Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC... Các mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với mặt đáy A
Trang 1Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Câu 1: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, có SA=SB= AC=BC=a AB, =a 2 Tính thể tích hình chóp và
Lời giải:
+) Gọi M là trung điểm của AB Từ giả thiết ta có ∆SAB và ∆ABC là các tam giác vuông cân bằng có chung cạnh huyền AB
,
⇒SM ⊥AB CM ⊥AB và 2
= = AB =a
SM CM
Suy ra góc giữa (SAB) và mặt đáy là góc 0
60
SMC SMC
Từ đó ta cóAB⊥(SCM) và ∆SCM là tam giác đều cạnh bằng 2
2
a
V V V AM BM S AB SM MC đvtt
+) Tính góc giữa hai đường thẳng SA và BC
Gọi N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, SC, SB ta có (SA BC; )=(MN NP ; )
Gọi α là góc giữa hai đường thẳng SA và AB
MN PQ MQ NP
⇒MNPQ là hình thoi cạnh bằng .
2
a
Trong tam giác đều SCM có MP là đường trung tuyến 2 3 6
Từ đó ta có cos 2 2 2 1 cos α cos 1.
Vậy thể tích của hình chóp bằng
3 6 ( ) 24
a
đvtt và côsin của góc giữa hai đường thẳng SA và BC bằng 1
4
Câu 2: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và thuộc mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Hai mặt phẳng (SCA) và (SCB) hợp với nhau một góc
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB⇒SH⊥AB⇒SH ⊥(ABC )
Kẻ AK ⊥SC⇒SC⊥(AKB)⇒SC⊥KB
0
60
120
AKB SAC SBC KA KB
AKB
+) Nếu AKB=600⇒KA=KB=AB=AC , vô lý
0
tan 60 2 3
Do đó
.
a a a
V SH S
Q
N
S
A
B
C
M
P
BÀI TOÁN VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Câu 3: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ tam giácABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại C với AC = a, 1 1 1 cạnh bên AA1=2a và tạo với đáy một góc bằng 30°, biết mặt phẳng(ABB1)⊥(ABC và tam giác )
1
AA B cân tại A Tính thể tích của khối chóp1 A BCC B theo a 1 1 1
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AB, vì tam giác A1AB cân tại A1 nên A1I⊥AB ⇒ nên A1I⊥(ABC)
⇒ (AA1;(ABC)) =
^ 0
A AI =
tam giác vuông IA 1 A có A1I = A1A.sin300 = 2a.1
2= a
ta có:
3
a
Câu 4: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có AC= AD=a 2;BD=BC=a; khoảng cách từ B đến mặt phẳng
3
a
Tính góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) Biết thể của khối tứ diện ABCD bằng
3
15
27
a
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của CD, kẻ BH ⊥ AE Ta có ∆ACD cân tại A nên
CD ⊥ AE
Tương tự ∆BCD cân tại B nên CD ⊥ BE
Suy ra CD ⊥ (ABE) ⇒ CD ⊥ BH
Mà BH ⊥ AE suy ra BH ⊥ (ACD) Do đó
3
= a
BH và góc giữa hai
mặt phẳng (ACD) và (BCD) là α
Thể tích của khối tứ diện ABCD là
V BH S S AE DE
4
9
⇒AE DE = a
Mà
2 2
2 2
3 2
5 3
=
a AE
AE DE a
a DE
hoặc
2 2
2 2
5 3
3
=
a AE
a DE
Trường hợp
2
3
= a
DE không thỏa mãn vì DE < a (do
+
=CD< BC BD=
DE a )
Xét ∆BHE vuông tại H nên 1 0
2
BE
Câu 5: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a AC, =a 3. Gọi I là trung điểm cạnh BC, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AI
hai đường thẳng SB và AC
Lời giải:
H
D
E
C
B
A
Trang 3Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Ta có BC= AB2+AC2 =2a
1
2
BI BC a ABI
⇒ = = ⇒∆ là tam giác đều cạnh a
Trong (ABC) kẻ HK ⊥ AB, IJ ⊥ AB ⇒ HK // IJ // AC
IJ HK
SH ⊥ ABC ⇒SH ⊥AB Vậy AB⊥(SHK)⇒AB⊥SK
Góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC) là SKH =60 0
a
SH =HK SKH = = a
2
ABC
a
S = AB AC=
Do đó,
a a a
Ta có
SI =SA =SH +HA = + = ⇒SI=SA=
a a a a
SB =SH +HB = + = ⇒SB=
Kẻ JN // SB (với N là trung điểm SA) ⇒ ( ) () 21
SA a
SB AC = JN JI JN= =
Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến cho ∆ISA
Ta có
SI AI SA a a a a
IN = + − = + − =
Áp dung dịnh lý hàm số cosin cho ∆JNI
Ta có
2
7
cos
2
a a a a
IJ JN IN NJI
IJ JN a a a
Vậy () 7
7
SB AC =
Câu 6: [ĐVH]. Cho hình chóp SABCD Đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a, AD
= 2a Các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) Biết góc giữa hai mặt phẳng
Lời giải:
I H
A
D
B
C
S
O E
K
J
a 3 a
N
K
I H
C B
A S
Trang 4Gọi H = AC ∩ BD ⇒ SH ⊥ (ABCD) & BH =
3
1
BD
Mà HE =
3
1
AD =
3
2a ⇒ SH =
3
3
2a
⇒ V SABCD =
3
1
.SH.S ABCD =
3
3 3
a
2
1
AD
d(CD ; SB) = d(CD ; (SBO)) = d(C ; (SBO))
Tính chất trọng tâm tam giác BCO ⇒ IH =
3
1
IS
Trong tam giác SIC có : S SIC =
2
1
SH.IC =
2
1
5
⇒CK =SH IC = a
SI
5
a
Câu 7: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD
(SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Lời giải:
S
E
H I
Ta có
SI SBI SCI
⊥
2
2
ABCD
IBC ABCD ICD IAB
a
2
2
3 2
5 4
IBC
a
IH
∆
Trang 5Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Vậy
3 2
.3
S ABCD
Câu 8: [ĐVH]. Cho tam giác đều ABC cạnh a và tam giác cân SAB đỉnh S không cùng nằm trong một
(ABC) là 600, 21
6
a
SA= , SC < HC Tính thể tích S.ABC và khoảng cách giữa HK và mặt phẳng (SBC)
theo a
Lời giải:
I a
60 0 H
K
B
C A
S
SC nên SHC nhọn ⇒ SHC=600
S ABC S ACH S BCH
2
a
SHC
24
S ABC
a V
H, K là trung điểm của AB, AC nên HK là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ HK // BC
2S
S HBC S ABC
6
a
SC= SH +CH − SH CH c = =SB nên tam
giác SBC cân tại S Gọi I là trung điểm BC
2
⇒SI = SC −CI = a ⇒S SBC = SI BC= a ⇒d HK SBC =
Câu 9: [ĐVH]. Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có cạnh đáy bằng a Gọi M, N, I lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng AA’, AB, BC Biết góc giữa hai mặt phẳng (C’AI) và(ABC) bằng 0
a thể tích khối chóp NAC’I và khoảng cách giữa hai đường thẳng MN, AC’
Lời giải:
Trang 6O M
N
B'
B
I
2
3
'.
a
khi đó
/ /
1 2
=
/ / 1 2
NI AC
=
suy ra MOIN là hình bình hành
( , ') ( ,( ' )) ( ,( ' ))
⇒MN OI⇒MN AC I ⇒d MN AC =d MN AC I =d N AC I =h
2
'
'
3
3
8 ,
1
2
N AC I AIC
AIC
a
Câu 10: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB ' ' ' bằng 2a và góc ABC=300 Mặt phẳng ( 'C AB) tạo với đáy (ABC một góc 60) 0 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và ' ' ' CB '
Lời giải:
M
M
A'
B'
B
C'
H
Gọi V là thể tích lăng trụ ABC A B C thì ' ' ' V =S ABC.CC'
Ta có
2
2
Trang 7Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
0
Mặt phẳng (CA B' ') chứa CB' và song song AB nên
(AB CB; ') (AB CA B;( ' ')) (M CA B;( ' '))
Do MH ⊥CN MH, ⊥ A B' '⇒MH ⊥(CA B' ')
2
AB CB
a
Câu 11: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a Hình chiếu của đỉnh
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của cạnh AD, góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng
Lời giải:
Gọi I là trung điểm của AO, suy ra 1 2
a
HI = OD=
( )
SAC ABCD AC
SAC ABC SI HI SIH
AC SHI
⊥
a a
SH =HI SIH= = ;
2 2
.
