Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN ĐÌNH DÙNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN ĐÌNH DÙNG

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60 46 01 13

Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2015

Mục lục

1.1 Dãy số 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Cách mô tả dãy số 4

1.1.3 Giới hạn của dãy số 4

1.2 Một vài dãy số đặc biệt trong chương trình Toán phổ thông 7 1.2.1 Cấp số cộng 7

1.2.2 Cấp số nhân 7

1.2.3 Dãy Fibonacci 8

1.2.4 Dãy Farey 9

1.2.5 Dãy Lucas 9

2 Một số dạng bài toán về dãy số 11 2.1 Dạng bài toán tìm giới hạn dãy số 11

2.2 Dạng bài toán tìm tổng, tích của dãy số 17

2.3 Dạng bài dãy truy hồi liên quan số chính phương 30

2.4 Một số ứng dụng của dãy số 34

2.4.1 Ứng dụng của dãy số trong hình học 34

2.4.2 Ứng dụng tính chất của dãy số trong giải phương trình hàm, bất phương trình hàm 38

2.4.3 Ứng dụng tính chất của dãy số trong chứng minh bất đẳng thức 42

2.4.4 Một vài ứng dụng khác của dãy số 48

Kết luận 53

Mở đầu

Trong chương trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề thituyển sinh học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phongphú, đa dạng Hiện nay nhiều học viên cao học chuyên ngành Phương pháp toán

sơ cấp của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng đã khai thác

có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên chưa có học viên nào đisâu tìm hiểu về các dạng bài tập chọn học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy sốtrong chương trình Toán phổ thông Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tíchlũy thêm kinh nghiệm để phục vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trườngTHPT, Em chọn hướng nghiên cứu của luận văn thạc sĩ với đề tài: "Một sốdạng toán về dãy số và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đưa ra lờigiải một cách chi tiết cho một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồidưỡng học sinh giỏi Toán ở THPT

Nhiệm vụ chính của luận văn bao hàm:

(i) Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số vàmột số ứng dụng của dãy số được giới thiệu trong chương trình phổ thông.(ii) Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thường xuất hiện trongcác đề thi chọn học sinh giỏi và cố gắng đưa ra lời giải tường minh chonhững bài tập mà tài liệu tham khảo chưa đưa ra lời giải chi tiết

Để hoàn thành luận văn này, Em đã nhận được sự quan tâm, tạo mọi điềukiện của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên mà trực tiếp là KhoaToán- Tin Đặc biệt em luôn nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ tập thể các Thầy,

Cô trong suốt quá trình học tập cao học Nhân dịp này, cho phép Em được bày

tỏ lòng biết ơn đến Trường ĐHKH, khoa Toán- Tin cùng tập thể các Thầy, Côgiáo đã tận tình truyền đạt kiến thức và hướng dẫn Em hoàn thành luận vănnày, đồng thời cho phép Em được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trịnh

Thanh Hải người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm và hoànthành luận văn.

Do một số điều kiện chủ quan và khách quan, luận văn với chủ đề "Một sốdạng toán về dãy số và ứng dụng" cũng chưa thực sự hoàn thiện theo ýmuốn Em tha thiết mong các Thầy, Cô giáo chỉ bảo để Em hoàn thiện luận vănnày

Em xin trân trọng cảm ơn!

Học viên

Nguyễn Đình Dùng

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Định nghĩa

Mỗi hàm sốu xác định trên tập các số nguyên dương N∗ được gọi là một dãy số

vô hạn (gọi tắt là dãy số) Kí hiệu:

u :N∗→R

n 7→ u(n)

Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển: u1, u2, u3, , un, trong đó

u 1 là số hạng đầu, u n = u(n) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãysố

Mỗi hàm số uxác định trên tập M = 1, 2, 3, , mvới m ∈ N∗ được gọi là mộtdãy số hữu hạn Dạng khai triển của của dãy số hữu hạn:u1, u2, u3, , um trong

đó u 1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối

Dãy số (un) được gọi là:

• Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2,

• Dãy đơn điệu không giảm nếu u n+1 ≥ u n, với mọi n = 1, 2,

• Dãy đơn điệu giảm nếu un+1< un, với mọi n = 1, 2,

• Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1 ≤ un, với mọi n = 1, 2,

• Dãy số (u n ) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u n < M, với mọi

n = 1, 2, ; được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un > m,với mọi n = 1, 2, ; Một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặndưới

• Dãy số (u n ) gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu un+k = u n, với ∀n ∈N∗.

