KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC Nguyên tắc: + Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn.. + Sắp xếp các nghiệm củ
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
1 KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC
Nguyên tắc:
+) Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc chẵn +) Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong bảng xét dấu
+) Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó
+) Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà không được nhân chéo
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH] Xét dấu các biểu thức sau
3 4
+
−
x
f x
1
= − −
−
f x
x x
c) ( ) ( 3)(3 2 )
1
=
−
f x
f x
e)
2
1
− +
−
x x
f x
1
−
x
f x
f x
Ví dụ 2: [ĐVH] Giải các bất phương trình sau
− + ≤
c)
2
2
2
0
30
− −
x x
e)
2
0
8 15
− +
x x
0
2
−
x x x
x x
2 KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC
Nguyên tắc:
+) f(x) chia cho g(x) được h(x) và dư là k thì ta có thể viết f x( ) ( ) ( )=g x h x + ⇔k f x( ) ( ) ( )=h x + ( )k
+) Để chia đa thức bằng lược đồ Hoocner ta phải sắp xếp đa thức chia theo lũy thừa giảm dần, số hạng nào khuyết ta
cho hệ số bằng 0
+) Thực hiện chia theo quy tắc: đầ u rơi - nhân ngang - cộng chéo
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau
a)
3
+
x ……… b)
3 2
1
−
x x x
x ………
c)
2
2
1
−
x mx m
x ……… d)
( )
+
x ………
3 KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Xét phương trình: ( ) 4 3 2 ( )
0, 1
f x ax bx cx dx e
CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ 2017
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Nếu x = x o là một nghiệm của phương trình (1) thì ( ) ( ) ( ) ( 3 2 )
1 ⇔ f x = −x x o ax +b x′ +c x′ +d′ =0 ( ) 3 ′ 2 ′ ′
f x
ax b x c x d
x x
Nguyên tắc:
+) Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1
+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1
+) Nếu phương trình không tuân theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản như
0; ±1; ±2…
+) Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m bằng 0,
được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH] Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
f x x x x
f x x m x m x m
Hướng dẫn giải :
Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1
1
−
x
Dùng lược đồ Hoocner ta được
1
−
x
f x x x x
Tổng hệ số bậc chẵn là −2 − 1 = −3, tổng hệ số bậc lẻ của phương trình là 4 − 7 = −3
Từ đó ta thấy phương trình có một nghiệm x = −1
1
+
x
Dùng lược đồ Hoocner ta được
1
+
x
f x x m x m x m
Tổng các hệ số đa thức là 1−(m+ −1) (m− +1) 2m− =1 0 nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1
Ví dụ 2: [ĐVH] Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
4 KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Trang 3Xét phương trình bậc hai: ( ) 2 ( )
0, 1
f x ax bx c
a) Giải và biện luận phương trình (1):
Nếu a = 0 thì ( )1 ⇔bx+ =c 0, ( )*
+ nếu b = 0 và c = 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi x
+ nếu b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vô nghiệm
+ nếu b ≠ 0 thì ( )* ⇔ = −x c
b
Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức
2
2
4
∆ = −
b ac
b ac b b + nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt
2
1;2
4
x
+ nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép
2
−
x a + nếu ∆ = 0 thì (1) vô nghiệm
b) Hệ thức Vi-ét:
Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 thì ta có hệ thức Vi-ét:
1 2
1 2
b
S x x
a c
P x x
a Một số các kết quả cần lưu ý:
1 + 2 = 1+ 2 −2 1 2= −2
x x x x x x S P
1 + 2= 1+ 2 −3 1 2 1+ 2 = −3
x x x x x x x x S SP
x +x = x +x − x x = S − P − P
1− 2 = 1+ 2 −4 1 2= −4
c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:
Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi
2
1 2
1 2
1 2
0
0
0
− >
∆ >
>
b ac
b
S x x
c
P x x
a
Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi
2
1 2
1 2
1 2
0
0
0
− >
∆ >
<
b ac
b
S x x
c
P x x
a
Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi
1 2
2
2
0 0
α
∆ >
>
a a
Trang 4Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi
1 2
2
2
0 0
α
∆ >
<
a a
Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi
1 2
0
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi
1 2
1 2
1 2
1 2
0 0
0 0
α α
α
2 2
0 0
0 0
∆ =
∆ =
b b
b
a a
a
c b
a a
Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi
1 2
1 2
1 2
1 2
0 0
0 0
α α
α
2
0 0
0 0
∆ =
∆ =
b b
b
a a
a
c b
a a
Ví dụ 1: [ĐVH] Cho phương trình ( ) 2 ( )
m x mx m
a) Giải và biện luận phương trình đã cho
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1
Hướng dẫn giải :
a) Giải và biện luận phương trình
Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì ( ) 5
4
⇔ − − = ⇔ = −
Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠−1 thì (1) là phương trình bậc hai có 2 ( )( ) 2
′
2
′
∆ < ⇔ − − < ⇔ − < < thì (1) vô nghiệm
3
2
m
m
=
′
= −
thì (1) có nghiệm kép 2
1
x
a m
′ −
= − =
+
3
2
m
m
>
′
< −
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
2
1;2
1
x
m
=
+
3
2
m
m
>
′
< −
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
4 1
1
x x
a m
c m
x x
a m
+
Trang 5Hai nghiệm đều dương khi 1 2
1 2
4 0
0
o
m m
vn
m m
− < <
+ >
c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi ( 1 )( 2 )
1 2
2
x x
+ < −
1 2 1 2
1 2
1
2
m m
x x
m
+ < −
Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm
Ví dụ 2: [ĐVH] Cho phương trình ( ) ( 2 ) ( )
x+ x +mx− m+ =
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12+x22+x32<7
Hướng dẫn giải :
2 1
x
g x x mx m
= −
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2
4 2 5
*
4
g
m
m
m
> − +
≠
≠
Vậy với
4 2 5
4 2 5 5
4
m
m
m
> − +
< − −
≠
thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt
b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu
2
P< ⇔ − m< ⇔ >m
Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm
c) Không mất tính tổng quát, giả sử x1 = −2 Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2)
Theo định lí Vi-ét ta được 2 3
2 3 1 2
x x m
+ = −
= −
Kết hợp với điều kiện (*) ta được − +4 2 5< <m 1 là giá trị cần tìm
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH] Cho phương trình ( ) 2
m x mx m
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1 2
5 0
2
x x
x x
Bài 2: [ĐVH] Cho hàm số y = (x – 1)(x2 + mx + m).
a) Với m = 2, tính ' y và giải phương trình ' y =0
Trang 6b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = − 1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3
c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn 2 2 2
1 + 2 + 3 <4
x x x
d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2
Bài 3: [ĐVH] Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn? c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài 4: [ĐVH] Cho phương trình x2−mx+ − =m 1 0, (với m là tham số).
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của
m tương ứng
b) Đặt A=x12+x22−6x x 1 2
Chứng minh A = m2
– 8m + 8
Tìm m để A = 8,
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
d) Tim m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn 1
Bài 5: [ĐVH] Cho phương trình ( ) ( 2 )
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt đều dương
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12+x22+x32=15
d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm