Một số dạng toán về đa thức

HàăN i, ngàyă15ăthángă6ăn mă2016 Tácăgi THÂNăV NăD... Tôiăxinăchânăthànhăcámă n!. HàăN i, ngàyă15 thángă6 n mă2016 Tácăgi THÂNăV NăD... Quy c: aăth că0ălàăđaăth căcóăb c ... Ch ngăminh

B GIỄO D C VĨ ĨO T O

-

THỂN V N D

M T S D NG TOỄN V A TH C

LU N V N TH C S TOỄN H C

HƠ N i ậ 2016

B GIỄO D C VĨ ĨO T O

-

THỂN V N D - C00439 M T S D NG TOỄN V A TH C LU N V N TH C S TOỄN H C CHUYểN NGĨNH: PH NG PHỄP TOỄN S C P Mĩ S : 60460113

NG I H NG D N KHOA H C: TS Lể ỊNH NAM

HƠ N i ậ 2016

L I CAM OAN

Tôiăxinăcamăđoanăd i s giúpăđ ,ăh ng d n c aăTS.ăLêă ìnhăNam,ă

lu năv năcaoăh căchuyênăngànhăph ngăphápătoánăs ăc p v iăđ tàiă“M t s

d ngătoánăv đaăth c”ăđ căhoànăthànhăb i s nh n th căvàătìmăhi u c a b n thânătôiătrongăth i gian h c t păvàănghiênăc u t iătr ngă i h căTh ngăLong

Trong quáătrìnhănghiênăc uăvàăth c hi n lu năv n,ătácăgi đãăk th a

nh ng k t qu c aăcácănhàăkhoaăh c v i s trânătr ngăvàăbi tă n

HàăN i, ngàyă15ăthángă6ăn mă2016

Tácăgi

THÂNăV NăD

M C L C

Trang

L i nói đ u 1

1 T ng quan v đa th c 3

1.1 Vànhăcácăđaăth c m t bi n ……….3

1.2 Nghi m c aăđaăth c ……… ….4

1.3 M tăvàiăbi u di năđaăth c ………8

2 Các bƠi toán v nghi m c a đa th c 10

2.1 Cácăbàiătoánăv s nghi m c a đaăth c ……….10

2.1.1 Tìmănghi m c aăđaăth c v i h s nguyên……….10

2.1.2 aăth căkhôngăcóănghi m h u t ….……… 12

2.1.3 S t n t i nghi m th c c aăđaăth c ……….……… 18

2.2 Cácăbàiătoánăv đánhăgiá,ă căl ng nghi m c aăđaăth c ………26

2.2.1 M t s đ nhălýăv căl ng nghi m ……….26

2.2.2 M t s víăd ……… ………30

3 Các bƠi toán v xác đ nh đa th c 33

3.1 Xácăđ nhăđaăth c d aăvàoăđ cătr ngănghi m ……… 33

3.2 Xácăđ nhăđaăth c th aămãnăP f x   .P g x   P h x    ………….40

3.3 Xácăđ nhăđaăth c th aămãnăP f x   .P g x   P h x   Q x  … 50

4 M t s d ng toán khác v đa th c 53

4.1 Cácăbàiătoánăv tínhăchiaăh t c aăđaăth c ……….53 4.1.1 aăth c P x  chia h tăchoăđaăth c Q x  ……….53 4.1.1.1 Ch ngăminhăđaăth c P x  chia h tăchoăđaăth c Q x  … 53 4.1.1.2 Tìmăđi u ki n c a tham s đ đaăth c P x  chia h tăchoăđaă

4.1.2 Cácăbàiătoánăchiaăh t c a bi u th c nghi m c aăđaăth c …………63 4.2 ng d ngăđaăth căđ gi iătoán ……… 64 4.2.1 ng d ngăđaăth c gi i h ph ngătrình ………64 4.2.2 ng d ngăđaăth c ch ng minh b tăđ ng th c ………72 4.2.2.1 ng d ngăđaăth c b c hai ch ng minh b tăđ ng th c …….72 4.2.2.2 ng d ngăđaăth c b căbaăđ ch ng minh b tăđ ng th c …77

