GIẢI và KHAI THÁC một số DẠNG TOÁN về đa THỨC

Bố cục của khóa luận...3 CHƯƠNG I: GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT...4 1.1.. Hiện nay, một số đề tài ng

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài khóa luận: 1

2 Mục tiêu khóa luận 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 3

7 Bố cục của khóa luận 3

CHƯƠNG I: GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 4

1.1 Sơ lược các bước giải và khai thác một bài toán 4

1.1.1 Các bước giải một bài toán 4

1.1.2 Các bước khai thác một bài toán 7

1.2 Các phép toán trong vành đa thức 7

1.2.1 Phép cộng và phép nhân 7

1.2.2 Luật ngoài 9

1.2.3 Phép đạo hàm 9

1.3 Tính chất số học trong vành đa thức 9

1.3.1 Tính chia hết và phép chia Euclide trong vành đa thức 9

1.3.2 UCLN và BCNN, đa thức nguyên tố cùng nhau 10

1.3.3 Đa thức bất khả quy và phép chia theo lũy thừa tăng 12

PHẦN II BÀI TẬP 13

CHƯƠNG II: GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ KHÔNG ĐIỂM CỦA ĐA THỨC VÀ CÁC CÔNG THỨC NỘI SUY PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 25

2.1 Không điểm của đa thức 25

2.1.1 Không điểm của đa thức một ẩn, nhiều ẩn 25

2.1.2 Không điểm cấp bội 26

2.1.3 Đa thức tách 26

2.1.4 Không điểm của đa thức trong  X 27

2.1.5 Không điểm của đa thức trong  X 28

2.2 Công thức nội suy 28

2.2.1 Công thức nội suy Abel 28

2.2.2 Công thức nội suy Taylor 28

2.2.3 Công thức nội suy lagrange 28

2.2.4 Công thức nội suy Newton 29

2.2.5 Công thức nội suy Hermite 29

PHẦN II: BÀI TẬP 31

CHƯƠNG III: GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN MỘT VÀI LOẠI ĐA THỨC ĐẶC BIỆT VÀ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 41

3.1 Một vài loại đa thức đặc biệt 41

3.1.1 Đa thức số 41

3.1.2 Đa thức Chebyshev 42

3.2 Bài toán xác định đa thức 42

PHẦN II: BÀI TẬP 44

KẾT LUẬN 71

TÀI LIỆU THAM KHẢO 72

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận:

Đa thức có vị trí rất quan trọng trong toán học Nó không những là đối tượngnghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong

lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn, tối ưu,… Ngoài ra, lí thuyết đa thức còn được sửdụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng Trong các kì thi học sinh giỏi quốcgia, Olympic quốc tế thì các bài toán về đa thức cũng được đề cập nhiều và đượcxem như những dạng toán khó của bậc phổ thông Các bài toán liên quan đến đathức cũng nằm trong chương trình thi Olympic sinh viên giữa các trường đại học vàcao đẳng về Giải tích và Đại số [7] Trong chương trình phổ thông, phần đại số hầuhết đều nghiên cứu về đa thức bậc nhất, bậc hai và một số đa thức dạng đặc biệt bậccao Rất nhiều ứng dụng và bài tập đã được học trong chương trình phổ thông màcũng vì thế mà ta có thể thấy rằng đa thức là một nội dung khá quan trọng và cầnthiết trong các kì thi

