Đồng chí hãy hớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng 3 phơng pháp khác nhau.. H10: Em hãy giải bài toán đã cho bằng phơng pháp hình học?. Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với m
Trang 1Sở GD&ĐT Nghệ An.
Trờng THPT Diẽn Châu 2
Bài kiểm tra bồi d ỡng th ờng xuyên chu kì 2004- 2007
Họ và tên giáo viên:
Ngô trí thụ
Câu 1 Cho cặp số x, y thoả mãn: x3 +4y=12 , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=x2+y2 Đồng chí hãy hớng dẫn học sinh giải bài toán trên bằng 3 phơng pháp khác nhau (4 điểm)
Bài giải:
I Giải bài toán trên bằng ba phơng pháp khác nhau
Phơng pháp 1 ( Phơng pháp chuyển về một biến số)
Từ giả thiết x3 +4y=12 ta có: y= -3 3x x, ẻ R
4
Thay y= -3 3x
4 , vào biểu thức M ta đợc: M=x2+ -( 3x)2
3
4 Û M=x2+ - 9x+ 9 x2
9
2 16
Hay M=25x2- 9x+ =(5x- 9)2+144
9
16 2 4 5 25 , do (5x- 9)2 ³ ," ẻx R
0
4 5 ị M³ 144," ẻx R
25
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=36
25, khi đó y=48
25.
Vậy Mmin =144, khi x=36 và y=48
Phơng pháp 2.( sử dụng bất đẳng thức)
áp dụng bất đảng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 3, 4 và x, y ta có:
( x+ y)2Ê( 2+ 2)(x2+y2)
3 4 3 4 Û Ê (x2+y2)Û x2+y2³ 144, ("x y, ẻ R)
144 25
25
Hay M³ 144,"x y, ẻ R.
25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
x
y
ỡùù = ù
36
25
Vậy min , khi x=36 và y=48
M =144
25
Phơng pháp 3 (Phơng pháp hình học)
Cách 1 Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng trình:
x+ y=
3 4 12 là phơng trình của đờng thẳng (d).
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=x2+y2, với x y, thoả mãn x3 +4y=12 tơng
đ-ơng với bài toán: Tìm A(x y, ) trên đờng thẳng (d) sao
cho đoạn OA có độ dài nhỏ nhất
O lên (d)
Tìm H: H = ( ) ( )d1 ầ d , trong đó (d1) là đờng thẳng qua
O(0; 0) và vuông góc với (d)
Phơng trình đờng thẳng (d1) là: x4 - 3y=0
Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình:
ùù
ớù - =
ùợ
3 4 12
x
y
ỡùù = ùùù ớù
ù = ùùùợ
36 25 48 25
Khi đó OA = OH = d(O, (d)) = . + .
-= +
3 0 4 0 12 12
5
3 4
1
3
4 O
H()
A(x,y)
x y
(d)
Trang 2Vậy min , khi và y=48.
25
M =OA2=144 x=36
Cách 2 Trong mp(oxy) phơng trình x3 +4y=12 là
phơng trình của đờng thẳng (d)
Xem x2+y2=M (C)là phơng trình của đờng tròn
tâm O(0; 0) bán kính M
Gọi M0là một giá trị của M, thế thì hệ phơng trình
( )
ùù
ớù + =
3 4 12
1 có nghiệm.
Hệ (1) có nghiệm Û đờng thẳng (d) và đờng tròn (C)
có điểm chung
Hệ (1) có nghiệm Û d(O, (d)) Ê M0
Û M0 ³ 12
5 Û M0³ 144
25
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (d) là tiếp tuyến của
(C) Khi đó nghiệm của hệ chính là toạ độ tiếp điểm
H Vậy Mmin =144, khi x=36 và y=48
II Hớng dẫn học sinh giải
Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
H1: Bài toán yêu cầu
chúng ta làm gì?
H2: Ta có thể biến đổi
biểu thức M phụ thuộc
hai biến thành biểu
thức chỉ phụ thuộc vào
một biến hay không?
Nếu đợc hãy làm điều
đó?
Nếu học sinh không
làm đợc thì Gv tiếp tục
gợi ý:
+, Từ giả thiết
x+ y=
3 4 12 hãy biểu
thị
theo (hoặc theo )
Thay vào biểu thức M
rồi biến đổi
H3: Em có nhận xét gì
về giá trị của biểu thức
M? Từ đó hãy tìm giá
trị nhỏ nhất của biểu
thức M?
