Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải Đề cương công thức lũy thừa bài toán và có lời giải
Trang 1CHỦ ĐỀ 1: CÔNG THỨC LŨY THỪA
I KHÁI NIỆM LŨY THỪA
1 Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên dương
Cho a và *
n Khi đó n
a a a a a (n thừa số a)
Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0
Cho a \ 0 và n * Ta có: a n 1n;a0 1
a
Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương
Chú ý: 00 và *
0n n không có nghĩa
2 Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương n2
Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n b
Khi n lẻ, b : Tồn tại duy nhất một căn bậc n của số b là n b
Khi n chẵn và b0 thì không tồn tại căn bậc n của số b
Khi n chẵn và b0 thì có duy nhất một căn bậc n của số b là n0 0
Khi n chẵn và b0 có 2 căn bậc n của số thực b là n
b và n
b
3 Lũy thừa với số mũ hữu tỷ
Cho số thực a0 và số hữu tỷ r m
n
, trong đó m ; n , n2 Khi đó
m n
4 Lũy thừa với số mũ vô tỷ
Giả sử a là một số dương và là một số vô tỷ và r là một dãy số hữu tỷ sao cho lim n n
n r
Khi đó lim r n
n a a
II TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC
Cho hai số dương a; b và m n; Khi đó ta có các công thức sau
1 a a m n a m n
m
a
3 m n m n.
a a
n m n n
2 n n n,n n n
a b ab a b ab
n
n
Tính chất 1: 0
a a và a1a
Trang 2 Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến): 1;
0 1:
m n
m n
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): Với a b 0 thì 0
0
m m m
Ví dụ 1: Cho biểu thức P x.3 x2 x3 , với x0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A
13
12
13 24
13 6
13 8
Px
Lời giải
Ta có:
7 13
P x x x x x x x x x x x x Chọn A
Ví dụ 2: Biết rằng x.3 x2 x x n với x0 Tìm n
3
3
Lời giải
Ta có:
5 1 5 4
x x x x x x x x x x x x Chọn C
Ví dụ 3: Cho biểu thức P x.3 x2.k x3 , với x0 Biết rằng
23 24
Px , giá trị của k bằng:
Lời giải
Ta có:
3 2 3 24 3 2 3 12 3 2 3 12
P x x x x x x x x x x x
3
2
x x x x x x x k Chọn D
Ví dụ 4: Cho biểu thức 1 3
2 3 1 3
1 3
P
a
, với a0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
a
3
1
P a
Lời giải
2 3 1 3 1 3 1 3
P
a
Ví dụ 5: Cho biểu thức 3 4
m
P
với ; a b0 Tìm m
Trang 3A 7
24
12
12
24
Lời giải
Khi đó
Do đó
7 24
24
Ví dụ 6: Cho biểu thức với
7 1
6 3
6 2
a b Q
ab
a b; 0 Mệnh đề nào sau đây là đúng?
b
Lời giải
Ta có:
7 1 7 1 7 1
6 3 6 3 6 3
1 1 2
6 2
2 6 6 6
Ví dụ 7: Cho x là số thực dương, viết biểu thức Q x.3 x2 6 x dưới dạng lũy thừa với số hữu tỉ
A
5
36
2 3
Qx C Qx D Qx2
Lời giải
Ta có:
2 1 5 1
3 2 6 3 6 6 6
Q x x x x x x x x x Chọn C
Ví dụ 8: Cho biểu thức P3 x.4 x2 x3 với x0 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A
5
6
2 3
5 8
3 4
Px
Lời giải
Ta có:
1 1
15 5
3 4
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức
2
2 2 3 1
3
T
a b a b
với a, b là hai số thực dương
A T a b4 6 B T a b6 6 C T a b4 4 D T a b6 4
Lời giải
Trang 4Ta có:
2
2 2 3 1 2 4 6 1 2 5
6 4
a b a b
Ví dụ 10: Biết rằng
2 2
9
a b
x x x
với x1và a b 3 Tính giá trị của biểu thức P a b
Lời giải
2
1
3
a
x
a b b
x
a b x
Ví dụ 11: Cho x y, 0 Biết rằng
3 4 3
x và 2
3 2
1
y Tính m n
Lời giải
Ta có:
1
4
1
6
Lại có:
3 2
6
y
Do đó: m n 2 Chọn D
Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức 2018 2019
5 2 6 5 2 6
A P 5 2 6 B P 5 2 6 C P10 4 6 D P10 4 6
Lời giải
Ta có: 5 2 6 5 2 6 25 24 1
Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức 2019 2018
3 2 2 3 2 4
A 1009
3 2 2 2 C 1009
3 2 2 2 D 3 2 2
Lời giải
3 2 4 2 3 2 2 M 3 2 2 2 3 2 2
2
3 2 2 3 2 2 3 2 2 9 8 1 nên 2018 2018
3 2 2 3 2 2 1
3 2 2 2
Trang 5Ví dụ 14: Cho 2x 5 Giá trị của biểu thức 1 2
4x 2 x
T bằng:
A 504
104
104
504
25
Lời giải
2
Ví dụ 15: Cho 4x4x 34 Tính giá trị của biểu thức 2 21 13
x x
T
4
11
11
T
13
T
Lời giải
4x4x 342 x 2 2 x 36 2x2x 362x2x 6 (Do 2x2x0) Khi đó:
6 3 1 2.63 113
1 2 2x 2 x
Ví dụ 16: Cho hàm số 9
x x
f x
, với a b, và a b 1 Tính T f a f b
Lời giải
9
1
9
9
a
1
Tổng quát: Cho hàm số x a x
f x
ta có f x f 1x1
Ví dụ 17: Cho hàm số 4
x x
f x
3
2
Lời giải
Sử dụng tính chất tổng quát: Với hàm số x a x
f x
ta có f x f 1x1
Trang 6Khi đó 1 2004 2 2003 1002 1003
S f f f f f f f
1 1 1 1 1002
f
Chọn B
Q
Lời giải
x x x x x x x x x
Và x 1 x1 1x 1 x 1 x 1 x 1 2
2
Q
Ví dụ 19: Đơn giản biểu thức
4
T
T b
Lời giải
Ví dụ 20: Cho a, b là hai số thực khác 0 Biết rằng 2 4 2
3 10 3
1
625 125
a ab
a ab
a
b
A 76
4
76
3
Lời giải
2 2
3
1
125
a ab
a ab
3
, 0
21
b
1 1
6 3 3 3
9 9 14,
x x
x x
a b
a
b là phân số tối giản) Tính Pab
Trang 7Lời giải
9x9x 3x3x 2 14 3x 3x 4
1 1
45
Trang 8BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho 0 a 1 và biểu thức 3
a a được viết dưới dạng a n Tìm n
A 11
6
3
3
6
n
Câu 2: Cho biết Q a2.3a4 với a0, a1 Khẳng định nào đúng?