Hiện nay, một số đề tài nghiên cứu khoa học hay khóa luận cũng đã đề cậpđến việc giải một số dạng toán về đa thức như: trong khoá luận tốt nghiệp của ĐỗThị Tuyết Mai - K35C Toán (ĐHSP Hà Nội II) đã nghiên cứu về các đa thứcnguyên [4]; hay ứng dụng của đa thức đối xứng trong việc giải phương trình, hệphương trình, giải bất phương trình được trình bày trong khóa luận “Đa thức đốixứng và ứng dụng” của Phạm Thị Nguyệt – K5 ĐHSP Toán (Đại học Hùng Vương)[11]; “Các bài toán về nghiệm của đa thức” của Lê Phúc Lữ cũng trình bày cáchtìm nghiệm của một số dạng bài toán về đa thức, hay “Chuyên đề bồi dưỡng họcsinh giỏi toán THCS – Đa thức” của Phan Huy Khải trình bày cách giải của khánhiều bài toán về đa thức thường gặp trong thi học sinh giỏi [2],…Tuy nhiên việckhai thác những dạng toán về đa thức còn hạn chế Việc khai thác các bài toánkhông chỉ giúp học sinh phát triển năng lực sáng tạo, đào sâu kiến thức mà còn tạo

ra một hệ thống các dạng toán và bài tập toán phong phú và đa dạng Tuy nhiên, hầuhết các tài liệu chỉ chú trọng vào việc giải toán, trong khi đó việc khai thác các bàitoán còn hạn chế

Cũng đã có những tài liệu viết về việc khai thác những bài toán về đa thứcnhư: “Đại số sơ cấp và Thực hành giải toán” của Hoàng Kỳ đã trình bày khá nhiều

dạng toán về đa thức như: các phép toán trên vành đa thức (chia đa thức, phân tíchthành nhân tử, nghiệm, UCLN, BCNN, hằng đẳng thức,…) trong đó có những kiếnthức được hệ thống hóa, và một số kiến thức, phương pháp đặc thù của Đại số sơcấp; một số dạng toán về phương trình, hệ phương trình (bậc nhất, bậc hai, bậc cao,giá trị tuyệt đối, vô tỉ,…), dạng toán về bất đẳng thức, bất phương trình và hệ bấtphương trình,… [3]; Hay “Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT- Đa thứcđại số và phân thức hữu tỉ” của Nguyễn Văn Mậu cũng đã trình bày một số kiếnthức cơ bản về đa thức đại số và phân loại các bài toán về đa thức trong đó cónhững bài toán là đề ra của các kì thi học sinh giỏi, các bài toán trong tạp chí toánhọc và tuổi trẻ,…[7] Tuy nhiên, trong các tài liệu này, việc giải và khai thác một

số dạng toán đưa ra chỉ giới hạn cho các bài toán ở bậc phổ thông

Với mong muốn hệ thống cách giải và khai thác một số dạng toán về đa thức

thường gặp, chúng tôi chọn đề tài “Giải và khai thác một số dạng toán về đa thức”.

2 Mục tiêu khóa luận

Hệ thống, phân loại một số dạng toán về đa thức, từ đó xây dựng lời giải vàđưa ra những hướng khai thác cho các dạng toán đó

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu những kiến thức cơ sở về đa thức.

- Hệ thống, phân loại và xây dựng lời giải một số dạng toán về các phép toán vàtính chất số học trong vành đa thức, dạng toán về không điểm của đa thức và cáccông thức nội suy, dạng toán liên quan đến một vài loại đa thức đặc biệt và bài toánxác định đa thức

- Trên cơ sở nghiên cứu lời giải của những bài toán đã cho, đề xuất các hướngkhai thác chúng dưới dạng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình cóliên quan đến đa thức, các hướng khai thác một bài toán như khái quát hoá,đặc biệt hoá, tương tự rồi phân hóa, hệ thống hóa các kiến thức

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu, tham khảo tài liệu,giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực tiếphướng dẫn, và ý kiến của các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung

và hình thức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Đa thức trên các trường số

 Phạm vi: Khóa luận tập trung chủ yếu vào giải và khai thác một số dạng toán

về đa thức trên các trường số bao gồm dạng toán về các phép toán và tínhchất số học trên vành đa thức, dạng toán về không điểm của đa thức và cáccông thức nội suy, dạng toán liên quan đến một vài loại đa thức đặc biệt và

dạng toán xác định đa thức

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Khoá luận đã hệ thống những kiến thức cơ sở về đa thức, đồng thời trên cơ

sở nghiên cứu lời giải của những bài toán đã cho, đề xuất các hướng khai thácchúng dưới dạng khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự Qua đó, cung cấp thêmthông tin khai thác bài toán, tạo ra tài liệu tham khảo hữu ích

