Bài 1: ( 3,0 điểm) a. Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 19911992. Hỏi tổng a + b có thể chia hết cho 1992 không? Tại sao? b. Chứng minh rằng số A = 1+1919+93199+19931994 không phải là số chính phương. Bài 3: ( 3,0 điểm) Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện x.y2.z2 + x2.z+y = 3z2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:P= z4
Trang 1PHÒNG GD – ĐT PHÙ MYÕ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
TRƯỜNG THCS T.T PHÙ MỸ NĂM HỌC: 2015 – 2016
MÔN: TOÁN 9
ĐỀ ĐỀ XUẤT Thời gian: 150’ (không kể thời gian phát đề)
Bài 1: ( 3,0 điểm)
a Cho hai số tự nhiên a, b sao cho a.b = 19911992 Hỏi tổng a + b cĩ thể chia hết cho 1992 khơng? Tại sao?
b Chứng minh rằng số A = 1 19+ 19+93199+19931994khơng phải là số chính phương
Bài 2:( 4,0 điểm)
a Cho
1 1
2
1 1
1 2 1
2
+ +
−
− +
=
x
Tính giá trị của biểu thức:
A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2014
b Giải phương trình: 12x 13+ − 4x 13+ = x 1+
Bài 3: ( 3,0 điểm)
Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy2z2 + x2z+y = 3z2 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
4
z P
=
Bài 4: ( 3,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc = 1 Chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 b 1 c + 1 c 1 a + 1 a 1 b ≥4
Bài 5: ( 3,0 điểm)
Cho hình thoi ABCD cĩ gĩc A = 1200, tia Ax tạo với tia AB gĩc BAx bằng 150 và cắt cạnh
BC tại M, cắt đường thẳng DC tại N
3
4 1
1
AB AN
Bài 6: ( 4,0 điểm)
Cho tam giác ABC, cĩ AB < AC, kẻ trung tuyến AM, đường cao AH và phân giác AD.
1 Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = AB, Chứng minh DEC ACB· >·
2 Chứng minh CD > CM
3 Chứng minh rằng điểm D nằm giữa 2 điểm H và M
…… ………….Hết………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
điểm
1
(3,0 điểm)
a) Ta có: a.b = 19911992 = 111992.1811992
1992 k 1992 h
a 11 181
k, h N
b 11 − 181 −
=
( )
181 ≡181 − ≡1 mod 3
* Nếu k chẵn thì:
( ) k
11 ≡1 mod 3
1992 - k chẵn ⇒111992 k− ≡1 mod 3( )
Suy ra: a + b ≡2 mod 3( )⇒ +a b 1992M
* Nếu k lẻ thì:
( ) k
11 ≡2 mod 3
1992 - k lẻ ⇒111992 k− ≡2 mod 3( )
Suy ra: a + b ≡1 mod 3( )⇒ +a b 1992M
Vậy: a b 1992+ M
b Ta có:
( ) ( ) ( )
19 1 mod 4
93 1 mod 4
1993 1 mod 4
≡ −
≡
≡ Suy ra: A = 1 - 1 + 1 + 1 = 2(mod4)
Vậy A không phải là số chính phương
0,25 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
2
(4,0 điểm)
a Ta có
1 1
2
1 1
1 2 1
2
+ +
−
− +
=
x
=
1 1 2
1 1 2 1
1 2
2
− +
+ +
− + +
= 2
2 2
2 =
Ta lại có:
A = (x4 – x3 – x2 + 2x – 1)2014
= ( ) ( ) 2014
3
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
Trang 3Thay x = 2 vào A, ta được:
A = ( )( ) 2014
= 12014 = 1
b Điều kiện: x≥ −1
Nhân cả 2 vế phương trình với biểu thức liên hợp vế trái ta được:
( 12x 13+ − 4x 13+ )( 12x 13+ + 4x 13+ ) = x 1 12x 13+ ( + + 4x 13+ )
Từ 12x 13+ − 4x 13+ = x 1+ suy ra
x 1+ = 12x 13+ − 4x 13+ x 1 **+ Trừ 2 vế phương trình (*) và (**) ta được:
( ) ( ) 7x 1 2 x 1 4x 13− = + +
( )2 ( ) ( ) 2
33x 82x 51 0 7x 1 4 x 1 4x 13
1 x
17
x 3; x
3
≥
−
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
3
(3,0 điểm)
4
4
P
1
z
Từ xy2z2 + x2z+y = 3z2 2 2
2
Đặt 1 t
z = , ta thu được bài toán sau:
" Với x, y, t là các số dương thỏa mãn xy2 + yt2 + tx2 = 3 Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức 4 4 4
1 P
= + + "
Áp dụng bất đẳng thức Cô -si cho bốn số dương, ta có:
+ + + ≥
+ + + ≥
( 4 4 4) ( 2 2 2)
Vậy max
1 P 3
= đạt được khi x = y = z = 1
0,25 điểm
0,25 điểm 0,5 điểm
0,75 điểm
0,5 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Trang 4(3,0 điểm)
Áp dụng bất đẳng thức Cô -si cho ba số dương, ta có:
3
Tương tự:
( ) ( )
3
b
( ) ( )
3
c
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 b 1 c + 1 c 1 a + 1 a 1 b +4 + + + ≥4 4 + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
0,5 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm
0,5 điểm
0,75 điểm 0,25 điểm
5
(3,0 điểm)
Vẽ hình đúng
Trên cạnh DC lấy điểm E sao cho góc DAE bằng 150, suy ra NAE∧ = 900
⇒ ∆ = ∆ (g.c.g)
⇒AE =AM Xét tam giác EAN vuông tại A, đường cao AH, ta có:
2 2
2
1 1
1
AH AN
2 2
2
1 1
1
AH AN
AM + = (1) Xét tam giác đều ADC, đường cao AH, ta có: AH2 = 2 2
4
3 4
3
AB
AD = (2)
Từ (1), (2) suy ra 2 2 2
3
4 1
1
AB AN
0,5 điểm
0,75 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
6
(4,0 điểm)
Vẽ hình đúng
0,5 điểm
Trang 51) Ta cĩ: ∆ ABD = ∆ AED (c-g-c)
⇒ µB E=µ1 , D¶1=D¶2 và DB = DE (1)
A B C E E+ + = + =
⇒E¶2 = +A Cµ µ
⇒
2) Vì (câu 1)
⇒ CD > DE
Mà DB = DE (1) Nên: CD > DB Lại cĩ MB = MC (M là trung điểm BC)
⇒ CD > CM 3) Ta cĩ: ·ADC ADE>· ( vì E ∈ AC)
Và D¶1 =D¶2
Nên: ·ADC ADB> ·
⇒ là gĩc tù
⇒ CH > CD ( đường cao nằm ngồi tam giác)
Mà CD > CM (câu 3) Nên D nằm giữa H và M
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,5 điểm 0,5 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm
Chú ý: Mọi cách làm khác nếu đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được tính điểm tối đa theo biểu
điểm của từng bài, từng câu.