Phương pháp xấp xỉ trong để giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,cùng các thầy cô trực tiếp g

Trang 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

TS PHẠM NGỌC ANH

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

Mục lục

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 3

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản 3

1.1.1 Tập lồi và hàm lồi 3

1.1.2 Dưới vi phân 5

1.2 Ánh xạ đa trị 7

1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 12

1.3.1 Bất đẳng thức biến phân đa trị và các bài toán liên quan 12

1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán (M V I) 18

2 Phương pháp xấp xỉ trong với điều kiện Lipschitz 20 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong [1] 20

2.2 Thuật toán xấp xỉ trong và sự hội tụ 23

3 Phương pháp xấp xỉ trong không Lipschitz 33 3.1 Thuật toán và sự hội tụ 33

3.2 Một số kết quả tính toán cụ thể 39

4 Thuật toán kiểu điểm gần kề cho bài toán (M V I) 41 4.1 Thuật toán kiểu điểm gần kề 41

4.1.1 Sơ bộ về phương pháp kiểu điểm gần kề 41

Trang 3

4.1.2 Thuật toán điểm gần kề 43

4.2 Thuật toán mới và sự hội tụ 45

4.2.1 Thuật toán 45

4.2.2 Sự hội tụ của thuật toán 47

4.3 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) 51

Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 56 Tài liệu tham khảo 57

Trang 4

Lời cảm ơn

Trong suốt quá trình làm luận văn này, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và chỉbảo tận tình của thầy giáo TS Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễnthông) Thầy luôn động viên và hướng dẫn tận tình cho tôi trong thời gian học tập,nghiên cứu và làm luận văn Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy.Xin cảm ơn Ban giám hiệu, các bạn đồng nghiệp trường THPT Chuyên Thái Nguyên

đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khóa cao học này

Tôi cũng xin cảm ơn các thầy, cô thuộc Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo và Quan

hệ Quốc tế và các thầy cô trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,cùng các thầy cô trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 2 (2008 - 2010) đã mang đếncho tôi nhiều kiến thức bổ ích trong khoa học và cuộc sống

Xin cảm ơn các bạn học viên cao học toán khóa 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, độngviên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và rèn luyện tại trường

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và bạn đọc

để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9-2010Người viết luận văn

Dương Thị Bình

Trang 5

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giảicác bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, líthuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng, · · ·

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vàonăm 1966 Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bàitoán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng.Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụngcủa nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalitiesand their application" của D.Kinderlehrer và G Stampacchia xuất bản năm 1980 [8]

và trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to freeboundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh vàthu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Một trong các hướng nghiên cứuquan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương phápgiải Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thứcbiến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện được Vì vậy cácnhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm củabài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được Do đóngười ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó

Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điềunày giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong

đó có bài toán bất đẳng thức biến phân Vì vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biếnphân đa trị cũng có những bước phát triển mới Nhiều phương pháp đã được đề xuất

để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp

Trang 6

chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt, · · ·

Luận văn này trình bày phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán bất đẳng thức biếnphân đa trị giả đơn điệu được viết trong bài báo của Phạm Ngọc Anh " An interiorproximal method for solving pseudomonotone nonlipschitzian multivalued variationalinequalities, Nonlinear Analysis Forum 14, (2009), 27-42." [4] và một kết quả mới vềthuật toán điểm gần kề mở rộng cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị [6]Ngoài lời nói đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm 4 chương Chương 1nhắc lại các kiến thức cơ bản của giải tích lồi, ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz và ánh

xạ đa trị đơn điệu Phần tiếp theo, phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị,các bài toán liên quan và một số ví dụ thực tế, đồng thời trình bày điều kiện có nghiệmcủa bài toán này Chương 2 gồm hai phần chính: Phần thứ nhất giới thiệu về phươngpháp hàm phạt điểm trong; Phần thứ hai trình bày thuật toán xấp xỉ trong giải bàitoán (M V I) giả đơn điệu Lipschitz và chứng minh sự hội tụ của thuật toán Chương

3 đề xuất thuật toán giải bài toán (M V I) không có điều kiện Lipschitz Chương nàyđưa ra thuật toán xấp xỉ, trong đó có sự kết hợp hàm logarit toàn phương với kĩ thuậtđường tìm kiếm Cuối chương trình bày một số kết quả tính toán cụ thể minh họa chothuật toán ở chương 2 và chương 3 Chương 4 trình bày phương pháp mới để giải bàitoán (M V I) và các kết quả tính toán để minh họa thuật toán đã đề xuất

Trang 7

Chương 1

Bài toán bất đẳng thức biến phân

đa trị

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản

Trong luận văn này, chúng ta sẽ làm việc trên không gian Euclid n chiều Rn Mỗiphần tử x = (x1, x2, · · · , xn)T ∈ Rn là một véc tơ cột của Rn Với hai véc tơ bất kì

được gọi là tích vô hướng của hai véc tơ x, y

Chuẩn Euclid (hay độ dài) của véc tơ x ∈ Rn, kí hiệu ||x|| được xác định bởi

Trang 8

Định nghĩa 1.3 [10] Một tập C ⊆ Rn được gọi là nón nếu

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C

Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là một tập lồi Như vậy, một tập lồi C

là nón lồi khi và chỉ khi nó có các tính chất sau:

(a) λC ⊆ C, ∀λ > 0

(b) C + C ⊆ C

Tập C ⊆ Rn dưới đây luôn giả thiết là một tập lồi (nếu không giải thích gì thêm).Định nghĩa 1.4 Cho x ∈ C, nón pháp tuyến ngoài của C tại x, kí hiệu là NC(x),được xác định bởi công thức

(iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2

Trang 9

Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f (x0) 6= ∅.

Ví dụ 1.1 Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn Xét hàm chỉ trên tậpC

Trang 10

Ví dụ 1.2 (Hàm lồi thuần nhất dương) [10]

Cho f : Rn → R là hàm lồi thuần nhất dương, tức là: Một hàm lồi f : Rn → Rthỏa mãn

f (λx) = λf (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ Rn.Khi đó

∂f (x0) = {w ∈ Rn|hw, x0i = f (x0), hw, xi ≤ f (x), ∀x ∈ C}

Chứng minh Nếu w ∈ ∂f (x0) thì

hw, x − x0i ≤ f (x) − f (x0), ∀x ∈ C (1.1)Thay x = 2x0 vào (1.1), ta có

hw, x0i ≤ f (2x0) − f (x0) = f (x0) (1.2)Còn nếu thay x = 0 vào (1.1), ta được

−hw, x0i ≤ −f (x0) (1.3)Kết hợp (1.2) và (1.3), suy ra

hw, x − x0i = hw, xi − hw, x0i

≤ f (x) − f (x0), ∀x ∈ C

Trang 11

data error !!! can't not

read

Trang 12

read

Trang 13

read

Trang 14

read

Trang 15

read

Trang 17

read

Trang 18

read

Trang 19

read

Trang 20

read

Trang 21

read

Trang 22

read

Trang 23

read

Trang 24

read

Trang 26

read

Trang 27

read

Định dạng
Số trang	27
Dung lượng	279,98 KB