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành

3 chương Trong mỗi chương, chúng tôi vừa trình bày lí thuyết cơ sở, vừa trình bàylời giải và khai thác các bài toán mà chương đề cập tới

Chương 1 trình bày sơ lược các bước giải và khai thác một bài toán, một sốkiến thức lí thuyết cơ bản về các phép toán và tính chất số học trong vành đa thức.Đồng thời trình bày lời giải và đưa ra hướng khai thác các bài toán mà chương đềcập tới

Chương 2 trình bày một số kiến thức cơ sở, đồng thời tiến hành giải và khaithác một số dạng toán về không điểm của đa thức

Chương 3 trình bày lời giải một số bài toán liên quan đến một vài loại đathức đặc biệt và bài toán xác định đa thức đồng thời đưa ra những hướng khai tháccác bài toán đó

Chương 1 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁC PHÉP TOÁN VÀ TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC

Trong chương này chúng tôi trình bày sơ lược các bước giải và khai thác một bài toán, một số kiến thức lí thuyết cơ bản về các phép toán và tính chất số học trong vành đa thức Đồng thời trình bày lời giải và đưa ra hướng khai thác các bài toán mà chương đề cập tới Tài liệu được sử dụng chủ yếu trong chương này là tài liệu [3], [10], [14].

PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.1 Sơ lược các bước giải và khai thác một bài toán

Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về các bước giải một bài toán vàcác hướng khai thác Tài liệu được tham khảo chủ yếu ở tài liệu [3] của các tác giảHoàng Kỳ và Hoàng Thanh Hà

1.1.1 Các bước giải một bài toán

“Giải bài toán” theo G Polya (Một nhà toán học, nhà sư phạm nổi tiếngngười Mĩ) không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc tìm ra đáp số như nhiều học sinhthậm chí cả sinh viên vẫn thường hay hiểu “Giải bài toán” ở đây bao quát toàn bộquá trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như lí giải nguyên nhân phát sinh bài toán,

và cuối cùng là phát triển bài toán vừa làm được, hoặc ít ra nêu ra những hướng đimới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc từ đâu bài toán phát sinh

Thông thường, để giải một bài toán cần tiến hành qua các bước sau: tìm hiểu

sơ bộ đề bài, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, đánh giá lời giải, khai thác lời giải, đềxuất các bài toán mới Tất nhiên không phải bất kỳ bài nào cũng trải qua đủ cácbước đó, song chúng giúp ích rất nhiều cho việc giải các bài toán và đối với nhữngbài được chọn lọc điển hình thì nên phân tích kĩ theo trình tự đó để rèn luyện cácthao tác tư duy

Bước 1: Tìm hiểu sơ bộ đề bài

Việc tìm hiểu nội dung bài toán thường thông qua việc đọc bài toán dù bàitoán cho ở dạng có lời văn hoàn chỉnh hay dạng tóm tắt sơ đồ Trước hết, cần phảiđọc kĩ đề toán để thấy được “toàn cảnh” bài toán, không vội đi vào chi tiết, nhất là

các chi tiết rắc rối Sau đó, trả lời các câu hỏi: Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Điều kiện

có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu, hay có mâu thuẫn?

Cần cố gắng “khoanh vùng” phạm vi của đề toán: bài toán này thuộc “vùng”kiến thức nào? Sẽ cần có những kiến thức, kĩ năng gì? Nếu giải được thì sẽ giảiquyết được vấn đề gì? …

Khi đọc bài toán cần phải hiểu kĩ một số từ, thuật ngữ quan trọng chỉ rõ tìnhhuống toán học được diễn đạt theo ngôn ngữ thông thường

Bước 2: Khai thác đề toán

Việc tóm tắt và tìm cách giải bài toán gắn với việc phân tích các dữ kiện vàcâu hỏi của bài toán nhằm xác lập mối quan hệ giữa chúng và tìm được các phéptính thích hợp