TƠi li u tham kh o ……….84

Hi nănayăđãăcóănhi uătàiăli u vi t v đaăth c.ăTuyănhiênăcácătàiăli uănàyă

ch y uătrìnhăbàyăv lýăthuy tăxâyăd ngăvàăcác tínhăch t c aăđaăth c,ăbàiăt păápă

d ngăcònăít.ăV i mong mu năcóăm tătàiăli u tham kh o h uăíchăgiúpăchoăh c sinh t ônăt păvàăgiáoăviênăcóătàiăli u tham kh oăđ gi ng d yăvàăt sángătácă

đ căcácăbàiătoánăv đaăth c,ătácăgi đãăch năđ tàiă“M t s d ngătoánăv đaă

th c”

Cácăbàiătoánăv đaăth căkháălàăphongăphú, Tuyănhiênă đ tàiănàyătácăgi

ch n m t s ch đ c ăb n v đaăth c hay g pătrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i:

Ch ng 1 T ng quan v đa th c: Trìnhăbàyăcácăkháiăni măvàăcácătínhă

ch tăc ăb n c aăđaăth c

Ch ng 2 Các bài toán v nghi m c a đa th c:ăNêuăcáchăgi iăcácăbàiă

toánăv s nghi m c aăđaăth c,ăcácăbàiătoánăv đánhăgiá,ă căl ng nghi m

Ch ng 3 Các bài toán v xác đ nh đa th c:ăTrìnhăbàyăm t s d ngăbàiă

toánăxácăđ nhăđaăth căđi năhìnhăhayăg pătrongăcácăkìăthiăh c sinh gi i

Ch ng 4 M t s d ng toán khác: Trìnhăbàiăcáchăgi iăbàiătoánăch ng

minhăđaăth c P x  chia h tăchoăđaăth c Q x , bàiătoánătìmăđi u ki n c a tham

2

s đ đaăth c P x  chia h tăchoăđaăth c Q x  vàă ng d ng c aăđaăth căvào gi i

h ph ngătrìnhăđ i x ng vàăch ng minh b tăđ ng th c

Lu năv nănàyăđ c th c hi n t i Tr ngă i H căTh ngăLongăd i s

h ng d n c aăTS.ăLêă ìnhăNam, gi ngăviênăTr ngă i H căBáchăKhoaăHàă

N i.ăNhânăd pănày,ătácăgi xin g i l iăcámă năđ năcácăth yăcôătrongăkhoaătoánă

Tr ngă i H căTh ngăLong đãăh ng d nătácăgi trong nh ngăn măv a qua

và lòng bi tă năsâuăs c t iăTS.ăLêă ìnhăNamăng iăđãăt nătìnhăh ng d nătácă

gi hoànăthànhălu năv nănày

M c dùătácăgi đãăcóănhi u c g ng, song do th iăgianăvàătrìnhăđ có h n nênăb n lu năv năkhôngătránhăkh i nh ng thi uăsótănh tăđ nh.ăTácăgi r t mong

s nh năđ c nh ng đóngăgópăquýăbáu c a th yăcôăvàăb năđ căđ b n lu năv nănàyăđ căhoànăthiênăh n

Tôiăxinăchânăthànhăcámă n!

HàăN i, ngàyă15 thángă6 n mă2016

Tácăgi

THÂNăV NăD

CH NG 1

T NG QUAN V A TH C

Trongăch ngănàyăs trìnhăb y các khái ni măvàăcácătínhăch tăc ăb n c a đaăth c:ăKháiăni măvànhăđaăth c trênăm t mi nănguyên, nghi m c aăđaăth c, cácăđ nhălýăth ng g p c aăđaăth cănh ăđ nhălýăBezoút,ăViéte,ăđ nhălýăc ăb n

c aăđ i s ,ăđ nhălýăgiáătr trungăbình…ăvàăcácăbi u di năđaăth c quen thu c nh ă

bi u di n Lagarange, bi u di n Taylor, bi u di n Newton

4

B ng vi c ki mătraăcácătínhăch t th t c,ătaărútăraăđ c r ng v iăhaiăphépătoánăc ng vàănhânăđãănêuăthìăK x  tr thànhăm tăvànhăgiaoăhoánăcóăđ năv 1 KhiăđóăK x  đ c g iălàăvànhăcácăđaăth c c a bi n x trênăK,ăcácăph n t c a

deg f x n, n u an 0,ăcácăph n t a an, n1, , ,a a1 0 đ c g iălàăcácăh s

c aăđaăth c f x ,ătrongăđóăan đ c g iălàăh s cao nh tăvàăa0 đ c g iălàăh

s t do

Quy c: aăth că0ălàăđaăth căcóăb c 

nh lỦ 1.1 Cho K làăm t mi nănguyên.ăKhiăđóăvànhăcácăđaăth c K x  làăm t

mi nănguyên.ăNgoàiăra,ăn u f x g x   , K x  làăcácăđaăth căkhácăđaăth c 0, thì

nh ngh a 1.3 Choăđaăth c P x K x  vàăK N u t n t i m t s t nhiênăk sao cho P x  chia h t cho  k

x nh ngăP x  khôngăchiaăh t cho

ii S nghi m c aăđaăth c f x  trong K khôngăv tăquáăb c c a f x 

 

1

1 1 2

0 2

aa

q làănghi m c aăđaăth c f x  thì:

a) p a0 vàăq an;

b) pmq f m   v i m

nh lỦ 1.6 ( nhălýăgiáătr trung gian c aăđaăth căliênăt c)

Gi s hàmăs f liênăt cătrênăđo n  a b; , nh năgiáătr th cătrênăđo n

 a b; N u f a  f b  thìăv i m i s th c M n m gi a f a  vàă f b , t n

t iăítănh t m tăđi m c a b; sao cho f c M

H qu 1.6.1

Choăđaăth c P x   x N u t n t i ,a b sao cho P a P b    0thìăph ngătrìnhăP x 0 cóănghi m th c trong  a b;

nh lỦ 1.7 ( nhălýăRolle)

Choăhàmăs th c f x  liênăt c,ăxácăđ nhătrênă a b; ,ăcóăđ oăhàmătrênă

 a b; vàă f a  f b .ăKhiăđóăt n t i c a;b sao cho f c' 0

H qu 1.7.1

Choă hàmă s f x  liênă t că trênă a b; ,ă cóă đ oă hàmă trênă  a b; N u

ph ngătrìnhăf x' 0 cóăn nghi m th căphânăbi tătrênă a b; thìăph ngătrìnhă

8

G i N P  làăs nghi măâmăc aăđaăth c P x  (đ m c b i)ăvàăW P  làă

s l năđ i d u trongădãyăcácăh s khácăkhôngăc aăđaăth c P x Th thìă

n

a  N u a an o 0 thìăs nghi măd ngăc aăđaăth c P x  (đ m c b i)ălàă

s ch n, n u a an 0 0 thìăs nghi măd ngăc aăđaăth c P x (đ m c b i)ălàă



   v i 0

a  ăKhiăđóătaăcó:

0 , 0

n n

k i

10

CH NG 2

CỄC BĨI TOỄN V NGHI M C A A TH C

Trongăch ngănàyătrìnhăbàyăhaiăd ngătoánăv nghi m c aăđaăth c: D ng 1ălàăcácăbàiătoánăv s nghi m c aăđaăth c, d ngă2ălàăcácăbàiătoánăv đánhăgiáăcăl ng nghi m

2.1 CỄC BĨI TOỄN V NGHI M C A A TH C

2.1.1 Tìm nghi m c a đa th c v i h s nguyên

B c 1 : S d ngăđ nhălýă1.5 ta nh m nghi m c aăđaăth c f x  ;

B c 2 : S d ngăs ăđ Hoocneăđ phânătíchăđaăth c f x  thànhătíchăcácăđaă

th c b c nh h n

Chú Ủ :