Gv: Lu ý cho Hs biết có
thể xem M là một tam
thức bậc hai ẩn x và
giải theo kiến thức tam
thức bậc hai
H4: Hãy xét xem bài
toán còn có cách giải
nào khác?
H5: Hãy phát biểu bất
đẳng thức
Bunhiacôpxki cho 4 số?
H6: Liệu có thể áp
Hs: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M=x2+y2, với x y, thoả mãn điều
kiện x3 +4y=12
Hs: Từ giả thiết x3 +4y=12 ta có
y= -3 3x
4 thay vào biểu thức M ta
đ-ợc: M=x2+ -( 3x)2
3
4 .
Rút gọn M ta đợc:
M=25x2- 9x+ = 5x- 9 2+144
9
Hs: M³ 144
25 .
Bài giải:
Từ giả thiết x3 +4y=12 ta có:
y= -3 3x xẻ R
4
Thay y= -3 3x
4 , vào biểu thức M ta
đợc: M=x2+ -( 3x)2
3
M=x2+ - 9x+ 9 x2
9
2 16
Hay
M=25x2- 9x+ = 5x- 9 2+144
9
, do (5x- 9)2³ ," ẻx R
0
M³ 144 " ẻx R
25
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=36
25,
khi đó y=48
25.
Vậy min , và
M =144 khi x=36 y=48
Bài giải:
3
4 O
(d)
H()
x y
Trang 3trên để giải bài toán
hay không? Nếu đợc
hãy giải bài toán theo
cách đó?
H7:Hãy giải bài toán đã
cho?
H8: Trong mặt phẳng
tọa độ Oxy em hãy nêu
công thức tính khoảng
cách từ điểm A(x; y)
đến gốc tọa độ?
H9: Vậy bài toán đã
cho tơng đơng với bài
toán nào?
H10: Em hãy giải bài
toán đã cho bằng phơng
pháp hình học?
(ac+bd)2Ê(a2+b2)(c2+d2) Dấu “=” khi và chỉ khi ad- bc= 0
Hs: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta có
( x+ y)2Ê ( 2+ 2)(x2+y2)
Hs: OA2=x2+y2.
Hs: bài toán đã cho tơng đơng với bài toán: “Tìm điểm A(x; y) trên đờng
thẳng x3 +4y=12 , sao cho khoảng
cách OA ngán nhất”
cho 4 số 3, 4 và x, y ta có:
( x+ y)2 Ê( 2+ 2)(x2+y2)
x y R
" ẻ
144 25
25
Hay M³ 144,"x y, ẻ R
ra khi và chỉ khi:
x
y
ỡùù = ù
36
25
Vậy min , khi x=36 và y=48.
M =144
25
Bài giải:
Trong mặt phẳng toạ độ (oxy), phơng
trình: x3 +4y=12 là phơng trình của
đờng thẳng (d)
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức M=x2+y2, với x y, thoả mãn
x+ y=
3 4 12 tơng đơng với bài toán:
Tìm A(x y, ) trên đờng thẳng (d) sao cho
đoạn OA có độ dài nhỏ nhất
OA nhỏ nhất Û Aº H, H là hình chiếu vuông góc của O lên (d)
Tìm H: H = ( ) ( )d1 ầ d , trong đó (d1) là
đờng thẳng qua O(0; 0) và vuông góc với (d)
Phơng trình đờng thẳng (d1) là:
x- y=
4 3 0
Toạ độ H là nghiệm của hệ phơng trình:
ùù
ớù - = ùợ
3 4 12
x
y
ỡùù = ùùù ớù
ù = ùùùợ
36 25 48 25
Khi đó OA = OH = d(O, (d)) = +
-= +
3 0 4 0 12 12
5
3 4
Vậy
48 khi và y=
25
x
=
25 36
25
Câu 2 Đồng chí hãy soạn 01 tiết giáo án Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng Sách giáo khoa hình học 11 – chơng trình nâng cao (6 điểm)
3
3
4 O
H()
A(x,y)
x y
(d)
Trang 4Bài soạn tiết thứ 38 Tiết luyện tập bài: Đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
Sách giáo khoa hình học 11- chơng trình nâng cao
I Mục tiêu:
Về kiến thức:
-Củng cố cho học sinh khái niệm đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng, điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Củng cố cho học sinh nội dung định lí ba đờng vuông góc, khái niệm hình chiếu vuông góc của một điểm
Về kĩ năng:
- Rèn luyện cho học sinh phơng pháp chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
Về t duy và thái độ:
- Phát triển cho học sinh t duy hình học không gian
- rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, chính xác
II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
Gv: Chuẩn bị giáo án, phấn màu, thớc kẻ
Hs: Học bài và giải bài tập ở nhà
III Phơng pháp: Gợi mở vấn đáp
IV Tiến trình bài học và các nội dung
A ổn định tổ chức
B Kiểm tra bài cũ: 1, Em hãy nêu định nghĩa đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng?