Nếu là bài toán về tìm tòi thì cần xác định rõ đâu là ẩn, cần phải tìm cái gì?Đâu là các dữ liệu, đã cho biết những gì? Nếu là bài toán chứng minh thì cần nêu rõcác giả thiết, kết luận

Nếu bài toán cần có hình vẽ thì phải vẽ hình Cảm nhận trực giác trên hình vẽ

có thể giúp ta nắm bắt được dễ dàng hơn nội dung của đề toán

Đối với nhiều đề toán, ta phải đưa vào một số kí hiệu Cách kí hiệu thích hợp

có thể giúp ta hiểu rõ đề toán nhanh chóng hơn Các kí hiệu dùng để ghi các đốitượng và quan hệ giữa chúng trong bài toán (nhất là các bài toán đại số) cần đượcđưa vào một cách ngắn gọn, dễ nhìn, dễ nhớ

Lập kế hoạch giải bài toán nhằm xác định hướng giải quyết, thực hiện cácphép tính Có hai hình thức được thể hiện:

- Đường lối phân tích: Đi từ câu hỏi của bài toán đến các số liệu

- Đường lối tổng hợp: Đi từ số liệu (dữ kiện) đến câu hỏi của bài toán

Bước 3: Tìm tòi lời giải bài toán

Đây là bước quan trọng – nếu không nói là quan trọng nhất trong việc giảibài toán Không có một thuật giải tổng quát nào để giải được mọi bài toán, mà chỉ

có thể đưa ra những lời khuyên, những kinh nghiệm, chúng giúp cho việc tìm tòi lờigiải được đúng hướng hơn, nhanh hơn, thuận lợi hơn và nhiều khả năng dẫn tớithành công hơn Tùy từng trường hợp cụ thể mà vận dụng các kinh nghiệm đó, cànglinh hoạt, nhuần nhuyễn thì càng dễ tới thành công hơn

Bản gợi ý Pôlya

Hãy trả lời các câu hỏi:

- Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở dạng hơi khác?

- Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí nào có thể sử dụng ởđây không?

- Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay có

ẩn tương tự

- Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng nó không?

Có thể sử dụng kết quả của nó không? Có thể sử dụng phương pháp của nó không?

Có cần đưa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được không?

- Có thể phát biểu bài toán một cách khác không?

- Nếu bạn vẫn chưa giải được bài toán đã cho thì hãy thử giải một bài toán liên quan

mà dễ hơn được không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp đặc biệt? Mộtbài toán tương tự? Hoặc một phần của bài toán? Hãy giữ lại một số điều kiện, bỏqua các điều kiện khác Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nóbiến đổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một số yếu tố có ích không?

Có thể nghĩ ra những dữ kiện khác giúp bạn xác định được ẩn không? Có thể thayđổi ẩn hoặc các dữ kiện sao cho các ẩn mới và các dữ kiện mới gần nhau hơnkhông?

- Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết các quan hệ chưa? Đã để ýđến các khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Bước 4: Trình bày lời giải

Khi đang tìm tòi lời giải, ta có thể mò mẫm, dự đoán và có thể dùng cách lậpluận tạm thời, cảm tính Nhưng khi trình bày lời giải thì chỉ được dùng những líluận chặt chẽ, phải kiểm nghiệm lại từng chi tiết Phải chú ý đến trình tự các chi tiết,đến tính chính xác của từng chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từngđoạn của lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuấthiện mà không căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc đã trình bày trước đó Lờigiải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả của bài toán

Bước cuối cùng này cũng cần thiết và bổ ích nhưng thường hay bị bỏ qua.Trong trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn Việc kiểm tra lại sẽ giúp

ta trách được những sai sót đó và tích lũy thêm kinh nghiệm cho các bài toán khác.Hơn nữa việc nhìn nhận lại toàn bộ lời giải có thể giúp chúng ta phát hiện đượccách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn.

Một số cách kiểm tra kết quả một bài toán:

- Cách 4: Xây dựng bài toán ngược rồi giải bài toán đó

1.1.2 Các bước khai thác một bài toán

Việc nhìn nhận lại toàn bộ lời giải có thể giúp chúng ta phát hiện được cáchgiải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn Ngoài ra, nó còn có thểgiúp ta tìm được những bài toán mới mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt.Công đoạn này còn được gọi là khai thác bài toán

Để khai thác bài toán vừa giải được, hãy trả lời các câu hỏi:

- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắchơn?

- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?

- Bạn có thể áp dụng cách giải này để giải các bài toán khác đã biết?

Có thể khai thác theo các hướng sau:

- Hướng 1: Phát biểu bài toán tương tự, bài toán này có thể giải được không?

- Hướng 2: Khái quát bài toán, có thể phát biểu bài toán tổng quát được không? Bàitoán tổng quát còn đúng nữa không? Đặc biệt hóa bài toán?

- Hướng 3: Thay đổi giả thiết để được bài toán mới

- Hướng 4: Từ ý nghĩa bài toán đã dẫn đến phương pháp giải một bài toán khác

1.2 Các phép toán trong vành đa thức

1.2.1 Phép cộng và phép nhân

a) Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.2.1.

i) Với mọi dãy a n n

 thuộc K, ta gọi tập hợp các n thuộc  sao cho a  n 0

là giá của  a n n

.ii) Đa thức (một ẩn và lấy hệ tử trong K) là dãy a n n

 bất kì thuộc Kcó giáhữu hạn Tập hợp các đa thức một ẩn và lấy hệ tử trong K được ký hiệu là

 K X  Nếu P 0, số tự nhiên n lớn nhất sao

cho a  n 0 gọi là bậc của P và ký hiệu là deg P Phần tử a deg P  được gọi là hệ tửcủa hạng tử có bậc cao nhất (hoặc: hệ tử cao nhất) của P. Ta nói rằng P là chuẩntắc khi và chỉ khi P 0 và adeg  P 1 Ta ký hiệu deg 0   

của K được gọi là hệ tử

của X n trong P, và đơn thức n

-1.2.3 Phép đạo hàm

Định nghĩa 1.2.3 Với mọi

0

N n n n



 K X  đa thức đạo hàm của P và ký hiệu

là P', là đa thức định nghĩa bởi:  

1 1





1.3 Tính chất số học trong vành đa thức

1.3.1 Tính chia hết và phép chia Euclide trong vành đa thức

a) Tính chia hết

Định nghĩa 1.3.1 Cho A P, K X  2 Ta nói rằng A chia hết P(trong K X ) và

ký hiệu A P\ , khi và chỉ khi tồn tại Q K X   sao cho PAQ.

Ta cũng nói: A là một ước của P, hoặc P là một bội của A.

i) Tồn tại duy nhất đa thức  , chuẩn tắc, khác không, là ước chung của P1, ,P n và

có bậc cao nhất trong các ước chung của P1, , P n  được gọi là ước chung lớn nhất của P1, ,P n và ký hiệu UCLNP1, ,P n (hoặc: UCLN  P i 1i n

  ).

ii) Tồn tại duy nhất đa thức M, chuẩn tắc, khác không, là bội chung của P1, ,P n và

có bậc thấp nhất trong các bội chung của P1, , P n M được gọi là bội chung nhỏ nhất của P1, ,P n và ký hiệu BCNN P1, ,P n (hoặc: BCNN   P i 1 i n

  ).