 N u t ngăcácăh s c aăđaăth c b ngă0ăthìăđaăth căcóănghi m x1;

 N u t ngăcácăh s b c ch n b ng t ngăcácăh s b c l thìăđaăth căcóănghi m x 1

Nh n xét : Khiătìmănghi m c aăđaăth c f x  taăcóăth đ t n ph t px đ

đ aăbàiătoánătìmănghi m c aăđaăth c bi n t v i h s đ năgi năh n,ăcóăth gi m

Ví d 1

Ch ng minh r ng m iăđaăth c b c ch n P x   x cóăcácăh s làăs nguyênăl đ uăkhôngăcóănghi m h u t

Gi i :

Do p q, ,aii1,2, ,2n đ uălàăs nguyênăl nênăv tráiă(1)ălàăs l màăv ph i

b ngă0ăkhôngăph iălàăs l đi uănàyămâuăthu n.ă i uănàyăch ng t đi u gi s làăsai

Ví d 2 Choăđaăth c f x   x vàăgi s f      0 f 1 f 2 f 2015 khôngăchia h t cho 2016 Ch ng minh r ng f x  khôngăcóănghi mănguyên

Ví d 4

Choă đaă th c P x   x th aămãnă P   0 ,P 1 đ uă làăs nguyênă l

Ch ng minh r ngăđaăth c P x  khôngăcóănghi mănguyên

Do P   0 ,P 1 đ uălàănh ng s l nênă0  , 1  c ngălàănh ng s nguyênă

l ă i uănàyăvô lýăvìă0  , 1  làăhaiăs nguyênăliênăti pănênăph iăcóăm t

Ví d 5

Choăđaăth c P x   x th aămãnăP2015 k P 2016k2017k v i klàăm t s nguyênăd ngăchoătr c Ch ngăminhăđaăth cănàyăkhôngăcóănghi m nguyên

Gi i :

T gi thi t P2015 P 2016k  k2017k taăcóăP2015 ,k P 2016k làăs l

Gi s  làă m t nghi mă nguyênă c a P x  suy ra P x   x    Q x ,

Do P2015 ,k P 2016k đ uălàăs l nênă2015k  , 2016k  c ngălàă

nh ng s l đi uănàyămâuăthu năvìă2015k  , 2016k cóăm t s ch năvìă

2015k làăs l cònă 2016k làăs ch n.ăMâuăthu nănàyăch ng t đi u gi s làăsai

V yăđaăth cănàyăkhôngăcóănghi mănguyên

16

Gi i :

   2015 0

P a P a  suy ra P x   x ax a 2015   g x

V i x taăcóătrongăhaiăs x a x a ,  2015 cóăm t s ch nănênăăP x  ch n

v i  x Gi s x0 làănghi m c aăph ngătrìnhăQ P x   1

 f x0  f 1  xo 1 doăđóăx0 1 c ngălàăm t s l hay x0 làăs ch n

Tr ng h p 1 : Gi s đaăth c f x  cóăhaiănghi mănguyênăx x x1, 2 1 x2 Khi

i uănàyăvôălýădoăv ph iălàăm t s l vì x x1, 2 đ uălàăs ch n

Tr ng h p 2 : Gi s đaăth c f x  cóănghi măképăx1x2.ăKhiăđóă f x 1 0

i uănàyăkhôngăth x yăraăvì

1 4 1 6033 1 2 2010 1 2009

f x  x  x  a x  làăs l vìăx1 làăs ch n

Taăđ căđi u ph i ch ng minh

Nh n xét :

ch ng minh m tăđaăth căkhôngăcóăquáă n nghi mănguyênătaăth ng

s d ngăph ngăphápăph n ch ng Khi ch ng minh ta s d ngăthêmăcácătínhă

ch t v chia h t,ătínhăch n l c a s nguyên,ăs phânătíchăm t s nguyênăthànhătíchăcácăs nguyênăkhác…