2 2 4
H ABC ABCD HDC
a a
S =S −S =a − a =
Từ đó ta có
S HABC H ABC
a a a
Gọi E là trung điểm của BC, suy ra BC⊥(SHE)
Dựng HK⊥SE⇒HK⊥(SBC)hay HK=d H SBC( ;( ))
Ta có 1 2 12 12 21 12 82 12 112 3 33
16
a a HK
a
HK = SH +HJ = +a = a +a = a ⇔ = =
11
a
d H SBC =
Câu 12: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ ABC A B C có ' ' ' AB'=AC'=a 2; ' 'A B =A C' '=a khoảng cách từ , '
A đến mặt phẳng ( AB C bằng ' ') 3
3
a
Tính góc giữa hai mặt phẳng (AB C và ( ' '' ') A B C , biết thể ')
tích của khối lăng trụ ABC A B C bằng ' ' '
3
15 9
a
Lời giải:
Trang 8+) Đặt A I' =x⇒B I' 2 =2a2−AI2 =a2−x2⇒ AI = a2+x2
3
' ' '
3
x
Câu 13: [ĐVH]. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác đều cạnh a góc giữa AD và (ABC)
Lời giải:
DI BC
⊥
⊥
45
AH ⊥ AI⇒ AH ⊥ ABC ⇒DAH =
2
a
cân tại I
.
4
+ Đ/s:
3
8
V
Trang 9Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Câu 14: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy Mặt
điểm P Tính thể tích khối chóp S.AMPN theo a
Lời giải:
+) Ta có
2
SA
a
⊥
⊥
1
⊥
⊥
⊥
⊥
+)
.
.
.
1
2
S SMPN
S AMN
S AMPN S ABCD
S ABC
S ABCD
SA SA V
V
Cách 2:
.
SC
Câu 15: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a Tam giác SAB cân
Lời giải:
2
a
HA=h⇒HI +AI = AH ⇔ = h ⇒h=a
+)
3 2
a
HE
2
=
Câu 16: [ĐVH] Cho lăng trụ ABC A B C đều, biết mặt phẳng (A’BC) tạo với đáy (A’B’C’) góc 60 ' ' ' 0 và
2
a
Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
Trang 10' ' '
ABC A B C là lăng trụ đều
Gọi M là trung điểm BC, ta có:
o
'
A M BC
⊥
⊥
3
a
3
ABC A B C ABC
Câu 17: [ĐVH] Cho lăng trụ ABCD A B C D đứng, đáy là hình thoi cạnh 2a, mặt phẳng (B’AC) tạo ' ' ' '
2
a
Tính thể tích khối tứ diện ACB D theo a ' '
Đ/s:
3 ' '
2 3
=
ACB D
a V
Lời giải:
; '
BO AC B O AC
Nhận xét: d B D AC( ;( ' ) )=d D D AC( ;( ' ) )
' '
'
AC D O
⊥
d B D AC =d D D AC =DH = ⇒DO=a AA = ⇒D O=
Trang 11Khóa học TỔNG ÔN 2015 – Thầy ĐẶ NG VIỆT HÙNG [0985.074.831] Facebook: LyHung95
Ta có: V ACB D' '=V ABCD A B C D ' ' ' '−(V A A B D ' ' '+V B ABC'. +V D ACD'. +V C B C D ' ' ')
A A B D B ABC D ACD C B C D ABCD ABCD A B C D
3
ACB D ABCD A B C D ABCD
a
Câu 18: [ĐVH]. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
Lời giải:
Nhận xét:
' '
,
⊥
Ta có:
'
' '
' ' ' '
⊥
ABB A BCC B = AI KI = AIK =
2
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B’ trên BC
' '
⊥
B H BC
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
3 ' ' '
2
ABC A B C ABC
a
Câu 19: [ĐVH]. Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=2a 3, góc BAC=1200
Mặt bên (SBC) vuông góc với đáy và hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc φ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và φ
Lời giải:
+) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC, suy ra SH là đường cao của khối chóp
+) Do các mặt bên (SAB) và (SAC) tạo với đáy các góc bằng nhau nên H cách đều hai cạnh AB và AC; suy
Trang 12+) Ta dễ dàng tính được 3 ; 6 ; 3 3 tan φ
2
Tử đó suy ra
3