CHỦ đề 2 vấn đề 4 các DẠNG PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI và QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI TRÊN TRƯỜNG số PHỨC image marked

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giảiVẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG PHUƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC LÝ THUYẾT CĂN

Trang 1

Trang 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

VẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG PHUƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC

LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG Căn bậc hai của số thực âm:

- Căn bậc hai của số thực a âm là i a

i

 = −

Phương trình bậc hai với hệ số thực:

- Cho phương trình bậc hai 2

Trang 2

2

224

22

Trang 3

8 6i 1 3i

 = − − = − + 3) Giải phương trình 3 2

x x

Trang 4

1/ Nhập ấn (STO) (A) Khi đó bạn đã gán giá trị 2i cho biến A

2/ Nhập ấn (STO) (A) Khi đó bạn đã gán giá trị 2i + cho biến 3

A

BÀI TẬP MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z2−2z+ =5 0 Giá trị biểu thức 2

Trang 5

a b

Trang 6

Trang 7

a b

Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa điều kiện z =5 2 và 2

z là số thuần ảo Số các giá trị của z

55

a b

Trang 8

Trang 9

Câu 6: Cho phương trình 2

7x +3x+ =2 0có hai nghiệm phức 1,2

2

b i x

Trang 10

Câu 15: Gọi x x1, 2lần lượt là nghiệm của phương trình phức x2+ −(i 3)x+ − = Tổng 4 3i 0.phần ảo của 2 sốx x1, 2là:

Trang 11

Câu 24: Gọi x x1, 2là nghiệm phương trình x2−(2m−1)x+ −1 3mi= Tìm m để 0 x x =1 2 0

A Căn bậc hai của 1 2 2i− là 2 i− B Căn bậc hai của − −1 4 3i là 3−2i

C Căn bậc hai của 8 6i− + là 1 3i+ D Căn bậc hai của 1 2 2i− + là 1 2 2i+

Câu 28: Chọn khẳng định Đúng:

A Phương trình x2+2x+ =5 0có hai nghiệm nguyên phân biệt

B − −4 2 5i có hai căn bậc hai là 1− 5i và − +1 5i

C Phương trình 2 ( )

x + −i x+ − = có tích hai nghiệm bằng 3i i

D Mỗi số phức chỉ có một căn bậc hai

Câu 29: Cho phương trình bậc hai 2

Trang 12

Câu 33: Cho phương trình ( 2 ) (2 2 )

Câu 35: Cho phương trình z −4 32− =4 0 Chọn đáp án sai:

A Phương trình có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm phức

B Tổng 2 nghiệm phức của phương trình bằng 0

C Tổng 2 nghiệm thực của phương trình bằng 0

D Tất cả đáp án trên đều sai

Câu 36: Nghiệm của phương trình phức z4−2z3+5z2−8z+ =4 0là:

a b

x y

=



 =



Trang 13

Câu 43: Gọi z z1, 2 là nghiệm phương trình 2

11-A 12-D 13-C 14-B 15-A 16-D 17-B 18-C 19-D 20-A 21-C 22-A 23-B 24-C 25-D 26-C 27-D 28-B 29-A 30-B 31-C 32-D 33-B 34-C 35-A 36-B 37-D 38-C 39-A 40-D 41-B 42-A 43-C 44-D 45-B 46-A 47-C 48-B 49-D 50-A

Trang 14

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Đáp án D

❖ Phân tích:

Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức 2

1

i = − , ta nói ilà một căn bậc hai của −1; −icũng là một căn bậc hai của −1 Tổng quát, các căn bậc hai của số thực

Từ đẳng thức i = −2 1, ta xác định được căn bậc hai của số thực âm, chẳng hạn:

Căn bậc hai của −2 là i 2, vì ( )2

i

 = − Căn bậc hai của 3− là i 3, vì ( )2

i

 = − Căn bậc hai của −4 là 2i , vì ( )2

2i 4

 = − Quan sát nhanh 4 đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B có phần ảo i và 4 = , các đáp án 2khác không thỏa mãn