• Dãy số (un) gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với mọi

n

− √15



1 − √ 5 2

n

(ii) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi

Ví dụ 1.1.2 Dãy số (un) được xác định bởi:

(

u1= 1, u2= 50

un+1= 4un+ 5un−1− 1975, với n = 2, 3, 4

(iii) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

Ví dụ 1.1.3 Cho a1 = 19, a2 = 98 Với mỗi số nguyên n ≥ 1, xác định an+2

bằng số dư của phép chia an+ an+1 cho 100

1.1.3 Giới hạn của dãy số

Định nghĩa 1.1.1 Ta nói rằng dãy số (u n ) có giới hạn là hằng số thực a hữuhạn nếu với mọi số dương ε (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số n0 ∈ N (n0

có thể phụ thuộc vào ε và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số

n ∈ N, n ≥ n0 ta luôn có |un − a| < ε Khi đó kí hiệu lim

n→+∞ un = a hoặc còn nóirằng dãy số (un) hội tụ về a Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì

Định lý 1.1.1 Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất

Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass)

a) Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ

b) Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ

c) Một dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Định lý 1.1.3 Nếu (un) → a và (vn) ⊂ (un), (vn) 6= C thì (vn) → a.

Định lý 1.1.4 (Định lý kẹp giữa về giới hạn) Nếu với mọi n ≥ n0 ta luôn có

un ≤ xn ≤ vnvà lim

n→+∞ un = lim

n→+∞ vn = a thì lim

n→+∞ xn = a.Định lý 1.1.5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b]

và có đạo hàm trong khoảng (a; b) thì tồn tại c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) =

Định lý 1.1.7 Cho f : D → D là hàm liên tục, khi đó:

(i) Phương trình f (x) = x có nghiệm tương đương phương trình fn(x) = x cónghiệm

(ii) Gọiα, β là các mút trái, mút phải củaD Biết lim

x→α +[f (x)−x], lim

x→β −[f (x)−x]cùng dương hoặc cùng âm Khi đó phương trình f (x) = x có nghiệm duynhất khi và chỉ khi phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất trong đó

f n (x) − x < 0 với mọi x ∈ D nên phương trình f n (x) = x cũng vô nghiệm

ii) Giả sử phương trình f (x) = x có nghiệm duy nhất là x0 thì đây cũng là mộtnghiệm của phương trình fn(x) = x Đặt F (x) = f (x) − x do F (x) liên tục trên

(x0; β) và (α; x0) nên F (x) giữ nguyên một dấu

Nếu lim

x→α +[f (x) − x] và lim

x→β −[f (x) − x] cùng dương thì F (x) > 0 trong khoảng

(x0; β) và (α; x0) suy ra f (x) > x với mọi x ∈ D\{x0}.

Xét x1 ∈ D\{x0} suy ra f (x1) > x1 hay f (f (x1)) > f (x1) > x1 chứng tỏ

fn(x1) > x1 nên x1 không là nghiệm của phương trình fn(x) = x.

Vậy phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất x = x0.

Nếu lim

x→α +[f (x) − x] và lim

x→β −[f (x) − x] cùng âm chứng minh tương tự

Ta thấy mọi nghiệm của phương trình f n (x) = x đều là nghiệm của phươngtrình fn(x) = x, do đó nếu phương trình fn(x) = x có nghiệm duy nhất thìphương trình fn(x) = x cũng có nghiệm duy nhất

Định lý 1.1.8 Cho hàm f : D → D là hàm đồng biến Dãy (x n ) thỏa mãn

xn+1 = f (xn), ∀n ∈N∗, khi đó:

(i) Nếu x1 < x2 thì dãy (xn) tăng

(ii) Nếu x1 > x2 thì dãy (xn) giảm

Chứng minh (bằng phương pháp quy nạp)

(i) Vìf (x) là hàm nghịch biến nên f (f (x)) đồng biến Áp dụng định lý 1.1.2 ta

có điều phải chứng minh

(ii) Suy ra từ i)

(iii) Ta có f (f (x2n)) = f (x2n+1) = x2n+2 và lim

n→+∞ f (f (x2n)) = lim

n→+∞ x2n+2 = α, lim

n→+∞ x2n = α do f (x) liên tục nên f (f (α)) = α

Chứng minh tương tự ta có f (f (β)) = β.

