Tài liệu tham khảo dành cho các sĩ tử ôn thi đại học, chuẩn bị tốt cho kì thi cao đẳng đại học sắp tới
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 -2013
Môn thi : TOÁN (ĐỀ 30)
Câu 1 (2,5 điểm)
1 Cho hàm số (C) :
2 2 5 1
y
x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M Î (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
2 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
đồ thị (C’) : 3 6 2 9 1
y
Câu 2 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: 3 25 2 3 105 2 3
x
2 Giải hệ phương trình:
2 cos
cos
2 sin
sin
y x
y x
Câu 3 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: log cosx sinxlog1cosxcos2x0
x
2 Giải bất phương trình: 3 1 2 1 3 1 0
x
3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4 (2 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C Î (P) sao cho ABC là tam giác đều.
2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5 (2,5 điểm).
1 Tính :
2 3
sin
cos
x
2 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
a b c
3 Cho z = 1 3
i
2 2
;z; z ;(z) ;1 z z
(Hết)
HƯỚNG DẪN GIẢI: ( đ ề số 30)
Trang 2b Tìm M Î (C) để tổng các khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất 0,75
1
y Y
x
0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4 7
X Y
X
4
X
X
2
0.5
Gọi M(2; m) Î d 1 : x = 2 Khi đó đt d M
d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
k x
x
m x
k x
x x
9 12 3
2 1
9 6
2 2 3
2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m
y’ = 6(x-2) 2 0 x Hàm luôn đồng biến Pt (1) luôn có nghiệm
duy nhất từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp tuyến đến
đồ thị (C’).
0,5
3 5 1 3 5 1 33 5 1 0 5
3 5
10 3 25
3
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x x
x
x x
0.25
2 0
3 5
1 0
1 5
3
0 3
5 1 5
3
2 2
2 2
x
x
x x
x x
3
1 log 2 3
1 5
x x
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm
x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Trang 3
sin cos sin cos 2 2
cos cosx y x x y y
0.25
2 4
2 4 1
4 cos
1 4 cos 2 4 cos 4 cos
l y
k x y
x y
x
0.25
Thử lại thấy đúng nên:
2 4
2 4
l y
k x
cos sin log cos cos2 0
x x
Điều kiện:
0 2
cos cos
0 sin
cos
1 0
x x
x
2 cos 2 cos sin
2
0.25
3 2 6
2 2 2
2 2
2 2 2
k x
k x k x x
k x x
Kết hợp với điều kiện ta được:
3
2 6
x (Với k ∊ N*).
0.25
x
0 2 3
2
3
2
1
x x
Trang 42
t
t t
0.25
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5
10
C tập con gồm 5 chữ
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
cả 5
10
Để ABC là tam giác đều đường cao MC = AB 3 / 2 6
Gọi M là trung điểm của AB M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
(Q): x + z + 1 = 0
0,25 Gọi d = (P) n (Q)
t z t y
t x
z x
z y x d
2 1 2 2 0
1
0 1 7 8 3 :
Trang 52 Xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện 1.0 Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB
⇒
4
2 2 4
2
2
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
4
2
FE
2
2 2
2 c a
Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có : là góc tạo bởi AD và BC ta có :
2
| 2 2
|
2
|
|
| , cos
|
2 2 2 2 2 2 2
c
a c b c GF
GE
FE GF GE GF
GE
2
2
|
c
b
a
2
| cos
c
b
a
0.25
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
2
| cos
a
c
b
2
| cos
b
a
c
P
Q
A
B M
C1
C2
Trang 63 0,5
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả 5
9
C tập con gồm 5 chữ
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
cả 5
9
C = 126 số.
0,25
Đặt:
0,25
/ 4
/ 4 4
0
1 2 0
J x x x dx Đặt: x - 1 = tgt
2 2
1
dt
0,25
F
E
G
A
C
Trang 7
0
3 4
2
sin
1 2 2
1 4
t u
t
du
0,25
1
2
0,25
2
1 1
1
2 2
c b a ab c ac b bc a
Ta có:
ab c ab c ab c ab c
ca b ca b ca b ca b
bc a bc a bc a bc a
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
0.5
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5