2, Nêu điều kiện để một đờng thẳng vuông góc với một mặt phẳng?
3, Phát biểu nội dung định lí ba đờng vuông góc?
C Bài mới
Trợ giúp của giáo viên Hoạt động của học sinh Ghi bảng
Gv: gọi học sinh đọc đề
bài tập 18/ 103 (sgk)
Ghi tóm tắt đề toán Vẽ
hình
Yêu cầu học sinh cùng vẽ
hình
H1 Hãy chứng minh AH,
SK, BC đồng quy?
+, Gọi M là giao điểm của
AH với BC thì ta có điều
gì?
H2: Hãy chứng minh
SC^mp BHK ?
+, Hãy chứng minh
và SC BH
+, có thể chứng minh
SC^BHnhờ định lí ba
đờng vuông góc
H3: Hãy chứng minh
( )
HK^mp SBC ?
+, Hãy chứng minh
và
HK^BC
^
Gv: Gọi học sinh đọc bài
tập 17/103 sgk
Tóm tắt đề bài, vẽ hình,
yêu cầu Hs cùng vẽ hình
H1 Hãy chứng minh
ABC
V có ba góc nhọn?
+, Hãy chứng minh cho
vẽ hình
Hs: BC^mp SAM( ).Do đó
, ,
đồng quy tại M
AH SK BC
ị
(vì K là trực tâm ABC)
SC^BK
V ( ) và
( )
BH SA gt
^
Hs:
BC mp SAM
SC mp BHK
^
^
Bài giải:
a, Ta có: BC^SA, vì SA^mp ABC( ) Gọi M là giao điểm của AH với BC ị
BC^AM ị BC^mp SAM( )
ị BC SM^ ị K SMẻ ( do K là trực tâm của VSBC)
Vậy: BC,AH.SK đồng quy tại M
b, Ta có: SC^BK( )1 , vì K là trực tâm của
SBC
( SA mp(ABC)) và ( do H là trực tâm của
( )
BH SA gt
BH mpSAC
^
V
Từ (1) và (2) ị SC^mp BHK( )
c, Ta có: BC^mp SAM( )ị BC^HK(3)
SC^mp BHK ị SC^HK(4)
Từ (3) và (4) ị HK^mp SBC( )
4
S
A
B
M
C
N
K I
H
O
I K
H
Trang 5CosA, CosB, CosC là
những số dơng
+, đặt OA= a, OB= b,
OC= c, tính CosA, CosB,
CosC theo a,b,c?
H2 Hãy chứng minh H là
trực tâm của VABC?
+, Chứng minh rằng:
và AB CH
H3 CMR:
OH1 2 =OA1 2 +OB1 2 +OC1 2
?
+, CMR:
2
1
và
OI
Gv: tứ diện OABC có ba
cạnh OA,OB,OC đôi mộy
vuông góc còn đợc gọi là
tứ diện vuông
Tứ diên mà có các cặp
cạnh đối đôi một vuông
góc gọi là tứ diện trực
tâm
Bài giải:
a, Đặt OA =a, OB= b, OC= c
Ta có: AB a b ,AC c a ,
áp dụng định lí côsin trong VABCta có:
CosA
AB AC
2
a
2
2
0
Tơng tự: CosB> 0 và CosC >0.(đpcm)
b, Ta có: OA^OB OA, ^OCị
OA^mp OBC
ị ^ (1)
Mà
(2) (vì H là hình chiếu vuông góc của O lên mp(ABC)
BC^OH
Từ (1) và (2)
( )
Tơng tự ta cũng có: OC^mp OAB( )
( )
AB^OH5 Từ (4) và (5)
( )
Từ (3) và (6) ị H là giao điểm của hai đ-ờng cao AH và CH của VABC Vậy H là trực tâm của VABC
c, Trong tam gi c vu ng AOI có OH là đ- á ô ờng cao ị
OH1 2 =OA1 2 +OI1 2
Trong tam giác vuông BOC có OI là đờng cao ị 12
OI =OB1 2 +OC1 2 Vậy:
OH1 2 =OA1 2 +OB1 2 +OC1 2
D Củng cố: Nêu phơng pháp chính để chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng
Phát biểu nội dung định lí ba đờng vuông góc?
Bài tập về nhà: Các bài tập còn lại
5
