(a+b+e)—(ab+ be+ca)<1— abe <]

Từ đó ta có đpem Dẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ø= b = 0,e= Lhoặc các hoán vi

Bài 19 Chứng minh răng với mọi a,be [0:1] thì ta luôn có + <

I+a” I+b” I+ab

Lời giải :

Bắt đăng thức tương đương với

(I+ab)(2+ a+b ) = 2(I+ 4°)\(I+2”) ° (ab-1)(a—by <0, bat đẳng thức cuối luôn đúng Ta

Trang 10

Dang thie xay ra khi va chikhi x = y=

Vậy giá trị lớn nhất của P=3

Bat dang thire cudi luén dang do a<b<c Tacé dpem

Bai 22 Cho cdc s6 thyc a,b,c thoa man a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=Va+ab+bh +b’ tbet+e +e +ca+a’

Lời giải :

Tacd a +ab+b =Z (446) +7(a-8) 25 (a+)

=a’ +ab+b? >| Bs 22 (a+)

Tương tự ta có

Alb?+be+c? >Š~ Êp+d>3 0:c)

2

Trang 10-601

Dang Thanh Nam

Trang 11

Vetacta’ > Bes al2 Bora)

Cộng theo về ba tế đẳng thức trên ta suy ra

P>4B(a+b+e)=x

1

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi đ=b= e= 5

BÀI TẠP ĐÈ NGHỊ

1.1 Cho ab>0 Ching minh rang [« vosd lly +ar2}2(20+2)(20+2]

1.2 Cho x,y,ze [0: 2] thỏa mần x+ y+z =3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P=x ?+y?+z!

1.3 Chứng minh rằng với mọi +, y,z không âm ta luôn có

(x+2y+z)(x+y+z} >4(x+z)(y+z)(z+x)

1.4 Cho a,b,ce[l;2] Chứng minh rằng 3(ab+be+ca)>2(a+b+e)+ a°b+ b?e+ c?a

1.5 Cho a,b,c>0 va b=min(a,b,c) Chứng minh rằng (beet) <1

3a+b 3a+c 2at+b+e

1.9 Cho xy>0 và x°+2y? =1 Chứng minh rằng

Trang 12

Đưa bài toán nhiều biến về bài toán một biến, khảo sát tính tính đơn điệu của hàm số suy ra giá

trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Các hướng giải quyét bài toán loại này

+ Nếu trong biểu thức có xuất hiện biểu thức đối xứng của x,y đặt £=x+ y hoặc ¿=

+ Nếu không biểu diễn các biến về một biến được có thể coi biểu thức đó là hàm một biến và các

l + : = THỦ Lổ =l+ 1c >l+ 1-5 = 2 ,do be>1 Suyra

l+b l+c lI+be+b+e lI+be+b+ec I+be+2Nbe_ Abe+l

Trang 13

34 P>/0>/0)=

Đăng thức xảy ra khi x=4,y=l,z=2

Trang 14

Dang Thanh Nam

Trang 15

2(z +b?)}+ ab= (a+b)(ab+2), chia cả 2 về của đẳng thức này cho ab ta được

2 Suối Liat be,

Dang Thanh Nam

Trang 16

P=xy+yz+zx—2xyz = yz(I—2x)+ xy+zx >0

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x =1,y = z=0

Mặt khác ta lại có

?P=yz(-2x)+x(y+z)< xứ -x}# (=) a = 2x) = f(x)

Ta tim giá trị lớn nhất của ƒ(x) trên đoạn [os] ề

Taco f(x)= 7 —# (;->) >0, do đó /(+) đồng biến trênđoạn [os] :

2 \3 Vay max P = max f(x)= (3) = = Khi và chỉ khi x=

Vậy rae 0x (S2 5 Ì)-ge-6sze=zxs Ta co dpem

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z =l

Trang 17

Không mất tính tong gid st a= min(a,b,c)=> a =

BDT da cho tuong duong voi

s(a’ +(b+e)” ~25c} <6(a’ +(b+ey ~3be(b+e)}+I

<> 5(a’ +(I-a)' —2be) <6(a’ + (I-a)'—3be(I-a)} +1

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= >

Bai 9 Cho a,b là các số thực dương thỏa mãn ab+a+b=3 Tim giá trị lớn nhất của biểu thức

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

Vậy giá trị lớn nhất của P bằng I khi a=b=l

Trang 18

Ta có P=x'+y'“+z= (x? +ự xơ -2(y?2” +??? +zx?)