Dãyăd u c aăcácăh s làă+ă- - +ănênăs l năđ i d u c aădãyăh s làăW2 G i

s nghi măd ngăc aăđaăth c P x  làăN Theo quy t c d uăDescatesăthìăN2vàă2 N làăs ch n suy ra N 0 ho c N2 M tăkhácăP   0 P 1   10 0nênăđaăth căcóăítănh t m t nghi m thu c kho ng  0;1 ăDoăđóăP x  cóăđúngăhai nghi măd ng

Ví d 2 Ch ng minh r ngăđaăth c   5 4 3 2

P x x  x x  x  x cóăđúngăhai nghi măd ngăvàăítănh t m t nghi măâm

Gi i :

Dãyăd u       nênăs l năđ i d u c aădãyăh s làăW2 G i s nghi m

d ngăc aăđaăth călàăN Theo quy t c d uăDescartesăthìăN2 vàă2N làăs

ch nănênăN 0 ho c N 2 màăP   0 P 1   38 0 nênăđaăth căcóăítănh t

m t nghi m thu c kho ng  0;1 Suy ra N2 t căđaăth c P x  cóăđúngăhaiănghi măd ng

G x P    x x x x  x  x Dãyăd uăcácăh s làă       nênăs l năđ i d uăcácăh s c aăđaăth c làă

WG 3 G i s nghi măd ngăc a G x  làăNG Theo quy t c d u Descartes

thìăNG 3 vàă3NG làăs ch nănênăNG 1 ho c NG 3.ăDoăđaăth c G x  cóăítănh t m t nghi măd ngănênăđaăth c P x  cóăítănh t m t nghi măâm

Ví d 3 ( thi h c sinh gi i qu c gia – VMO 2003)

v i n làăm t s t nhiênăkhácă0.ăCh ng minh r ngăđaăth c Q x  cóăítănh t

hai nghi m th căphânăbi t

N u bc làăhaiăkhôngăđi măliênăti p c a P x  thìătheoăđ nhălyăRolleăhàmă

  cóăm tăkhôngăđi m r n m gi a b vàă c vàăxP x   cóăkhôngă

đi m r* n m gi a b vàăc Ta ch ng minh r r* Th t v y, gi s r r*thì

T đâyăsuyăraăP r 0 (đi uănàyăvôălý)ăsuyăraăđi u gi s làăsaiăhayăr r*

V y n u c1c2  cn làăcácăkhôngăđi măliênăti p c a P x  thìăQ x  cóăítă

nh t 2n2 khôngăđi m,ăngoàiăraătrongăkho ng 0;c1 cóăm t nghi m c a

g x e P x ,

g x e P x P x

Do P x  cóă2016ănghi măd ngăc c1, 2, ,c2016 nênăg x  c ngăcóă2016ă

nghi măd ng c c1, 2, ,c2016.ăTheoăđ nhălýăRolleăg x  cóăítănh t 2015 nghi m

1, 2, , 2015

x x x thu căcácăkho ng c ci; i1 v i i1, 2015 hayăđaăth c

   

P x P x

  cóăítănh t 2015 nghi măd ngăx x1, 2, ,x2015

Ta th yăđaăth c P x P x  b că2016ănênăP x P x  cóă2016ănghi m

24

G i x2016 làănghi măcònăl i c aăđaăth c P x P x 

Khôngăm tătínhăt ngăquátătaăcóăth gi s

Theoăđ nhălýăViéte taăcóăx x1 2 x2016a0 a1 0 nênăx2016 0

Suyăraăđaăth c P x P x  cóă2016ănghi măd ng.ăM tăkhácă

Ph ng pháp 1: ch ng minh m tăđaăth căkhôngăcóănghi m th cătaăphână

tíchăđaăth căđãăcho v d ng t ng cácăbi u th căluônăâmă(luônăd ng) ho cătíchăcácăbi u th căkhôngăâm

Ph ng pháp 2: ch ng minh m tăđaăth căkhôngăcóănghi m th cătaăxâyă

d ng m tădãyăvôăh n,ăđôiăm tăkhácănhauăcácănghi m th c c aăđaăth c T đâyăsuyăraăđi uăvôălýă(M tăđaăth căkhácăkhôngăb c n cóăt iăđaăn nghi mătrênăm t

