Phuong trinh vi phan phương pháp tính

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình viphân.. Bài toán đơn giản nhất là bài toán CauchyĐối với bài toán Cauchy 1 ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một

Sai phân tiến

Sai phân hướng tâm

⇒ f00(xk) ≈ f (xk+1) − 2f (xk) + f (xk−1)

h2

Nhiều bài toán của khoa học kỹ thuật dẫn đến việc giải phương trình viphân Bài toán đơn giản nhất là bài toán Cauchy

Đối với bài toán Cauchy (1) ta chỉ có thể tìm được nghiệm đúng của một

số phương trình đơn giản, còn đối với trường hợp f (x , y ) có dạng bất kỳthì nói chung không có phương pháp giải

Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúng của bài toánCauchy (1) quá phức tạp thì người ta cũng ít dùng

Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng bài toán Cauchy có vaitrò rất quan trọng trong thực tế

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn

x0 = a, xk = x0+ kh, k = 0, 1, 2, , n, xn= b Giá trị gần đúng cần tìmcủa hàm tại điểm xk được ký hiệu là yk và ta có yk ≈ y (xk)

Giả sử y (x ) là nghiệm duy nhất của bài toán (1), có đạo hàm đến cấp 2liên tục trên đoạn [a, b] Áp dụng phương trình y0(x ) = f (x , y (x )) tại nút(xk, yk) và sử dụng sai phân tiến cho đạo hàm, ta có:

y0(xk) = f (xk, y (xk)) ⇒ y (xk+1) − y (xk)

xk+1− xk = f (xk, y (xk))

Công thức Euler

y (xk+1) ≈ yk+1 = yk+ hf (xk, yk), k = 0, 1, 2, , n − 1

Ý nghĩa hình học của phương pháp Euler

Ý nghĩa hình học của công thức Euler là từ điểm (xk, yk) thuộc đườngcong y = y (x ), kẻ tiếp tuyến với đường cong Đường tiếp tuyến sẽ cắt

x = xk+1 tại yk+1 chính là giá trị gần đúng của hàm tại x = xk

Áp dụng phương trình y0(x ) = f (x , y (x )) tại nút (xk+1, yk+1) và sử dụngsai phân lùi cho đạo hàm, ta có:

y0(xk+1) = f (xk+1, y (xk+1)) ⇒ y (xk+1) − y (xk)

xk+1− xk ≈ f (xk+1, y (xk+1))

⇒ yk+1 = yk + hf (xk+1, yk+1)Kết hợp với công thức yk+1 = yk+ hf (xk, yk) ta được công thức cải tiến:

y (xk+1) ≈ yk+1 = yk+ hf (xk, yk) + f (xk+1, yk+1)

Việc tính toán theo công thức trên rất phức tạp vì cả 2 vế đều chứa yk+1

là ẩn cần tìm Để đơn giản ta thay yk+1 ở vế phải bởi công thức Euler

Phương trình vi phân bậc cao



y00(x ) = f1(x )y0+ f2(x )y + f3(x ), a 6 x 6 b,

Thực hiện đổi biến y0 = z ⇒ y ” = z0, z(a) = y0(a) = β

Phương trình vi phân được chuyển về hệ:

Các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phânthường đòi hỏi các điều kiện được cho tại một thời điểm ban đầu nàođó.

Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần 2 giá trị y (x0) và y0(x0).Tuy nhiên, nhiều bài toán trong thực tế cho thấy điều kiện của hàmcần tìm được cho tại nhiều thời điểm khác nhau Vấn đề này dẫn tớiviệc tìm nghiệm gần đúng của 1 dạng bài toán thứ hai được gọi là bàitoán biên

Trong phần này chúng ta chỉ xét bài toán biên của phương trình viphân thường tuyến tính cấp hai với điều kiện biên được cho ở 2 điểm

Phương pháp sai phân hữu hạn

Chọn số tự nhiên bất kỳ n > 0 Chia đều đoạn [a, b] thành n đoạn bởicác điểm chia x0= a, xk = x0+ kh, k = 1, 2, , n − 1, xn= b với

Từ các điều kiện biên y0 = α, yn= β sau khi biến đổi ta thu được hệphương trình







y0 = α, yn= β(pk

h 2 − qk 2h)yk−1+ (rk −2pk

h 2 )yk+ (pk

h 2 +qk 2h)yk+1 = fk

Y = [y1, y2, , yn−1]Tvà

Ma trận A ở trên là ma trận 3 đường chéo Để giải hệ phương trình trênthì ta dùng phương pháp phân rã LU.

Khi đó phân rã Doolit cho ta

f3− (p3

h 2 +q3 2h)β

2h)y3 = cos(π4)(h12 +2h1 )y2+ (−2 −h22)y3+ (h12 −2h1 )y4 = cos(3π8 )

4 ) 0y 1 +(h12 +2h1)y 2 +(−2 −h22 )y 3 = cos(3π8) − (h12 − 1

2h )y 4