= ((x+ y+z) -2(ay+ yet 2x)) -2(ay+ yztzx) + 2ayz(ayt yzt zx)

x+y+z=4 Theo giả thiết ta có | , đặt f= xy+ yz+zx— P= z(# —32t+ 144)

a+b’ +c) +122 (a+b+c+1) Dau bằng xây ra khi và chikhi a=b=c=l

Dat t=a+b+c+1>1 Khidé két hợp với các bất đăng thức trên ta suy ra

Trang 18 -609 Dang Thanh Nam

Trang 19

Bai 12 Cho các s6 thyc a,b,c thoaman a>b>c;, a°+b?+c? =5 Ching minh ring

(a—b)(b—e)(e—a)(ab+ be+ ca)>~4

Loi gidi:

Bắt đẳng thức cần chứng minh tương đương với :

(a- b)(b-c)(a —€)(ab+be+ ca) <4(*)

Đặt về trái của bất đẳng thức (*) là P

Nếu aö+bc+ ca <0—> P<0, ta có đpcm

Xét ab+be+ca >0, ta đặt x= ab+ be+ ca

Tuổi (a-ø~5)<(“#:*=°] =[===] =(a=ð)(b=e)(a~e)<5(a=e}

2 Mặt khác lại có

á°+b°+e° =ab=be=eä=S(a=b} +2(b=e) + 2(a=e}

su Esea and gE) = EN 2, | = 23 An : cf (x)= =

Xét nam so f(x) 5 2 (5 x) trén doan [0:5] ta suy ra may f(x) S (2) 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ø= 2;b =l;e= 0 Ta có đpcm

? 2 (2y) x+2y} x+2y}

4+8y l+x 448y 4+4x 448y4444x §+4(x+2y)

Trang 19-610 Dang Thanh Nam

Trang 20

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhât của P băng = khi x=4;y=2

Bài 14 Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+ „+z =9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Dang Thanh Nam

Trang 21

Giả sử a= max {a,b,c}

- Néu a>c>b thi

ob eek eas a,o,¢ >3 4,5,2 >2 a,b ,¢ +3

Trang 22

A= x-UŸ +y? +(x+1Ÿ +y? +|y—2I

1.5 Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M =3(4°b?+b°e? +€?4”)+3(ab+ be+ ca)+2\a°+b°+c?

1.6 Cho các sô thực không âm x, y thay đôi và thỏa mần x+ y =1 Tìm giá trị lớn nhât và giá

trị nhỏ nhât của biêu thức

= (4x° # 3»)(4° + 3x)+25xy

1.7 Cho x,y li cdc sé thực thay đổi thỏa mãn điều kiện x? + y? =1 Tìm giá trị lớn nhất, giá

trị nhỏ nhât của biêu thức

4a ”+2ay—l 2xy—2y’ +3"

Trang 22 -613

f=

Dang Thanh Nam

Trang 23

1.8 Cho x,y >0 thỏa mãn x°y+xy”=x+ y+3xy Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(I+2xy) `3

2xy , Pax ty? t+

3x+2y+z<4

Trang 23 -6 14 Dang Thanh Nam

Trang 24

x(y-z)' +y(z-xŸ +z(x-yŸ Si

1.23 Cho các số thực x,y không nhỏ hơn I Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1.25 Cho các số thực không âm z,b,e và không đồng thời bằng không Tìm giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vita Vi+b vite 2

1.29 Cho a,b,cla ba sé duong thoa man a’? +b? +c? =3 Ching minh rang

+——_' >3

2-a 2-b 2-c

1.30 Cho các số thực dương ø,b,c Chứng minh rằng

(2a+b+e)” (2b+e+a} (2c+a+b} <

—————+———+——- ¬<8

2a°+(b+e) ` 2b°+(e+a) ` 2c°+(a+b)Ì

1.31 Cho các số thực dương z,b,ccó tổng bằng 3 Chứng minh rằng

Dang Thanh Nam

Trang 25

Chứng minh rằng (x? = 6x)sin ys (v? —6y]sinx

1.36 Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn {

Chứng minh rằng 183—16545 <x'+y*+z! <18

1.37 Cho a,b>I là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn “tr T Tìm giá trị nhỏ nhất

a của biểu thức

1.39 Cho a,b,c 1a ba sé thực dương thỏa mãn (a+e)(b+e)= 4c” Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức P=

1.41 Cho các số thực x,y,z€ [0:1] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=(xy-y+l) +(yz-z41) +(zx-x41) 1.42 Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn x” + y? =2 Chứng minh rằng