Gi i:

f x x  x  x  x  x  3 2  2

26

0 1 2

n n

V yăđaăth c P x  cóăvôăs nghi mă(vôălý)

Tr ng h p 3 : x0 0, suy ra a0 0 G i k làăch s nh nh tămàăak 0

kn.ăKhiăđóă   k n

P x a x  a x Theo gi thi t     3 3   

N u x0 thìăph ngătrìnhă f x 0 t ngăđ ngăv i F x 0

D th y F x  làăhàmăliênăt cătrênăkho ng 0; vàăkhiăxăt ngăd n t 0ăđ n

 thìăF x  gi mănghiêmăng t t  đ n an ăDoăđóăF x  cóănghi m

d ngăduyănh tălàăp M tăkhácădo

d ngăp (nghi măđ n)ăvàămoduleăc aăcácănghi măkhácăkhôngăv tăquáăp

s d ngăbi b ngă1ăthìă f x  cóănghi m th căd ngăduyănh tăvàămoduleăc a cácănghi măkhácănh h năp

Ch ng minh:

Gi s cácă h s 1, ,

m

k k

b b làă d ngă v i k1k2  km vàă

k k1, , ,2 km1.ă Khiă đóă t n t iă cácă s nguyênă s s1, , ,2 sm sao cho

k k

bb

G i x0 làănghi măkhácăp c a f x .ă t q x.ăTaăcóă

30

aia

aa

aa

Suy ra ai  i 1,i0,1,2, ,2016 Th thìă

1

1

; 1, 2016i

2016

i

fii

Ápăd ngăđ nhălýăEnestrom-Kakeyaătaăcóăđi u ph i ch ng minh

Ví d 2 Cho 0  1 Ch ng minh r ng v i m i , ,a b c th aămãnă

0

a   b c ,ăph ngătrìnhă 3 2

0

z az bz c  cóăítănh t m t nghi m th a mãnă z  2 

32

Suy ra t n t i m t nghi m zi sao cho zi  1 1

Taăcóă zi  zi   1 1   zi   1 1      1 1  2 .ăTaăđ căđi u

ph i ch ng minh

CH NG 3

CỄC BĨI TOỄN V XỄC NH A TH C

Trongăch ngănàyătrìnhăb y ba d ng toánăv xácăđ nhăđaăth c: D ng 1 xácăđ nhăđaăth c d aăvàoăđ cătr ngănghi m, ngoàiăraătaăcònăxétăthêmă2ăd ng toánăth ngăxuyênăxu t hi nătrongăcácăđ thi h c sinh gi i đóălà : D ngă2ăxácă

đ nhăđaăth c th aămãnăđi u ki nP f x P g x       P h x   , d ngă3ăxácăđ nh đaăth c th aămãnăđi u ki n P f x P g x       P h x   Q x 

Thay x b a vàoă(*)ătaăđ c x b 2a làăm t nghi m c a P x  C nh ă

v yătaăcóăx b na n,  làănghi m c a P x .ăRõăràngăbka  b la v i

kl.ăSuyăraăđaăth c P x  cóăvôăs nghi m, V y P x 0

Ví d 3 ( thi h c sinh gi i qu c gia – VMO 2003)

Tìmăt t c cácăđaăth c P x   x sao cho

Ví d 5 Tìmăt t c cácăđaăth c f x   x cóăd ng

k n k

i i i

aa

               ,

1

n n

n

aa

1n

n n

Tính ch t 3.1 N u ,P Q làănghi m c aă(1)ăthìă P Q c ngălàănghi m c a (1)

Nh n xét: Trongăkháănhi uătr ng h p, h qu 3.1 choăphépăchúngătaămôăt

h tăcácănghi m c aă(1).ă làmăđi uănày,ătaăcóăđ nhălýăquanătr ngăsauăđây:

nh lỦ 3.1 N u , ,f g h làăcácăđaăth c v i h s th c tho mãnăđi u ki n