Nhận xét: Tương tự câu 1, câu 2 giúp ta cụ thể hóa định nghĩa căn bậc hai của số thực âm

và cách quan sát nhanh để loại các đáp án nhiễu

Trang 15

- Khi  = , phương trình có một nghiệm thực 0

2

b x a

= −

- Khi   , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt 0 1,2

2

b x

a

− 

=

B) Theo phân tích trên, đây là công thức nghiệm của phương trình bậc hai có nghiệm thực

phân biệt khi   , theo đề bài thì 0   nên ta loại 0

C) Theo phân tích trên, đây là công thức nghiệm của hương trình bậc hai có một nghiệm thực

khi  = , theo đề bài thì 0   nên ta loại 0

D) Đây là công thức của định lý Viet, không thỏa yêu cầu đề bài nên ta loại

Nhận xét: Do chưa quen với phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức nên nhiều học

sinh mắc sai lầm, dẫn đến khoanh sai đáp án

❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh đọc không kĩ yêu cầu đề bài với giả thuyết   0

nên thường khoanh nhầm sang đáp án B

Trang 16

❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh do chú tâm đến công thức nghiệm

1,2

2

b i a x

Theo định lý Viet, z z, là nghiệm của phương trình x2−2ax+a2+b2

❖ Nhận xét: Dạng bài khá lạ, học sinh lần đầu gặp có thể gặp nhiều khó khăn, nhưng nếu nắm các kiến thức cơ bản về số phức liên hợp z, ta có thể dần định hướng được cách

Trang 17

làm, với 2 nghiệm z z, , ta lien tưởng ngay đến định lý Viet và áp dụng, dẫn đến kết quả chính xác

❖ Sai lầm thưởng gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn về định lý Viet phương trình dạng

Theo định lý Viet, z z, là nghiệm của phương trình x2−4x+13

❖ Nhận xét: Đây là trường hợp cụ thể hóa của câu 8, ngoài cách trên, ta có thể sử dụng máy tính cầm tay Casio Fx-570ES hoặc Vinacal theo các bước tuần tự như sau:

- Chuyển sang chế độ CMPLX như sau: Bấm Mode → 2

- Xác định được z= − , ta bấm 2 3i (2 3+ i) (+ −2 3i), màn hình hiển thị kết quả: 4

- Bấm AC, tiếp tục nhập (2 3+ i)(2 3− i), màn hình hiển thị kết quả: 13

Ta không quan tâm đến việc tìm cụ thể các giá trị của x x1, 2, quan sát nhanh thấy các đáp

án A, B, C, D có tổng x1+x2 khác nhau, nên ta chỉ cần tìm ra tổng x1+x2 đúng là được

Theo định lý Viet: x1 x2 b 5 i (2 i) (3 2i)

a

−

Trang 18

Suy ra − −4 2 5i có hai căn bậc hai là: − +1 5i và 1− 5i

❖ Nhận xét: Ngoài cách làm trên, ta có thể thế ngược đáp án bằng cách bình phương lần

lượt các giá trị ở các đáp án A, B, C, D Quy trình bấm máy bằng Casio Fx-570ES hoặc

Vinacal theo các bước sau:

- Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2

❖ Nhận xét: Quy trình bấm máy Casio Fx-570ES hoặc Vinacal theo các bước sau:

- Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2

Trang 19

Vì đề yêu cầu tính tổng phần thực của x x1, 2nên ta không nhất thiết phải tính được giá trị

cụ thể của x x1, 2 mà chỉ cần tính tổng x1+x2 rồi tìm phần thực của tổng này, cũng chính là kết quả mà đề bài yêu cầu Ta tính bằng định lý Viet như sau:

Trang 20

Vì đề yêu cầu tính tổng phần ảo x x1, 2 nên ta không nhất thiết phải tính được giá trị cụ thể của x x1, 2 mà chỉ cần tính tổng x1+x2 rồi tìm phần ảo của tổng này, cũng chính là kết quả

mà đề bài yêu cầu Ta tính bằng định lý Viet như sau:

Theo định lý Viet: x1 x2 b 3 i

a

−

Phần ảo của tổng x1+x2 là −1 nên tổng phần ảo của x x1, 2cũng là −1

❖ Nhận xét: Dạng bài này ta nên dùng cách hai để tiết kiệm thời gian hơn

❖ Sai lầm thường gặp: Khi học sinh tính được x1+x2 = −3 i bằng một trong hai cách

trên, nhiều học sinh dễ khoanh nhầm đáp án B vì hiểu sai định nghĩa phần ảo của số phức Ta

có phân tích sau:

Một số phức là một biểu thức có dạng a bi+ , trong đó a,b là những số thực và ilà số thỏa mãn i = −2 1 Trong đó: i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo

Câu 16: Đáp án D

❖ Phân tích:

Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho số phức z1 = +a1 b i z1, 2 =a2+b i2

Khi đó độ dài AB được tính bằng công thức ( ) (2 )2

x+ −i + x+ − + =i có biểu thức lặp đi lặp lại

là (x+ − ta lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ Đặt 2 i) t= + − , phương trình trở x 2 i

Trang 21

Tương đương với x1= − + +4 (1 3 ;)i x2 = − + −4 (1 3)i

❖ Nhận xét: Dạng phương trình có biểu thức lặp lại ta thường dùng cách đặt ẩn phụ để

dễ nhìn, dễ giải từ đó đi đến kết quả nhanh hơn Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán

mà không cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta

sử dụng máy tính Casio Fx-570ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào có nghiệm thỏa mãn

đề theo các bước:

Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2

Lần lượt gán các đáp án vào máy, ở đây thử đáp án C và A:

• Nhập vào màn hình biểu thức − +2 3i Bấm Shift + RCL+ (-) ứng với gán giá trị

• Màn hình hiển thị kết quả 18 8i− , tức − +2 3ikhông trải nghiệm, loại đáp án C

Với đáp án A ta cũng bấm máy tương tự:

• Nhập vào màn hình biểu thức − + +4 (1 3 i) Bấm SHIFT+ RCL+ (-) ứng với gán giá trị − + +4 (1 3 i) cho biến A

• Nhập biểu thức ( )2 ( )

x+ −i + x+ − +i Bấm phím CALC, màn hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A

• Màn hình hiển thị kết quả 0, tức − + +4 (1 3 i) là nghiệm

Trang 22

Thay trở lại biến x ta được: 2

x + x+ = Tương đương với : x1= − +2 3 ;i x1= − −2 3i

t=x + x+ Xem thử vì sao lại đặt như thế nhé, phương trình trở thành:

t− t+ = −  − = −  = t t

Thay trở lại biến x ta được: x2+4x+ =7 0

Tương đương với: x1= − +2 3i

x = − − i

❖ Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, vì nó dễ thấy, dễ làm, nhueng tinh

tế hơn, cách 2 cho ta cách biến đổi rất ấn tượng, giúp bài toán được giải quyết nhanh hơn, gọn và đẹp mắt hơn Về bản chất, hai cách đặt ẩn phụ đều quy về phương trình

để giải ra nghiệm.Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán mà không cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta sử dụng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào là nghiệm thỏa mãn

+ Màn hình hiển thị kết quả 0, tức − +2 3i là nghiệm

Trang 23

4 9

t=x − x+ , xem thử vì sao lại đặt như thế nhé, phương trình trở thành:

❖ Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, vì nó dễ thấy, dễ làm, nhưng tinh tế

hơn, cách hai cho ta một bước biến đổi rất ấn tượng, giúp bài toán được giải quyết nhanh hơn, gọn và đẹp mắt hơn Về bản chất, hai cách đặt ẩn phụ đều quy về phương trình để giải ra nghiệm.Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán mà không cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta sử dụng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào là nghiệm thỏa mãn đề theo các bước:

+ Nhập vào màn hình biểu thức 2+ 2i Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá trị 2+ 2i cho biến A

x − x+ x − x+ = Bấm phím CALC, màn hình hiển thị X? Bấm ALPHA + A

+ Màn hình hiển thị kết quả 0, tức 2+ 2i là nghiệm

Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án A

Câu 21: Đáp án C

Trang 24

- Để tính được x1 ,x ta cần xác định 2 x x1, 2 bằng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức với a=1,b= −i 3,c= −4 3i Ta có:

❖ Nhận xét: Rõ ràng cách 2 rất nhanh gọn, ta không phải tính từng nghiệm cụ thể, chỉ

cần hiều về bản chất định lý Viet và môđun số phức là có thể thực hiện được

Câu 23: Đáp án B

- Theo phản xạ các bài tập trước, ta dùng Viet tính ngay kết quả mà không cần thông qua bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót khi tính toán

- Theo định lý Viet: x1+x2 =2m−1

Trang 25

- Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → 2

- Nhập 1 i − , bấm SHIFT + RLC + (-) để lưu giá trị 1 i− vào biến nhớ A

Trang 26

* Không cần phải khai triển hay biến đổi biểu thức, ta dùng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal thực hiện như sau:

- Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → 2

C) Sai vì theo định lý Viet ta có tích hai nghiệm bằng 3i − 2

D) Sai vì mỗi số phức có hai căn bậc hai

là hai số phức liên hợp của nhau

D) Đúng vì theo định lý Viet ta có tổng hai nghiệm bằng -3

Trang 27

i z

z

i z

00

z

z z

Trang 28

- Quan sát thấy phương trình ( 2 ) (2 2 )

❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh đọc không kĩ đề hoặc hiểu nhầm giữa khái niệm

bình phương của tổng và tổng bình phương dẫn đến sai lầm Nếu là bình phương của

D) Sai vì cả 3 kết luận A,B,C đều đúng

❖ Nhận xét: Dạng bài này tuy hỏi lý thuyết nhưng ta phải giải cụ thể ra nghiệm để kết

luận đúng hay sai chứ không làm lý thuyết đơn thuần

Trang 29

- Reset máy về ban đầu bằng thao tác bấm SHIFT+9+3+=+=

- Nhập phương trình x4−2x3+5x2−8x+4, bấm SHIFT + RLC + 0 Máy hiển thị kết quả 1

- Solve các khoảng cách ta không tìm được thêm nghiệm nào nữa

- Vậy ta có một nhân tử là (z −1) Ta kiểm tra xem đây có phải là nghiệm bội không bằng cách bấm SHIFT +  rồi nhập x4−2x3+5x2−8x+4 và giá trị của x = Màn hình hiển 1thị kết quả là 0 tức phương trình có nghiệm kép, nhân tử là ( )2

Trang 30

00

a bi

a a

b b

Trang 31

1 2

- Với dạng toán này, ta có thể đặt z= + rồi đồng nhất hệ số hai vế để tìm a bi a b, tuy nhiên,

ta có thể giải quyết bài toán nhanh hơn bằng biến đổi thông thường như sau:

So với điều kiện xác định, ta nhận cả hai nghiệm trên

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm z=0,z= +2i 1

Trang 32

- Phương trình z+ −( )i 1 z = − không thể giải ngay lập tức vì có hai đại lượng 2 3i z và z , ta

có thể đặt z= + để có mối liên hệ giữa a bi z và z

Trang 33

- Phương trình 2z+3 1( )−i z = − không thể giải ngay lập tức vì có hai đại lượng 1 9i zvà z ,

ta có thể đặt z= + để có mối liên hệ giữa a bi zvà z

- Khi đó z= − Phương trình đã cho tương đương: a bi

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,1 MB