A
5
3
7 3
7 4
11 6
Qa
Câu 3: Cho 0 a 1 Rút gọn 3 4
3
2 2
a P
a a
17 2
23 2
7 2
Pa
Câu 4: Rút gọn biểu thức với
1
3 4 4 5 6
3
P
x
với x0
A
5
4
112 60
13 18
211 60
Px
Câu 5: Với x0, hãy rút gọn biểu thức
9 16 :
A
5
32
13 32
9 48
1 32
Px
Câu 6: Biết
2 2
16
a b
x
x
x với x1 và a b 2 Tính giá trị của biểu thức M a b
Câu 7: Cho a b, 0, viết
2
3
a a về dạng x
a và 3b b b về dạng y
b Tính T 6x12y
12
6
Câu 8: Giá trị của biểu thức 2016 2016
3 3
Câu 9: Cho a là một số dương, biểu thức
2 3
a a viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ là
A
5
6
7 6
4 3
6 7
a
Câu 10: Viết biểu thức 3 6 5
Q x x x với x0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
A
2
3
5 3
5 2
7 3
Qx
Câu 11: Cho số thực a dương Rút gọn biểu thức 5 4 3
P a a a a
Trang 9A Pa14 B Pa120 C Pa40 D Pa60
Câu 12: Viết biểu thức
11 6 :
A a a a a với a0 dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?
A
21
44
1 12
23 24
23 24
Aa
Câu 13: Biết 5 3
m
với a, b là các số thực dương Tìm m
15
15
5
15
5 3
2 2 4
6 5 , 0
a
dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Câu 15: Cho a, b là hai số thực dương Thu gọn biểu thức
7 2
6 3
6 2
a b T
ab
A T a2
b
a
b
Câu 16: Với a0 thì biểu thức
7 1 2 7
2 2
2 2
P a
được rút gọn là:
Câu 17: Cho x0,y0 Viết biểu thức
4 5 6
x x x x và
4 5 6
y y y y Tính m n
A 11
8 5
6
5
Câu 18: Cho 5x 2 Tính A25x52x
A 13
2
2
2
A D A29
1 1
6 3 3 3
9 9 14,
x x
x x
a b
a
b là phân số tối giản) Tính Pab
A P10 B P 10 C P 45 D P45
Câu 20: Cho a, b là các số thực thỏa 3.2a 2b 7 2 và 5.2a2b 9 2 Tính S a b
Câu 21: Cho hàm số 2
x x
f x
A 59
19
28
3
Trang 10Câu 22: Giá trị của biểu thức 2018 2018
A 1009
3
3
3
16 2 8
Câu 23: Viết biểu thức 5 3 2 5 3
P x x x x dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ
A
61
30
117 30
113 30
83 30
Px
Trang 11LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1:
1 2 4 2 2
a a a a a a
Câu 2:
4 2 10 2 5
Q a a a a
Câu 3:
7 17
12 12
2 2 7
2
a
a
Câu 4:
1 4 5 11
5
6 3 4 4
4
x x x x
Câu 5:
x x x x x x x x x x x
Câu 6: 16 2 2 2
8
a b
a b
x x x a b Chọn C
Câu 7:
3
Chọn C
1008
Câu 9:
3 3 2 6
a a a a a Chọn B
Câu 10:
1 5 5 1
3 6 3
2
Qx x x x Chọn B
4 5
Chọn C
Câu 12:
Chọn D
Câu 13: Ta có
2 5
3
2
15
m
m
Câu 14: Ta có
4 5
2 2 3
5 5
6
a a a
a
Trang 12Câu 15:
7 1 2 2
6: 6 3: 6 a
b
Câu 16:
3 5 2
a
a
Chọn A
Câu 18: 2 25 33
5
x x
b
Câu 20: Ta có:
3
1
2
a b
a
b
Chọn B
1010 P f f 6 Chọn A
Câu 22: 2018 2018 2018
Câu 23:
2 3 113 5
3 5 30
2
Px x x x Chọn C