Vậy α, β là nghiệm phương trìnhf (f (x)) = x.

Định nghĩa 1.2.3 Dãy u1, u2, được xác định như sau:

(

u 1 = 1, u 2 = 1

un = un−1+ un−2, ∀n = 3, 4,

được gọi là dãy Fibonacci

Bằng phương pháp sai phân có thể tìm được công thức tổng quát của dãyFibonacci là (công thức Binet):

un = √1

5



1 + √ 5 2

n

− √15



1 − √ 5 2

n

Định lý 1.2.1 Cho dãy (un) là dãy Fibonacci, khi đó:

Định lý 1.2.2 (Công thức Binet): Cho (un) là dãy Fibonacci, số hạng tổngquát của dãy là:

u n = √1

5.



1 + √ 5 2

n

−



1 − √ 5 2

n.

n

; lim n→+∞

un+1

un =

1 + √ 5

2 .

b và c

d là các số kề nhau trong dãy Farey với a

b <

c d

n−1 +



1 − √ 5 2

n−1

Với ϕ là tỉ lệ vàng (ϕ = 1 +

√ 5

2 ≈ 1, 6180339887 )

- Tính chia hết giữa các số Lucas: u m chia hết cho u n nếu m là số lẻ

- Số Lucas liên hệ với số Fibonacci bởi công thức

Khi chỉ số là số nguyên tố, L n đồng dư với 1 mod n nếu n là số nguyên tố

- Số nguyên tố Lucas: Số nguyên tố Lucas là số Lucas và đồng thời là số nguyên

tố Ví dụ: 2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349,

Chương 2

Một số dạng bài toán về dãy số

Trong phạm vi chương 2, chúng tôi chọn lọc một số các ví dụ, bài tập trong cáctài liệu tham khảo [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] Các ví dụ, bài tập được sắp xếptheo chủ đề, mặt khác chúng tôi cũng cố gắng đưa ra lời giải một cách chi tiếthơn cho một số bài tập để bạn đọc tiện theo dõi

Bài toán 2.1.1 [4, tr.31-32] Cho dãy số {un} xác định bởi công thức un+1 =

2 |un− a| , ∀n>2

Do đó

|un+1− a| <

√ 3 2

n−1

|u2− a| <

√ 3 2

n

n

= 0 =⇒ lim

n→∞ |un+1− a| = 0.Vậy lim

n→∞ u n = a = 1 − √

3.

Bài toán 2.1.2 [4, tr.33] Cho dãy {yn} = {yn(x)} (0 6 x 6 1) được xác địnhnhư sau: y1= x

2; yn =

x

2 − y

2 n−1

2 với n ≥ 2. Tìm lim

n→∞ yn.Lời giải Thử trực tiếp, ta thấy rằng −1

x − x2 = 1

x + 1 − 1

1 + x1 =

x1− x (1 + x)(1 + x1)

n (x − x0) (1 + x)n(1 + x 0 )(1 + x 1 ) (1 + x n )

Do đó |x − xn|6

x − x0(1 + x)n

vì



xn−

√

5 − 1 2

...

Bài toán 2.2.12 Cho dãy số thực (x n ) sau: x = 0, x = 2, , x n+2 =

2−xn (n = 1, 2, 3, ).Chứng minh dãy số (xn)có... hạn ta có:

Bài toán 2.2.1 Cho dãy số< small>(xn), (n = 1, 2, )được xác định sau:x1 = 1và

xn+1... > 1 tứcdãy (x2n+1) bị chặn

Tiếp theo chứng minh dãy (x2n+1) dãy giảm Thật vậy, x2n+1