Đề thi thử đại học môn toán - đề 1

Tài liệu tham khảo dành cho các sĩ tử ôn thi đại học, chuẩn bị tốt cho kì thi cao đẳng đại học sắp tới

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2012-2013

Đề Số 1 A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x= −3 3mx2+3(m2−1)x m− 3+m (1)

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1

2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O bằng 2lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O

Câu II (2 điểm):

1 Giải phương trình : 2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 3 os (22 )

4

2 Giải phương trình :

2

log (5 2 ) log (5 2 ).log− x + − x x+ (5 2 ) log (2− x = x−5) +log (2x+1).log (5 2 )− x

Câu III (1 điểm): Tính tích phân 6

0

tan( )

4 os2x

x

c

π −π

=∫

Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy

và SA=a Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SB và SD;I là giao điểm của SC và mặt phẳng (AMN) Chứng minh SC vuông góc với AI và tính thể tích khối chóp MBAI

Câu V (1 điểm): Cho x,y,z là ba số thực dương có tổng bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2 2

P= x +y +z − xyz

B PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phàn (phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trình chuẩn:

Câu VIa (2 điểm):

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) và đường thẳng : 3∆ x−4y+ =4 0 Tìm trên ∆ hai điểm A và B đối xứng nhau qua I(2;5/2) sao cho diện tích tam giác ABC

bằng15

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x +y + −z 2x+6y−4z− =2 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)vr , vuông góc với mặt phẳng( ) :α x+4y z+ − =11 0và tiếp xúc với (S)

Câu VIIa(1 điểm): Tìm hệ số của 4

x trong khai triển Niutơn của biểu thức : P= +(1 2x+3 )x2 10

2.Theo chương trình nâng cao:

Câu VIb (2 điểm):

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp

2 2

x y

E + = và hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm trên (E) điểm C có hoành độ và tung độ dương sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2

( ) :S x +y + −z 2x+6y−4z− =2 0

Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véc tơ (1;6;2)vr , vuông góc với mặt

phẳng( ) :α x+4y z+ − =11 0và tiếp xúc với (S)

Câu VIIb (1 điểm):

Tìm số nguyên dương n sao cho thoả mãn

2

n n

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

II

III

2 Ta có y, =3x2−6mx+3(m2−1)

Để hàm số có cực trị thì PT y, =0 có 2 nghiệm phân biệt

⇔x2−2mx m+ 2− =1 0 có 2 nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = > ∀1 0, m

05

Cực đại của đồ thị hàm số là A(m-1;2-2m) và cực tiểu của đồ thị hàm số là

B(m+1;-2-2m)

025

3 2 2

m

m

 = − +

= − −



Vậy có 2 giá trị của m là m= − −3 2 2 và m= − +3 2 2

025

1

os4x+cos2x+ 3(1 sin 2 ) 3 1 os(4x+ )2

os4x+ 3 sin 4 os2x+ 3 sin 2 0

π

05

2sin(3 ) osx=0

6

x=

2

k

π

 = − +





Vậy PT có hai nghiệm

2

x= +π kπ

và

x= −π +kπ

05

2 ĐK :

0

x x

−

 < <





 ≠



Với ĐK trên PT đã cho tương đương với

2

2

log (5 2 ) log (5 2 ) 2log (5 2 ) 2log (5 2 ) log (2 1)

log (2 1)

x

x

−

+

05

2

2

1 4 log (2 1) 1

1

2

x x

−

 =

 + = −





025

Kết hợp với ĐK trên PT đã cho có 3 nghiệm x=-1/4 , x=1/2 và x=2 025

2

2

4

c

+

2 2

1 tan x cos 2x

1 tan x

−

=

Đặt 2

2

1

cos

x

1

x π t

= ⇒ =

= ⇒ =

05

Suy ra

1

1 3

3 2

0 0

dt I

−

AM BC BC SA BC AB

AM SB SA AB



Tương tự ta có AN⊥SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AI ⊥SC

05

Vẽ IH song song với BC cắt SB tại H Khi đó IH vuông góc với (AMB)

3

Ta có

2 4

ABM

a

BC = SC = SC = SA AC =a a = ⇒ = =

Vậy

1

3 4 3 36

ABMI

a a a

05

Ta c ó:

[ ]

2

xy yz zx xyz

x y z yz x

025

2

3 2

2 1

2

y z

+

Xét hàm số f x( )= − +x3 15x2−27x+27 , với 0<x<3

9

x

x

=



Từ bảng biến thiên suy ra MinP=7 ⇔ = = =x y z 1. 05

1 Gọi ( ;3 4) (4 ;16 3 )

A a + ⇒B −a −

Khi đó diện tích tam giác ABC là

2

ABC

Theo giả thiết ta có

2

0 2

a a

a

=



−

Vậy hai điểm cần tìm là A(0;1) và B(4;4)

05

2 Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-3;2) và bán kính R=4

Vì ( ) ( )P ⊥ α và song song với giá của vr nên nhận véc tơ

nuur r rp = ∧ =n v (2; 1; 2)− làm vtpt Do đó (P):2x-y+2z+m=0 025

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên (d I →( )) 4P = ⇔ ( ( )) 4 21

3

m

d I P

m

= −



Vậy có hai mặt phẳng : 2x-y+2z+3=0 và 2x-y+2z-21=0 025

Ta có

k

Theo giả thiết ta có

4

,

k i

i k

i k N

+ =



025

Vậy hệ số của x là: 4 C10424 +C C103 1 232 3+C C102 22 23 =8085 025

1 Ta có PT đường thẳng AB:2x+3y=0

Gọi C(x;y) với x>0,y>0.Khi đó ta có

2 2

1

x + y = và diện tích tam giác ABC là

ABC

x y

05

2 2

x y

Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2

2

x y

x

x y

y



Vậy (3 2; 2)

2

05

Xét khai triển (1 )n 0 1 2 2 n n

Lấy tích phân 2 vế cân từ 0 đến 2 , ta được:

n

05

⇔

1

n

n

n

+