ChoA K X   sao cho deg( ) 1.A  Theo định lý trên, tồn tại *

b) Phép chia theo lũy thừa tăng

Mệnh đề 1.3.11 Cho n   , A K X  , B K X   sao cho hệ số tự do của B là khác 0 Tồn tại một cặp duy nhất ( , )Q R thuộc (K X )2 sao cho:

1

n

A BQ X R

  và deg( )Q n

Đa thức Q (tương ứng: R ) gọi là thương (tương ứng: dư) của phép chia A

cho B theo lũy thừa tăng đến cấp n

PHẦN II BÀI TẬP

Dạng toán về các phép toán trong vành đa thức

Bài 1 Trong vành đa thức 5  x hãy thực hiện các phép nhân

Ta dễ dàng chứng minh được (1.1) bằng phương pháp quy nạp toán học

b a

b a

Khai thác:

Bài toán: Tìm  ,  2 để X4X3X2X  là bình phương của một

đa thức thuộc X , trong đó  , là các số cho trước,  0

b ab

 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 4 Cho n  Áp dụng 1X 2n 1 X2n  1 X22n, chứng minh:



 2 2 2'   ' '

' 0

n k

n k

Bài 5 Cho n  , với k0, 1, , n, ta ký hiệu Pk   X k  k. Chứng minh

Bằng khai triển ta suy ra hệ số của X n là n Vì nX có cơ sở là

1, ,X X2, ,X nên n n 0 Suy ra, (1.7) trở thành:

              

Bằng khai triển ta suy ra hệ số của X n 1 là n1 Vì nX có cơ sở là

1, ,X X2, ,X nên n n10 Suy ra, (1) trở thành:

Bài toán 2: Chứng minh rằng  f f f0, , , ,1 2 f n là một cơ sở của nX, n ,

deg fn  n, deg f0  deg f1 deg f2  deg  fn

Dạng toán về tính chất số học trong vành đa thức

Bài 1 Chứng minh rằng x2n x y n n y2n chia hết cho x2 xy y 2 khi và chỉ khi

n không phải là bội của 3.

Suy ra x2n x y n n y2n chia hết cho x2 xy y 2.

Vậy điều kiện cần và đủ để x2n x y n n  y2n chia hết cho x2 xy y 2 là n không

phải là bội của 3

Khai thác:

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi n ,

  đa thức x2n  x y n n  y2n không chiahết cho x2 xy y 2

nguyên Điều này chứng tỏ đa thức x2n  x y n n  y2n không chia hết cho

x xy y

Bài 2 Chứng minh:  n , X2 \X1n  nX 1 trong K X 

Theo bài 4, đẳng thức này không thể xảy ra.

Nếu n là số chẵn thì ta thay x bởi  x vào (1.8) được:

Nếu n3m1, thì do n là số chẵn nên m phải là số lẻ, hay m2k1, do

Bài toán: Với n 

  nào thì đa thức x2n  x y n n y2n chia hết cho x2  xy y 2?

Theo bài 4, đẳng thức này không thể xảy ra

Nếu n là số lẻ thì ta thay x bởi  x vào (1.9) được:

x  x y  y  x  xy y q   x y

Theo bài 4, đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi n3m1 hoặc n3m2

Nếu n3m1, thì do n là số lẻ nên m phải là số chẵn, hay m2 ,k do đó

Thay X 0 vào đẳng thức trên ta được: cosn  Q   0  b

Suy ra: b  cosn  Q   0

Thay X i vào đẳng thức trên ta được:

Giải:

Tồn tại Q x   x và    ,   2 sao cho: Pn   X2 1  Q x     X  

Thay X bởi i ta được  

Bài toán: Chứng minh rằng đa thức P x    x 1 2 1n xn2

   chia hết cho đa thức

Vậy P x Q x    với mọi n  *

Bài 6 Trong vành 5  x , hãy thực hiện phép chia

Chương 2 GIẢI VÀ KHAI THÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ KHÔNG

ĐIỂM CỦA ĐA THỨC VÀ CÁC CÔNG THỨC NỘI SUY

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về không điểm của một đa thức và các công thức nội suy Trên cơ sở tiến hành giải và nghiên cứu lời giải một số dạng toán về không điểm của đa thức, đưa ra hướng khai thác các dạng toán đó Tài liệu sử dụng chủ yếu là tài liệu [9], [10], [14].

PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT

2.1 Không điểm của đa thức

2.1.1 Không điểm của đa thức một ẩn, nhiều ẩn

Định nghĩa 2.1.1 Cho P K X  ,a K Ta nói rằng a là một không điểm (hoặc:

một nghiệm) của P khi và chỉ khi:  ( ) 0P a 

Ta nhắc lại rằng P là ánh xạ đa thức liên kết với P và nếu K vô hạn thì cóthể đồng nhất P và P

Ta thấy a là không điểm của P khi và chỉ khi X a chia hết P.

Các đa thức L i(0 i n) được gọi là các đa thức nội suy Lagrange tại các điểm

Nếu  = 1 (tương ứng: 2, tương ứng: 3), ta nói a là không điểm đơn (tương ứng:

kép, tương ứng: bội ba)

Gọi là các hàm đối xứng cơ bản của x1, , x n

Chẳng hạn các hàm đối xứng cơ bản của x x x x1, , ,2 3 4 là:

ii) Hàm đối xứng cơ bản k của x1, ,x n gồm Cn k “hạng tử”

Mệnh đề 2.1.3 (Hệ thức giữa hệ tử và không điểm)

trong đó 1, ,n chỉ các hàm đối xứng cơ bản của x1, , x n

Với K là một thể con của  thì ta có định lý sau:

Định lý 2.1.2 Cho P K X  ,a K  ,  *

i) Để a là không điểm bội không thấp hơn  của P, cần và đủ là:

2.1.4 Không điểm của đa thức trong  X

Do thể  là vô hạn, ở đây ta đồng nhất đa thức P thuộc  X và hàm đa thức P

Định lý 2.1.3 (Định lý d’Alembert)

Mọi đa thức khác hằng thuộc  X có ít nhất một không điểm trong  Ta nói rằng thể  là đóng đại số.

2.1.5 Không điểm của đa thức trong  X

Do thể  là vô hạn, ở đây ta đồng nhất đa thức P thuộc  X và hàm đa thức P

Mệnh đề 2.1.4 Cho P  X Ta có: P X    z , P z  P z  

Mệnh đề 2.1.5 Các đa thức bất khả quy của  X là các đa thức bậc nhất hoặc

các đa thức bậc hai có biệt thức nhỏ hơn 0.

2.2 Công thức nội suy

2.2.1 Công thức nội suy Abel

Cho bộ số đôi một khác nhau: x x1, , ,2 x nR Khi đó, mọi đa thức P X  với

 

deg P X n đều có thể viết dưới dạng

  0 1 1 2 1  2 n 1  2  n

P X a a X x a X x X x  a X x X x X x

2.2.2 Công thức nội suy Taylor

Nếu đa thức P X  thỏa mãn điều kiện deg P X  n và P k   a k

với mọi k0, , ,n trong đó , a k là các số cho trước; P 0  X :P X  thì P X 

2.2.3 Công thức nội suy lagrange

Cho x x1, , ,2 x n là các số đôi một khác nhau Tìm tất cả các đa thức bậc

  nhận giá trị như nhau tại n điểm thì chúng trùng nhau.

2.2.4 Công thức nội suy Newton

Cho hai bộ số ( , , ,x x0 1 x n) và a a0, , ,1 a n Tìm tất cả các đa thức P X 

thỏa mãn điều kiện:  k   , 0, 1, , 

2.2.5 Công thức nội suy Hermite

Dạng 1 Cho hai số phân biệt x0 và x1 Tìm tất cả các đa thức P X  với

Dạng 2 Cho hai số phân biệt x0 và x1

Tìm tất cả các đa thức P X  vớidegP X   n 1, n * thỏa mãn điều kiện

Vậy được dư là Xsinn cosn.

Bài 2 Cho P K X  ,n * Chứng minh:   2 1  2 

Bài 4 Giả sử x x1, 2 là các không điểm của đa thức ax2  bx c a  ,   0 

S  Do đó, S  n với mọi số tự nhiên n.

Bài 5 Tìm m n a, , sao cho: x3 mx n    x  3   x  1   x a   (2.2)