Trang 26

2

1.44, Cho x,y là hai sô thực thỏa mãn 4ˆ Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức

3x Ì—~2x+y<I Rim y —8# 428:

1.45 Cho x,y là các số thực không âm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P= rex y (x? +2y?-3)+(y?-2) -1

1.46 Cho ba số thực a,b,e (a # 0);a >bsao cho ham sé y = 2ax? + 3bx? +6ex+12(a+b-c)

a+b+e

cà amb

1.47 Cho các sô thực dương a,b,c cé tong bang 3 Tim gia tri nhỏ nhât của biêu thức

luôn đồng biến trên IR Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?=

a+b B+e C+a

pe b(3a?—4ab+ 116") ` e(32~4be+lie) ` a(3e'~4ea+l1a")

1.48 Cho a,b,c>0 thỏa mãn abe(a+b+e)” = (ab+ be+ ca) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

1.50 Cho bas6 thuc a,b,c théaman a? +b? +c’ = sử b+be+ ca) và không có hai sô nào

đông thời băng 0 Tìm giá trị nhỏ nhât của biêu thức ?=———————

Trang 27

BAT DANG THUC CO SI

Trong Đề thi TSĐH các bài toán BĐT thường cho 3 biến số , nên ta chỉ cần sử dụng chắc 2 kết quả sau

Với 2 số không âm a,b ta có

te > ab

Dau bang xay ra khi va chikhi a=b

Với 3 số không âm ø,b,cta có

HH1

3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=Öb=e

Ngoài ra ta có các kêt quả sau

Trang 28

BAI TAP MAU

Bai 1 Cho x, y,z là ba số thực dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x

Dang Thanh Nam

Trang 29

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x = )

Bài 3 Cho các số đương x, y,z thỏa mãn xyz =1 Chứng minh rằng

Viewty, vit Kếa Mie? +e 23h,

Sử dụng BĐT Cô si cho 3 sô dương ta có

14x? +y?> 3ẩI ay? =3xy, suy ra

Do 0<x <1= yr >’, vay Stradey 22, hon =axyy Ta co dpem

Dang thức xảy ra khi và chỉ khi x =l;y= ~

Trang 30

>2 E—+3

4x

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x=2,y =4

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng >:

Trang 30 -621 Dang Thanh Nam

Trang 31

Pˆ>4(a°+b°+c!)=4œ P32

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= > 3B

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2

Bài 9 Cho các s6 khéng am a,b,c,d ching minh rang

16(abe+ bed + cda+dab)<(a+b+e+d)

Bài 10 Cho các số thực không âm ø,b,e,đ,e có tông bằng 5 Chứng minh rằng

abe+ bcd + cde+ dea + eab < 5

Không mất tính tổng quát ta giả sử e= min(a,b,e,đ,e)

Trang 31-622

Dang Thanh Nam

Trang 32

Theo giả thiết ta có

(wz} >(+yz+ zxy „ mặt khác ta lại có

(y+ yz +ax) > 3(azy? + yxz? + yzx? ) =3ayz(xt y+z)

Trang 33

Nhân theo 2 về của 2 bất đẳng thức trên, ta có đpcm

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Trang 34

b+e+abe atb+e’c+at+abe a+b+e

Cộng theo về các bât dăng thức trên ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi và chikhi a=b=c

Bình luận: Một bài tương tư

Cho các số thực ø,b,e thỏa mần ø+b+ =0 Chứng minh rằng

xhe+a+ea+b+-ab+e >1+^Alab + be +^jea

Cộng theo về 3 bát đẳng thức trên, và để ý ++e=l Ta suy ra đpem

Đăng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y= z =3

Bài 17 Cho các só thực không âm a,b,c thoa man øb+ e+ ca =l Chứng minh

lI+a?+Al+b) +\I+e? <2(a+b+e)

Dang Thanh Nam

Tiêu đề	Các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức và giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong đề thi đại học
Trường học	Đại học Quốc Gia Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài luận
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	7,54 MB